材料力学—第7章弯曲内力

1、第七章第七章 弯曲内力弯曲内力 1 王铎王铎 第七章第七章 弯曲内力弯曲内力 v7-1 v7-3 v7-4 v7-5 v7-6 2 本章主要内容本章主要内容 第一节第一节 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 起重机大梁起重机大梁 3 车削工件车削工件 4 火车轮轴火车轮轴 5 6 A B 对称轴对称轴 纵向对称面纵向对称面 梁变形后的轴线与梁变形后的轴线与 外力在同一平面内外力在同一平面内 梁的轴线梁的轴线 FRA F1F2 FRB 挠曲线挠曲线 7 平面弯曲平面弯曲 平面弯曲平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该且该 平面曲线仍与外力共面平面曲线仍与外力共面。

2、 对称弯曲对称弯曲 8 对称弯曲：对称弯曲：外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁 的轴线的轴线( (挠曲线挠曲线) )是在该纵对称面内的平面曲线。是在该纵对称面内的平面曲线。 非对称弯曲：非对称弯曲：梁梁不具有不具有纵对称面纵对称面( (例如例如Z形截面梁形截面梁) )，因而挠曲，因而挠曲 线无与它对称的纵向平面；或梁虽线无与它对称的纵向平面；或梁虽有有纵对称面纵对称面 但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不 与梁的纵对称面一致。与梁的纵对称面一致。 本章讨论本章讨论对称弯曲对称弯曲时梁的内力和应力。时梁的内

3、力和应力。 9 C 常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面 10 。 F A A A A 11 A A A FRAy A FRAx F F M 12 13 14 第二节第二节 剪力与弯矩剪力与弯矩 y A B P1P2 FAyFBy x x a m m 如图所示任意梁，其上外力均为已知，求距离如图所示任意梁，其上外力均为已知，求距离 梁端梁端A A的距离为的距离为x处的横截面处的横截面mm上上的内力的内力。 梁在外力作用下，将会产生弯曲内力。梁梁在外力作用下，将会产生弯曲内力。梁的弯曲的弯曲 内力内力分量包括分量包括剪力剪力FS和和弯矩弯矩M。可采用。可采用截面法截面法求解其求解其 值的大小。值的大

4、小。 15 用用截面法截面法求横截面求横截面mm上的内力上的内力 横横截面截面mm上的弯曲内力上的弯曲内力 剪力剪力FS： 作用线位于横截面内；作用线位于横截面内； 弯矩弯矩M： 力矩矢位于横截面内；力矩矢位于横截面内； 利用利用静力平衡方程静力平衡方程求解弯曲内力分量的大小，即：求解弯曲内力分量的大小，即： 11 00 yAyssAy FFPFFFP 1 ( )0()0 CAy MFMPxaF x 1 () Ay MF xPxa 其中，其中，C点位于梁端点位于梁端mm的形心。的形心。 y A P1 FS FAy x x a m m M C 16 dx m m FS FS + dx m m F

5、S FS 17 ； m m + MM m m （受压）（受压） M M 18 解：解：1. 确定支反力确定支反力 FBy 0 y F FFF ByAy 2 0 A M02-3aFFaaFBy 3 F FBy 3 5F FAy 例例1 1：求图示简支梁上：求图示简支梁上 E 截面处的内力截面处的内力。 FAy 19 2. 用截面法研究内力用截面法研究内力 0 y F 02 SEAy FFF 0 E MF 0 2 3 2 2 a FM a F AyE 3 F FSE 2 3Fa M E FSE ME FAy 取取E截面左段为研究对象截面左段为研究对象 20 FBy FSE ME O 取取E截面右段

6、分析得到：截面右段分析得到： 0 y F 0 BySE FF 3 F FF BySE 0 o M Fa a FM ByE 2 3 2 3Fa M E 21 FAyFBy 3 F FBy 3 5F FAy 截面上的截面上的剪力剪力等于截等于截 面任一侧外力的代数和面任一侧外力的代数和。 FAy FSE 3 5F FSE 2F FSE F2 3 F 22 FAyFBy 3 F FBy 3 5F FAy 截面上的截面上的弯矩弯矩等于截面任等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代 数和。数和。 ME FAy 2 3 3 5aF M E 2 2 a F Fa 2 3 2F ME

