量子括号与经典括号关系的探讨

1、本 科 生 毕 业 论 文论文题目：量子括号与经典括号关系的探讨 学生姓名： 李勇 学 号： 2011012137 专业名称： 物理学 论文提交日期： 2015年 月 日 申请学位级别： 理学学士 论文评审等级： 指导教师姓名： 李茂泉 职 称： 副教授 工 作 单 位： 玉溪师范学院 学位授予单位： 玉溪师范学院 玉溪师范学院理学院物理系 2015年3月 量子括号与经典括号关系的探讨李勇(玉溪师范学院物理系11级物理一班 云南 玉溪 653100）指导老师：李茂泉摘要：经典力学的研究方法和表达形式为量子力学及量子场论提供了一整套可供借鉴的理论体系。特别是在海森伯“表象”中,经典理论同量子理论

2、之间在形式上的相似尤其显著。根据量子力学假设,对于经典体系的每一个物理量,都有一个量子体系的物理量与之相对应。唯一的差别在于经典体系的物理量是一些服从普通代数规则的量,而量子体系的物理量是一些服从非对易代数规则的算符。那么，经典力学代数里的各类括号，在量子力学中又有怎样的不同呢？只要我们能够找到量子场论中算符的表示式与普通代数的表示式的一致性,那么，在解决量子化物理量的运动方程时，它们就同经典模拟的运动方程基本一致了。关键词：括号、内积、态矢量、对易关系、非对易、量子化1.引言括号(brackets)，无论是在经典力学1 2还是量子力学里都扮演着重要的角色，特别是在量子力学中，括号作为一种算符

3、更是举足轻重，通过算符的作用，可以操作波函数，在这方面突出体现了它便于计算的优点。但是在两类力学中，各类括号很多时候却被孤立开来使用。那么，从经典力学3 4过渡到量子力学中，它们之间又有怎样的关系呢？本论文采用比较研究法，对经典括号与了量子括号进行探讨。首先，是经典括号5的分析，其次讨论量子括号6 7，最后通过计算案例7 8 9 10研究两类括号之间存在的关系。2.括号的定义及性质本文将括号分为两类经典与量子，分别从它们的定义和性质以及它们之间的关系加以讨论。2.1经典括号的定义与性质2.1.1希尔伯特空间中矢量的内积 希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定及时后的两 个波函数和的内积为 （2.1

4、.1.1）它具有下述性质： （2.1.1.2）若、为常数2.1.2 泊松括号在数学及经典力学中，泊松括号Poissonbracket )是哈密顿力学中重要的运算，在哈密顿表述的动力系统中时间演化的定义起着中心角色。在更一般的情形，泊松括号用来定义一个泊松代数，而泊松流形是一个特例。它们都是以西莫恩德尼泊松命名的。若函数是正则方程的积分，对所给系统的任何运动，此函数保持常值,即 （2.1.2.1）因而是函数成为正则方程积分的条件为 (2.1.2.2)哈密顿函数不显含时间，则，即函数广义报数系统的一个积分，若是循环坐标，则其对应的广义动量是循环积分。 若函数都是正则方程的积分，则这些积分的函数 （

5、2.1.2.3）仍是正则方程的积分。因此人们总是想找找可能多的独立积分。系统具有个自由度，则有2个正则方程。若知道了2个独立积分，就知道了系统的运动。若知道了2个独立积分中的一部分，就只能知道系统的运动的运动那个作部分的了解。因此，总是希望独立积分越多越好，泊松括号就可以提供求正则方程独立积分的方法。（1）泊松括号的定义泊松对于任意的两个波函数和的偏导数所构成的如下表达式引用了一个特殊的符（2.1.2.5）则把称为泊松括号。利用泊松括号可以把（2）式写为 （2.1.2.6）即上式为函数成为正则方程的积分条件。有正则变量组成的泊松括号和称为基本的泊松括号。（2）泊松括号的性质= = （2.1.2

6、.7）同理可证得 （2.1.2.8） （2.1.2.9）（2.1.2.10） （2.1.2.11）上述说明了泊松括号同样适用于代数分配律。（2.1.2.12）证： （2.1.2.13） （2.1.2.14）由于和是相互独立的，对于所有的值 （2.1.2.15） 当 时， （2.1.2.17）以上为任意数. 因而 （2.1.2.18）（2.1.2.19）对于所有的值， （2.1.2.20） 当 时， （2.1.2.21）以上为任意数. 故可得 （2.1.2.22） （2.1.2.23） （2.1.2.24） （2.1.2.25）2.2量子括号的定义、性质与意义2.2.1 狄拉克算符一的量子态相当

