2.1函数极限的性质与运算法则ppt课件

1、 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、函数极限的性质、函数极限的性质 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数极限性质与运算法则 1.函数极限的唯一性 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .)(lim()(lim 0 存在，则极限唯一如：若xfxf xx 2. 局部有界性 ,)(lim 0 Axf xx 若 .),()( 0 内有界在xUxf ),( 0 xU 则 定理定理1 . 一一 、函数极限的性质、函数极限的性质 3. 局部保号性 定理定理3.1 假设假设 ,)(lim 0 Axf xx 且 A

2、0 , ,),( 0 时使当xx . 0)(xf )0)(xf 证证: 知知 ,)(lim 0 Axf xx 即,0, ),( 0 x 当 时, 有.)(AxfA 当 A 0 时, 取正数 ,A 则在对应的邻域上 . 0)(xf ( 0) )(A 则存在 ( A 0 ) ),( 0 x ),( 0 xx ),( 0 x 0 x 0 x A A A x 0 x y )(xfy )0( 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 AxfA)( :0A :0A 若取, 2 A 则在对应的邻域 上 假 设 ,0)(lim 0 Axf xx 则存在使当 时, 有. 2 )( A xf 推论推论: 2 3 )(

3、2 A xf A 2 )( 2 3A xf A ),( 0 x , ),( 0 x ),( 0 xx 0 x 0 x A A A x 0 x y )(xfy 分析分析: 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理 3.2 若在若在 0 x的某去心邻域内 0)(xf )0)(xf , 且 ,)(lim 0 Axf xx 那么 . 0A )0(A 证证: 用反证法用反证法.则由定理3. 1, 0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知 所以假设不真, .0A (同样可证0)(xf的情形) 考虑: 若定理3. 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A 不能不能! 0lim 2 0

4、x x 存在 如 假设 A 0 , 条件矛盾, 故 时,当0)(xf 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 ,)(lim,)(limBxgAxf则有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA 定理定理 4 . 假假 设设 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 推论推论: 假假 设设 ,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf .BA )()()(xgxfx 利用保号性定理证明 . 说明说明: 定理定理 4 可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示提示: 令令 定理定理 5. 假设假设,)(

5、lim,)(limBxgAxf则有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxf 说明说明: 定理定理 5 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 ) 推论推论 2 . nn xfxf )(lim)(lim( n 为正整数 ) 例例1. 设设 n 次多项式次多项式,)( 10 n nn xaxaaxP试证 ).()(lim 0 0 xPxP nn xx 证证: )(lim 0 xP n xx 0 a xa xx 0 lim 1 n xx n xa 0 lim )( 0 xP n BA 机动 目录 上页

6、下页 返回 完毕 定理定理 6. 假设假设,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有 )( )( lim xg xf )(lim )(lim xg xf B A 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 x = 3 时分母为 0 ! 3 1 lim 3 x x x 例例2. 设有分式函数设有分式函数, )( )( )( xQ xP xR其中)(, )(xQxP都是 多项式 ,0)( 0 xQ试证: . )()(lim 0 0 xRxR xx 证证: )(lim 0 xR xx )(lim )(lim 0 0 xQ xP xx xx )( )( 0 0 xQ xP )( 0 xR 说明说明

7、: 假设假设,0)( 0 xQ 不能直接用商的运算法则 . 例例3. 9 34 lim 2 2 3 x xx x)3)(3( ) 1)(3( lim 3 xx xx x 6 2 3 1 假设 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 求求. 125 934 lim 2 2 xx xx x 解解: x时,分子. 2 2 11 11 25 934 lim x x x x x 分子分母同除以 , 2 x 那么 5 4 分母 原式 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一般有如下结果：一般有如下结果： 为非负常数 )nmba,0( 00 mn 当 m mm x axaxa 1 10 lim n nn

8、 bxbxb 1 10 , 0 0 b a ,0 , 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 mn 当 mn 当 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 定理定理7. 设设,)(lim 0 ax xx 且 x 满足 10 0 xx时, ,)(ax 又,)(limAuf au 则有 )(lim 0 xf xx Auf au )(lim 证证: Auf au )(lim,0,0当au0 时, 有 Auf)( ax xx )(lim 0 ,0,0 2 当 20 0 xx时, 有ax)( 对上述 取,min 21 则当 0 0 xx时 ax )(au 故 0 Axf)(Auf)(, 因而式

9、成立. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理7. 设设,)(lim 0 ax xx 且 x 满足 10 0 xx时, ,)(ax 又,)(limAuf au 则有 )(lim 0 xf xx Auf au )(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim 0 x xx 则类似可得 )(lim 0 xf xx Auf u )(lim 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5. 求求 解解: 令令 . 9 3 lim 2 3 x x x 9 3 2 x x u 知 u x3 lim 6 1 原式 = u u 6 1 lim 6 1 6 6 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例6

10、. 求求 解解: 方法方法 1 . 1 1 lim 1 x x x ,xu 那 么 , 1lim 1 u x 令 1 1 1 1 2 u u x x 1 u 原式原式) 1(lim 1 u u 2 方法方法 2 1 1 lim 1 x x x 1 ) 1)(1( lim 1 x xx x ) 1(lim 1 x x 2 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结 1. 极限运算法则 (1) 极限四则运算法则 (2) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 0 ) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 ) 0 )2xx 时, 对 0 0

11、型 , 约去公因子 x)3时 , 分子分母同除最高次幂 (2) 复合函数极限求法设中间变量 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考及练习思考及练习 1. ,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf )()(limxgxf 是否存在 ? 为什么 ? 答答: 不存在不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg 利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件 矛盾. 问 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 求求. )1(lim 2 xxx x 解法解法 1 原式 = xx x x 1 lim 2 1 1 1 1 lim 2 x x 2 1 解法解法 2 令 , 1 x t tttt 1 1 11 lim 2 0 2 1 那 么 原式 = 2 2 0 11 lim t t t 11 1 lim 2 0 tt 0t 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 试确定常数试确定常数 a 使使.0)1(lim 33 xax x 解解 : 令, 1 x t 那么 t a t t 3 3 0 1 1lim0 01a t at t 33 0 1 lim 01lim 33 0 at t 故 1a 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 因而 备用题备