7、23 FAy 2F FSC左左 FSC右右 MC左左MC右右C FSD左左 FSD右右 MD右右MD左 左D 2 sCsC CC FFF MM 右左 右左 eDD sDsD MMM FF 右右 右右 24 A B F C 例例2 2 如图所示悬臂梁如图所示悬臂梁AB，承受集中力，承受集中力F及集中力偶及集中力偶M作用，作用， 试确定截面试确定截面C及截面及截面D上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。 ll D M=2Fl F D B FSD MD 沿截面沿截面D处截开梁，取右段处截开梁，取右段BD 为研究对象。设为研究对象。设BD之间距离为之间距离为， 且且B、D无限接近，故无限接近，故 0 由平衡

8、方程由平衡方程 0 y F 0 SD FF 0 D M 0 D MF 解得：解得： SD FF00 D MFF （1）确定截面）确定截面D上内力上内力 25 F C B l FSC MC （2）确定截面）确定截面C上内力上内力 M 由平衡方程由平衡方程 0 y F 0 SC FF 0 C M 0 C MMFl 解得：解得： SC FF2 C MMFlFlFlFl 26 例例3 3 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面11、22、33和和4 4 横截面上的剪力和弯矩横截面上的剪力和弯矩。 解：支反力为解：支反力为 0 y F 0 A M032aFFaaFB )(2FFB FFF AB )(3 F

9、FA x y A F B aa 2a 1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FB FA 27 截面截面11 0 y F 0 1C M 0 1 aFM ) ( 1 顺顺FaM FF 1S 截面截面22 0 y F 0 2C M0 2 aFM ) ( 2 顺顺FaM 0 2S FFF A FFFF A 2 2S M1 FS1 F C1 1 1 FA M2 FS2 F C2 2 2 x y A F B aa 2a 1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FB FA 28 截面截面33 0 3 aFaFM A ) ( 3 逆逆FaM FFF B 2 4S 截面截面44 0 4 aFM

10、 B ) (2 4 顺顺FaM 0 3S FFF A FFFF A 2 3S x y A F B aa 2a 1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FB FA 3 3 C3 M3 F FS3 FA FS4 M4 4 C4 FB 4 29 内力内力 11223344 FS-F2F2F2F M-Fa-FaFa-2Fa 1 1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段 分离体的分离体的静力平衡方程静力平衡方程来确定。来确定。 剪力值剪力值= =截面左侧（或右侧）所有外力的代数和截面左侧（或右侧）所有外力的代数和 弯矩值弯矩值= =截面

11、左侧（或右侧）所有外力对该截面截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心形心 的力矩代数和的力矩代数和 x A F B 1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FA=3FFB =-2F 30 2 2、截面左侧梁段：、截面左侧梁段： 向上的外力向上的外力正剪力正剪力正弯矩正弯矩 顺时针外力偶顺时针外力偶正弯矩正弯矩 截面右侧梁段：截面右侧梁段： 向上的外力向上的外力负剪力负剪力正弯矩正弯矩 顺时针外力偶顺时针外力偶负弯矩负弯矩 内力内力 11223344 FS-F2F2F2F M-Fa-FaFa-2Fa x A F B 1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FA=3FFB =-2F

12、 31 3 3、在在集中力集中力作用处，剪力值发生突变，突变值作用处，剪力值发生突变，突变值= =集中力大小；集中力大小； 在在集中力偶集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值作用处，弯矩值发生突变，突变值= =集中力偶矩大小。集中力偶矩大小。 x A F B 1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FA=3FFB =-2F 内力内力 11223344 FS-F2F2F2F M-Fa-FaFa-2Fa 32 第三节第三节 剪力、弯矩方程与剪力和弯矩图剪力、弯矩方程与剪力和弯矩图 一般情况下，梁的不同截面上的内力是不同的，一般情况下，梁的不同截面上的内力是不同的， 即即剪力剪力和和弯矩弯矩