7、于一个态矢量。在希尔伯特空间中选定一组基矢，即选定表象后，它就可以应在这组基矢上的投影机适量的分量表示，这就是波函数。与高等数学李表示的一个矢量，可以不用他的分量而直接用矢量表示相似，在量子力学中表示一个量子态也可以不引进具体的表象，不用波函数，直接用矢量的符号表示，而且，还可以直接引进矢量运算，例如表量积。这就是狄拉克（Dirac）符号。以符号表示一个态矢量，称为刃矢，或称刃（ket）。为了表示某一个确定的刃矢，常将写在中；即。由于量子力学中的波函数可以使复数，或者说，希尔伯特空间是复空间，因此相应的态矢量就是复矢量。而且除了刃矢外，还可以用它的共轭复式来表示，记作，称为刁矢，或简称刁（br

8、a）表示一个确定刁矢的狄拉克符号记为，如同一个复数的实部和虚部（或取为复数和它的共轭复数）是两个独立的部分一样，刃矢和刁矢也是两个性质不同的相互独立的矢量。选定表象后，它们在同意表象中的相互分量互为共轭复数。例如选定表象，在表象中的分量为：，则可以将它们排列成一个矩阵。这就是波函数。在表象中的分量为可将它们排列成一行矩阵。是的共轭矢量。 现在讨论用狄拉克符号对态矢、算符的表示进行态矢量的运算：（1）标量积在同一表象中和相应分量的乘积之和称为和的标量积。记作 （2.2.1.1）显然，标量积满足： （2.2.1.2）若则称态矢量和正交。归一化条件为 （2.2.1.3）若和为某一算符对应的本征值的本

9、证态，将和分别记为和，则正交条件为 （2.2.1.4） 若能谱为连续谱，比方在表象中，的本证函数的正交归一化条件是 （2.2.1.5）在表象中，的正交归一化条件是 （2.2.1.6）（2）线性空间 线性空间是元素（矢量）的集合，它对于线性运算（相加和数乘）是封闭的。 （2.1）空间的矢量可以相加，任意两个矢量之和仍为空间的一个矢量。有狄拉克符号表示为： （2.2.1.7）仍为空间的一个矢量，同时还满足如下性质：1） (交换律) 2） （结合律） （2.2.1.8）3）对于空间的零矢量有 （2.2.1.9）（2.2）用任何复数乘任何矢量仍得空间的一个矢量： （2.2.1.10） 1）2）3） （

10、2.2.1.11）4）5) （3）完备系和态矢量的狄拉克符号表示 由于厄米算符的本证函数组成完备系，因为表示这些本征函数的刃矢（或刁矢）也组成完备系，记为(或)。态矢量可用这套刃矢展开： (2.2.1.12)展开系数为 (2.2.1.13)代入上式得 (2.2.1.14)由上式可见，定义算符，令 (2.2.1.15)它对于任何适量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢上去，使它变成在基矢方向上的分量，即 (2.2.1.16)称为投影算符。从（9）还可以看出，由于是任意的，有 （2.2.1.17）（17）式就是本证函数的封闭性。如果是坐标表象，本证函数是连续谱本证函数，则封闭性可以写成 （2.2.1

11、.18）如果是动量表象，封闭性可写成 （2.2.1.19）如果在某一本证函数系既有分立谱又有连续谱，封闭性表示为 （2.2.1.20）在表象中，态的标积可写成 这正是（2.2.1.1）式,如果选择的是表象，其本证函数是函数，波函数，在表象的内积是 (2.2.1.21)（4）算符的狄拉克符号表示 算符作用在态矢量中，得到另一个态矢量 （2.2.1.22）如同在矢量空间通过一个运算将一个矢量变成另一个矢量一样，此式并没有选定具体的表象。 现在在表象中将算符用狄拉克符号表示出来，由（2.2.1.23）在上式的最后一步用了式。（18）式其实就是公式的狄拉克符号表示，而 （2.2.1.24） 就是公式的

12、狄拉克符号表示。 的本证方程 （2.2.1.25）表象中的表示是 （2.2.1.26）即 （2.2.1.27）或写成 （2.2.1.28）（28）式是（19）式的狄拉克符号表示。特别是就是哈密顿算符薛定谔方程可写为 (2.2.1.29)在表象中:式就是（2.2.1.22）式。定抬的薛定谔方程的矩阵形式用狄拉克符号写出是： （2.2.1.30）平均值公式是 （2.2.1.31）在在表象中，上式为 （2.2.1.32）(5)表象变换的狄拉克符号表示 设表象的基矢为，表象的基矢为，在表象中的表示为 （2.2.1.33）在表象中的表示为 （2.2.1.34）显然有 （2.2.1.35）方程（35）式其

