高等数学(2017高教五版)课件元素法定积分在几何学上的应用(工科类)

1、第一讲 元素法 定积分在几何学上的应用 元素法 定积分在几何学上的应用 一、元素法 二、定积分在几何学上的应用 元素法 定积分在几何学上的应用 一、元素法 二、定积分在几何学上的应用 元素法 应用定积分解决实际问题的常用方法 用定积分解决的问题的特点: 所求量联系着一个基本区间 所求量对区间具有可加性 元素法的主要步骤: 选取积分变量,确定积分区间 求出所求量对应于一个小区间的元素 写出所求量积分表达式 元素的求法: 在微小的局部 以直代曲 以不变代变 元素法 定积分在几何学上的应用 一、元素法 二、定积分在几何学上的应用 元素法 定积分在几何学上的应用 一、元素法 二、定积分在几何学上的应用

2、 二、定积分在几何学上的应用 （一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长 二、定积分在几何学上的应用 （一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长 （一）平面图形的面积 1直角坐标情形 2极坐标情形 （一）平面图形的面积 1直角坐标情形 2极坐标情形 曲线)0()(xfy 与直线)(,babxax 及 x 轴所围曲边梯形面积 定积分几何意义 x bao y)(xfy x xxd 元素法: 积分变量: x积分区间: a,b 面积元素: s ( )f x dxdA 所求面积: ( )dd bb aa AAf xx 微小的局部 “以直代曲” u例1 计算由两条抛物线：y2=x、

3、y=x2 所围成的图形的面积 xo y 1 xx+dx 积分变量: x分析:积分区间: 0,1 面积元素: s 2 ()xxdx 所求面积: 1 2 0 ()dAxxx u例2 计算由抛物线y2=2x与直线y=x-4 所围成的图形的面积 xo y y y+dy 积分变量: y 分析: 积分区间: -2，4 面积元素: dA 2 1 (4) 2 yydy 所求面积: 4 2 2 1 4 2 ( +)dAyyy -2 4 法一 u例2 计算由抛物线y2=2x与直线y=x-4 所围成的图形的面积. xo y 积分变量: y 分析: 积分区间: -2，4 面积元素: dA 2 1 (4) 2 yydy

4、 所求面积: 4 2 2 1 4 2 ( +)dAyyy 2 8 法一 积分变量: x积分区间: 0,8 面积元素: dA 2(2 )dxxx 所求面积: 28 02 2 2( 24)ddAx xxxx 法二 0,2x dA 2(4)dxxx 2,8x 较繁！ u例3 求椭圆 22 22 1 xy ab 所围图形的面积. x o y xyAdd 利用对称性 , 有 a xyA 0 d4 利用椭圆的参数方程 )20( sin cos t tby tax 应用定积分换元法得 0 2 4 Atbsinttad)sin( 2 0 2 dsin4 ttba ba4 2 1 2 ba 分析 （一）平面图形

5、的面积 1直角坐标情形 2极坐标情形 （一）平面图形的面积 1直角坐标情形 2极坐标情形 ,0)(, ,)(C设 求由曲线( ) 及 ,射线围成的曲边扇形的面积 . ( ) x d 元素法: 积分变量: 积分区间: , 面积元素: A 2 1 ( ) 2 ddA 所求面积: 2 1 ( )d 2 dAA 微小的局部 “以不变代变” u例4 对应 从 0 变到 2 所围图形面积. 计算阿基米德螺线 (0)aa x a 2 o d 计算心形线 所围图形的面积. (1cos ) (0)aa xa2 o d 例5 心形线是外摆线的一种 l注 2222 yxaxayx 即(1cos )a 方程: 参数的

6、几何意义 o x y a a a2 o x y 计算心形线 与圆所围图形的面积 . (1cos ) (0)aa a u例6 u例7 a 求双纽线 所围图形面积 . 22cos2 a y ox 4 4 用定积分表示该双纽线与圆 2sina 所围公共部分的面积 . l思考 二、定积分在几何学上的应用 （一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长 二、定积分在几何学上的应用 （一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长 (二) 体积 1旋转体的体积 2平行截面面积已知的立体体积 (二) 体积 1旋转体的体积 2平行截面面积已知的立体体积 x y oa bx y oa b )(xf

7、y 求由连续曲线段 绕x轴旋转一周围成的立体体积. ( ) ()yf xaxb 连续曲线段 )()(dycyx 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积. 2 )(yyd d c V x x o y )(yx c d y 元素法: 积分变量: x积分区间: a,b 体积元素: v 2 ( )fxxdV d 所求体积: 2 ( )d bb aa VVfxx d 微小的局部 “以不变代 变” 类似地: a y x b 计算由椭圆1 2 2 2 2 b y a x 所围图形 绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积. 利用直角坐标方程 )( 22 axaxa a b y 法一 (利用对称性) o a V 0 2xy

8、 d 2 x u例8 分析 利用参数方程法二 tby tax sin cos a V 0 2xy d 2 ttabdsin2 32 0 2 x y oa2 计算摆线 )cos1 ( )sin( tay ttax )0( a的一拱与 y0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 绕 x 轴旋转而成的体积为 xyV a x d 2 0 2 a y u例9 分析 绕 y 轴旋转而成的体积为 yyxV a y d)( 2 0 2 2 yyx a d)( 2 0 2 1 l注 )( 2 yxx )( 1 yxx 也可按柱壳法求出 y V a2 xxxd y yx2 柱面面积 柱壳体

9、积 xyxd2 xyxV a y d2 2 0 (二) 体积 1旋转体的体积 2平行截面面积已知的立体体积 (二) 体积 1旋转体的体积 2平行截面面积已知的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), A(x)在a,b上连续,求立体的体积 元素法: 积分变量: x积分区间: a,b 体积元素: v ( )A xxdV d 所求体积: ( )dd bb aa VVA xx 微小的局部 “以不变代变” x a b xxxd )(xA u例10 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得 立体的体积 . 垂直于x 轴 的截面是直角三角形 其面积为

10、 o R x y x 分析 tan)( 2 1 )( 22 xRxA)(RxR 二、定积分在几何学上的应用 （一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长 二、定积分在几何学上的应用 （一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长 0 M 1i M i M n M A B y o x 即 并称此曲线弧为可求长的. ii MM 1 定理 n i 1 0 lim s 定义 当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,则称此极限为曲线弧 AB 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 的弧长. 任意光滑曲线弧都是可求长的. 计算 (1) 参数方程情形 曲线弧: )( )

11、( )( t ty tx A B y o x ( ) t和( ) t在,上具有连续导数 积分变量: t积分区间: , 弧长元素: s 22 ()()xy ds 所求弧长: 22 ( )( )ddssttt 2222 ( )()( )()t dtt dt ()( )dxttt ( )ddxtt ()( )dyttt ( )ddytt 22 ( )( )dttt 计算摆线 )cos1 ( )sin( tay ttax )0( a一拱)20( t 的弧长 . u例11 x y oa2 22 ( )( )ddsttt (2) 直角坐标方程情形直角坐标方程情形 )()(bxaxfy xyd1 2 xys b a d1 2 xxf b a d)(1 2 22 )(d)(ddyxs 曲线弧: 弧长元素: 所求弧长: u例12 c xbb o y 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, )(chbxb c x cy 下垂成悬链线 . 求这一段弧长 . 悬链线方程为 u例13 求连续曲线段tty x dcos 2 的弧长. 22 ( )( )ddsttt ( )() d)()( 22 yx 22 ( )( )d sd (3) 极坐标方程情形 曲线弧: ( )cos () ( )sin x y 参数方程: 弧长元素: 所求弧长: 2