13、是随着是随着截面位置截面位置而变化的。而变化的。 为了描述剪力和弯矩沿梁轴线变化的情况，以为了描述剪力和弯矩沿梁轴线变化的情况，以 横坐标横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截 面上的剪力和弯矩均可以表示为面上的剪力和弯矩均可以表示为x的函数，即：的函数，即： ( )( ) ss FF xMM x 上述关系式分别称为上述关系式分别称为剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。 33 FS 图的坐标系图的坐标系 x FS(x) O M 图的坐标系图的坐标系 x O M(x) 34 35 y FAFB x 例例2 2：如图所示简支梁在：如图所示简支梁在C处受集

14、中力处受集中力P的作用，试的作用，试 建立剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。建立剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 A B P C /2l/2l A B P C /2l/2l 解：解：（1 1）求支座反力求支座反力 ( )0 A MF ( )0 B MF 0 2 B l FlP 0 2 A l PFl /2 AB FFP 36 （2 2）建立剪力与弯矩方程）建立剪力与弯矩方程 由于在截面由于在截面C处作用有集中载荷处作用有集中载荷P，故应以该截，故应以该截 面为分界面，将梁分为面为分界面，将梁分为AC和和CB，分段建立剪力与，分段建立剪力与 弯矩方程弯矩方程 0 y F 1 0

15、 As FF 1 /2 As FFP(0/2)x l ( )0 O MF 1 0 A MF x 1 /2 A MF xPx (0/2)xl ACAC段段 FA O 1( ) M x 1( )s Fx x n 37 CBCB段段: : 2 /2 sA FFPP ( /2)lxl 2 (/2) A MF xP xl ()/2P lx( / 2)lxl ( )/2 xB F xFP (0/2)xl ( )/2 B M xF xPx (0/2)xl FA x n 2( )s Fx 2( ) Mx /2l P FB x ( ) s F x ( )M x n 38 （3 3）绘制剪力与弯矩图）绘制剪力与弯

16、矩图 (0/2)xl ACAC段段 1 /2 s FP 1 /2MPx CBCB段段: : 2 /2 s FP 2 ()/2MP lx ( / 2)lxl /2P 特点：在集中力作用处，其左、右两侧横截面的特点：在集中力作用处，其左、右两侧横截面的弯弯 矩相同矩相同，而，而剪力剪力则发生突变，突变量则发生突变，突变量等于该集中力的值等于该集中力的值。 /2P /4Pl M x S F x maxmax =/ 2=/ 4 S FPMPl 39 A B C /2l/2l 例例2 2：如图所示简支梁在：如图所示简支梁在C处承受矩为处承受矩为M的集中力偶的集中力偶 作用，试建立剪力方程和弯矩方程，并画

17、出剪力图作用，试建立剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图 和弯矩图。和弯矩图。 e M y FAFB x A B C /2l/2l e M 解：解：（1 1）求支座反力求支座反力 / ABe FFMl （2 2）建立剪力与弯矩方程）建立剪力与弯矩方程 以截面以截面C为分界面，将为分界面，将 梁分为梁分为AC和和CB，分段建，分段建 立剪力与弯矩方程立剪力与弯矩方程 40 ACAC段段 1 e sA M FF l (0/2)x l 1 e A M MF xx l (0/2)xl CBCB段段: : 2 e sA M FF l 2 () e Ae M MF xMxl l ( / 2)lxl ( /2)

18、lxl FA x n 2( )s Fx 2( ) Mx /2l e M FA O 1( ) M x 1( )s Fx x n 41 （3 3）绘制剪力与弯矩图）绘制剪力与弯矩图 ACAC段段 CBCB段段: : ( / 2)lxl 1 / se FMl 1 e M Mx l (0/2)xl 2 / se FMl 2 (1) e x MM l 特点：在集中力偶作用处，其左、右两侧横截面的特点：在集中力偶作用处，其左、右两侧横截面的 剪力相同剪力相同，而，而弯矩弯矩则发生突变，突变量则发生突变，突变量等于该集中力偶等于该集中力偶 的矩的矩。 max e s M F l max 2 e M M S