13、实就是公式，其中 （2.2.1.36） 写成矩阵形式： （2.2.1.37）因此是表象的基矢在表象的投影，是幺正变换所对应的幺正矩阵。2.2.2对易算符对易关系是力学量中算符的本质。非对易性反映了微观世界中的物理量具有量子化的特点，即算符,是区别于经典力学量的根本性质。有关算符一切计算的出发点就是对易关系。 把算符和之积，定义为 （2.2.2.1）算符对任一波函数的运算，相当于先用作用于，得，再用算符作用于结果是完全一样的。一般，算符之积与算符的前后次序有关，不满足交换律 （2.2.2.2）取，则 （2.2.2.3）但 （2.2.2.4）因此有 （2.2.2.5）由于是任意的波函数，从上式可得

14、 （2.2.2.6）由（2.2.2.6）可以看出类似还可以证明 ， （2.2.2.7）但 ， （2.2.2.8）概括起来， (2.2.2.9)则记和只差为 （2.2.2.10） 则 (2.2.2.9)式可改写为 (2.2.2.11) （2.2.2.10）式就称为，的对易关系或对易子（对易式）。（2.2.2.6）式表明，与 的对易式。若算符和的对易子为零，则称算符和对易。这时和之积满足交换律：。例如（2.2.2.8）式与、与就是相互对易的算符。利用对易子的定义式（2.2.2.10）可得如下性质：（雅克比恒等式）以角动量算符为例，他的三个分量分别是： （2.2.2.12）它们和坐标算符的对易式是

15、（2.2.2.13）证：（2.2.2.13）式可以表示为 （2.2.2.14）上式中，表示相应的分量，称为列维-斯维塔满足 （2.2.2.15）任意两个下脚标相同，则为零。同理可得 （2.2.2.16） （2.2.2.17）式中不为零的等式也可写成 （2.2.2.18）坐标和动量的对易式可写为 （2.2.2.19）其中 （2.2.2.20）角动量算符的平方是： （2.2.2.21）则 （2.2.2.22）3.案例计算 通过案例的计算，分析各类括号存在的关系，并通过对比得出结论。3.1力学量平均值 粒子处于波函数所描述的状态下，虽然不是所有的力学量都具有确定的值，但它们都具有确定的概率分布，因而

16、有确定的平均值。例如，位置的平均值为 （3.1.1）其中假定了波函数已经归一化，因此势能的平均值则为 （3.1.2）但对于动量的平均值则不能像像位置或动能平均值一样计算，由于波粒二象性，“粒子在空间某一位值的动量”的提法是没有意义的，即： （3.1.3）对于给定的波函数后，可测的粒子的动量在中的概率为，其中 （3.1.4）即可借助于来间接计算动量平均值 （3.1.5）令 （3.1.6） 则 （3.1.7） 综合上述可以看出内积括号与狄拉克算符在表述上是基本一致的，唯一的却别就是一个是算符，一个仅仅为经典力学量，这样，在计算时，就可以类比记忆。即找到了经典力学到微观力学的过度关系。3.2一维无限

17、深势阱的解法要使电子脱离金属，需要对它做功，这相当于电子在金属表面处势能突然增大，自由电子在金属内部的运动，可近似比作在无限深势阱的运动。由于金属是各向同性的，便可简化为电子在一维无限深势阱中的运动。势能曲线如上图，势能表达式为 （3.2.1） 电子在一维无限深势阱中运动，用经典力学描述和量子力学描述得到了完全不同的结果。按照经典概念，当外界向它提供能量时，电子可获得此能量而自身能量发生连续变化。电子在阱内任何位置出现的概率也是相等的。然而，按照量子力学观点，它的行为却不是这样的。无关，是定态问题，态薛定谔方程 （3.2.2） 在各区域的具体形式为 ： ： ： （3.2.3）由于(1)、(3)

18、方程中，由于，要等式成立，必须 （3.2.4） 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 （3.2.5） 令，得 （3.2.6） 其解为 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 （3.2.7） 由归一化条件 （3.2.8） 得 由 （3.2.9） （3.2.10）可见是量子化的，对应于的归一化的定态波函数为 （3.2.11） 电子所受的保守力，在边界处电子所受的力无限大，指向阱内，意味着电子不可能越出阱外，由波函数物理意义可知势阱外波函数。电子在势阱内势能为零，受力为零。势阱内定态薛定谔方程为3.3对易括号的利用为粒子角动量。为另一力学量，证明： （3.3.1）其中表