19、F / e Ml x 2 e M 2 e M M x 42 q 解解（1 1）任选一截面任选一截面x ，写，写 出剪力和弯矩方程出剪力和弯矩方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/ 2 （2 2）绘制剪力图和弯矩图）绘制剪力图和弯矩图 FS x ql l 由剪力图、弯矩图可见。由剪力图、弯矩图可见。 最大剪力和弯矩分别为最大剪力和弯矩分别为 qlFS max 2/ 2 max qlM q x xM xFS 例例4 4：悬臂梁悬臂梁受均布载荷作用，受均布载荷作用，试写出剪力和弯矩试写出剪力和弯矩 方程，并画出剪力图和弯矩图。方程，并画出剪力图和弯矩图。 8/ 2 ql M x 2/ 2 ql

20、 43 BA l 解：解：1 1确定约束力确定约束力 00， BA MM FAy FBy ql/2 2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程 y x C x lxqx ql qxFxF AS 0 2 例例5 5：简支梁简支梁受均布载荷作用，试写出剪力和弯矩受均布载荷作用，试写出剪力和弯矩 方程，并画出剪力图和弯矩图。方程，并画出剪力图和弯矩图。 44 FAY ( )M x ( ) s F x x n 2/2/ 2 2 qxqlx x qxxFxM A lx0 3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。 FS x 2/ql 2/ql 2 max 8 ql M max 2 s

21、ql F 0 2 dMql qx dx 2 l x 32/3 2 ql 32/3 2 ql M x 8/ 2 ql 45 lxqx ql xF S 0 2 2/2/ 2 qxqlxxMlx0 BA l y x C x 一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的剪力、弯矩与分布荷载间的微分微分关系关系 q(x) 第四节第四节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 x y 46 取一微段取一微段dx， 进行平衡分析。进行平衡分析。 , 0 y F )(dd)( S xFxxq xq x xF d d S 剪力剪力的导数等于该点处的导数等于该点处 荷载集度的大小。荷载集度的大小。 )(

22、S xFxxqd)( )(d)( SS xFxF0 q(x) q(x) M(x)+d M(x) FS(x)+dFS (x) FS(x) M(x) dx dxx x y A 47 , 0 A M )( d )(d S xF x xM 弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。 )( d )(d 2 2 xq x xM 弯矩与荷载集度的关系。弯矩与荷载集度的关系。 忽略高阶微量忽略高阶微量 2 2 d )(d x xM )(xq q(x) M(x)+d M(x) FS(x)+dFS (x) FS(x) M(x) dx A x xF d )(d S xxF)d( S 2 )

23、(d( 2 1 xxq)(xM)(d)(xMxM0 xxF)d( S 0)(dxM 48 )( d )(d S xF x xM )( d )(d 2 2 xq x xM xq x xF d d S 1、若、若q=0，则，则FS=常数，常数，M是斜直线；是斜直线； 2、若、若q=常数，则常数，则FS是斜直线是斜直线， M为二次抛物线；为二次抛物线； 3、M的极值发生在的极值发生在FS=0的截面上。的截面上。 49 载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)( )()( 2 2 xq dx xdF dx xMd s q0，Fs= =常数，常数， 剪力图剪力图为水平直线；为水平直线； M

24、(x) 为为 x 的一次函数，的一次函数，弯矩图弯矩图为斜直线。为斜直线。 e M S F / e Ml P S F M M 50 从左到右，向上（下）从左到右，向上（下）集中力集中力作用处，剪力图向上（下）作用处，剪力图向上（下） 突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右，顺（逆）时针从左到右，顺（逆）时针集中力偶集中力偶作用处，弯矩图向上作用处，弯矩图向上 （下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没 有变化。有变化。 e M S F / e Ml P S F

25、M M 51 2 2、q常数常数，Fs(x) 为为 x 的一次函数，剪力图为斜直线的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上分布载荷向上（q 0），），抛物线呈抛物线呈凸形凸形； 分布载荷向上分布载荷向上（q 0q0 FS FS0 x 斜直线斜直线 增函数增函数 x FS x FS 降函数降函数 x FS C FS1 FS2 FS1FS2=F 向下突变向下突变 x FS C 无变化无变化 斜直线斜直线曲线曲线 有折角有折角 向下突变向下突变 C F x M 增函数增函数 x M 降函数降函数 x M x M M x M