19、示空间坐标的梯度，表示动量空间的梯度。证明按照题意 （3.3.2） （3.3.3）又可看作坐标，动量的函数，它一般可以表示成 （3.3.4）为使证明题给论据清楚，可以先导出两种交换关系，作为后文的准备，设为任意波函数 （3.3.5） （3.3.6） （3.3.7）在前式的最后一项中，当I=x时，可利用莱布尼兹公式：（3.3.7）当 （3.3.8）因此： （3.3.9） （3.3.10）现在利用前二式来证明题给一式的x分量的关系成立，该式左方： （3.3.11） 利用（1）和（2）得 （3.3.12） 同理可得 （3.3.13） 综合3式得（3.3.9）3.4平面谐振子的角动量的守恒性平面谐振子

20、的Hamilton量为，按平面坐标展开为 （3.4.1）角动量： （3.4.2）由于不显含时间，则 （3.4.3） 因此，是否是运动积分则由：来决定，讨论：当时，角动量守恒因为： （3.4.4） 当时，平面馆谐振子在中心势场 中运动，所以角动量守恒。（1） 当时，角动量不守恒因为此时势能为：，已经不是中心势场了，故角动量不守恒。3.5力学量随时间的演化 力学量随时间的演化可归纳为力学量算符随时间的变化。由于在任何一个态中测力学量，除了是的本征态外，一般只有平均值，因此我们将通过先讨论平均值随时间的演化，并由此给出算符随时间的变化规律及泊松括号与对易括号之间的关系。在任意态的平均值为 （3.5.

21、1）档体系所处的状态随时间变化时，将随时间变化，将（3.5.1）式对时间微商得 （3.5.2） 由于 （3.5.3）故有 （3.5.4）由于的变化与坐标无关，引入算符，令 （3.5.5）比较（3.5.4）式和 （3.5.5）式，由于是任意的波函数，得 （3.5.6）（3.5.6）式是算符的运动方程。定义出 （3.5.7）接下来我们就可以量子化哈密顿力学中的其他物理量了。其实很简单，力学系统中的物理量是坐标和动量的函数，只需要把换成算符就可以求出量子化算符了。如果我们想计算两个算符的对易括号，直接计算即可。作为热身，很容易推出下面的简单等式： （3.5.8）推导只需要将级数展开就行了。稍微进步一

22、点，可以由级数展开证明：（3.5.9）已经很接近了。现在如果都是的函数，同样由级数展开就可以证明 （3.5.10）这就证明了两种括号的等价性。所以量子力学的动力学（海森堡方程）就可以由哈密顿力学加上量子化假设导出了，即 （3.5.11）量子化将对粒子的描述就变成了对波的描述，泊松括号就变成了对易括号。当然我们这里将波粒二象性作为了前提。事实上，完全可以将泊松括号与对易括号的等价性作为量子力学的前提，只是失去了实验依据的直观性4.结束语本文分析了经典括号和量子括号的定义、性质和意义，讨论了其应用及关系，经计算发现，经典力学的研究方法和表达形式为量子力学及量子场论提供了一整套可供借鉴的理论体系，意

23、义清楚。从而找了到量子场论中算符的表示式与普通代数的表示式的基本一致性,但是，由于文献有限,本文只探讨了比较粗浅的部分，更复杂的情况只有留在以后更多对这方面有意向的读者朋友来完成。致 谢 本文得到李老师的细心指导，特此感谢，同时对文献提供的作者也表示谢意！ 参考文献:1 叶敏 肖龙翔编著，分析力学，天津大学出版社，2001年4月.2刘永编.分析力学.黑龙江科学技术出版社，1984年4月.3 周培源编著，理论力学，北京：科学出版社，2012年9月.4 周衍柏，理论力学教程，高等教育出版社，第三版，2009年7月. 5 张晓岚编著，实变函数与泛函分析简明教程，高等教育出版社2004年6月6 曾谨言

24、.量子力学(第二版 ).北京大学出版社, 2007年8月7蔡建华编著，量子力学（下册）高等教育出版社，1992年版.8苏汝铿 编著量子力学，复旦大学出版社，1997年6月第一版9 范洪义.袁洪春.量子力学语言狄拉克符号法进阶，上海交通大学出版社.2011年10 曾谨言，钱伯初.量子理学专题分析（上）. 高等教育出版社，1990年11 曾谨言.量子理学专题分析（下）.高等教育出版社,1999年The discussion of quantum brackets and classic brackets relationshipLi yong (Department of physics and

25、educational technology, Yuxi normal university,YunnanYuxi653100)Directed by Mao-quan LiAbstract：Study on the methods of classical mechanics and expression to provide a set of theory system and can be used for reference in the form of quantum mechanics and quantum field theory. Especially in the Heisenberg Representation, between the classical and quantum theory in formal resemblance is especially remarkable. According to t