26、1 M2 e12 MMM M x 59 微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法： 根据载荷及约束力的作用位置，根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面确定控制面。 应用截面法应用截面法确定确定控制面上的剪力和弯矩控制面上的剪力和弯矩数值数值。 建立建立FS x和和Mx坐标系，并将控制面上的剪力和坐标系，并将控制面上的剪力和 弯矩值弯矩值标标在相应的坐标系中。在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程应用平衡微分方程确定确定各段控制面之间的剪力图和各段控制面之间的剪力图和 弯矩图的弯矩图的形状形状，进而画出剪力图与弯矩图。，进而画出剪力图与弯矩图。 60 BA 1.5m1.5m

27、1.5m FAYFBY 1kN.m 2kN 例例1 1 简支梁受力的大小和方向如图示，简支梁受力的大小和方向如图示，试画试画 出其剪力图和弯矩图。出其剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力 00， BA MM 求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 61 (+) (-) BA FAYFBY 1kN.m

28、 2kN M (kN.m) x O 3 3建立坐标系建立坐标系 建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 5 5根据微分关系连图根据微分关系连图 线线 4 4应用截面法确定控应用截面法确定控 制面上的剪力和弯矩制面上的剪力和弯矩 值，并将其标在值，并将其标在 F FS S x x和和 M Mx x 坐标坐标 系中。系中。 0.89 1.11 1.335 1.67 (-) (-) 0.335 x FS (kN) O 0.89 kN= 1.11 kN 62 （-） （+） 解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力 F FAy Ay 0.89 kN 0.89 kN F FFy

29、 Fy 1.11 kN 1.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C 、D、B两侧截面。两侧截面。 FBY BA 1.5m1.5m1.5m FAY 1kN.m 2kN DC 3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画 剪力图。剪力图。 Fs（ kN） 0.89 1.11 63 （-）（-） 4 4从从A A截面左测开始画截面左测开始画 弯矩图。弯矩图。 M（ kN.m） 从从A A左到左到A A右右 从从C C左到左到C C右右 从从D D左到左到D D右右 从从A A右到右到C C左左 1.330 0.330 从从C C右到右到D D左左 1.665 （-） （+） FBY BA

30、1.5m1.5m1.5m FAY 1kN.m 2kN DC Fs（ kN） 0.89 1.11 从从D D右到右到B B左左 从从B B左到左到B B右右 64 q B A FAy FBy 例例2 2 试画出梁的剪力图和弯矩图。试画出梁的剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力 根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00， BA MM 求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaFqaF ByAy 4 3 4 9 , qa 2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截 面为控制面，约束力面为控

31、制面，约束力F FBy By右侧的截面，以及集中力 右侧的截面，以及集中力qaqa 左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。 C 65 （+） （-） （+） q B A FAy FBy C 3 3建立坐标系建立坐标系 建立建立F FS Sx x和和M Mx x 坐标系坐标系 O FS x O M x 4 4确定控制面上的确定控制面上的 剪力值，并将其标剪力值，并将其标 在在F FS Sx x中。中。 4/9qa 4/7qa qa 32/81 2 qa 4/9a 2 qa 5 5确定控制面上的确定控制面上的 弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在 M Mx x中。中。 qa 4 9

32、qa 4 3 66 （+） （-） qaFqaF ByAy 4 3 4 9 , q B A FAy FBy 解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力 2 2确定控制面，即确定控制面，即A A 、B B、D D两侧截面。两侧截面。 3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画 剪力图。剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4 qa 67 （+） M （+） （-） q B A a FAy FBy Fs 9qa/4 7qa/4 qa 4 4求出剪力为零的点求出剪力为零的点 到到A A的距离。的距离。 B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2 ABAB段为上凸抛物线。且有段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为极大值。该点的弯矩为 1/21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/32 5 5从从A A截面左测开始画弯截面左测开始画弯 矩图矩图 4/9a 81qa2/32 qa2 68 一、平面刚架一、平面刚架 1. 平面刚架平面刚架 F1 F2 a l A B C 特点：刚架各杆的内力有：特点：刚架各杆的内力有： FN 、FS、M。 同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互同一平