考研数学高数7级数

1、第七讲：级数数项级数:数项级数的概念 给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式u1 + u2 + u3 + + un + 叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为, 即 , 其中第n项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和:作级数的前n项和 称为级数的部分和. 级数敛散性定义: 如果级数的部分和数列有极限s, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和, 并写成 ; 如果没有极限, 则称无穷级数发散. 余项: 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做级数的余项. 重要例

2、题：1、几何级数：2、调和级数：发散3、p-级数：收敛级数的基本性质 性质1 如果级数收敛于和s, 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛, 且其和为ks. 即：如果, 则. 性质2 如果级数、分别收敛于和s、s, 则级数也收敛, 且其和为ss. 即：如果、, 则. 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数 （1-1)+（1-1) + 收敛于零, 但级数1-1+1-1+ 却是发散的. 推

3、论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件: 定理： 如果收敛, 则它的一般项un 趋于零, 即. 数项级数的敛散性判别正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 定理 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列sn有界. 正项级数的敛散性判别法：比较判别法：设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有，则（1）若级数收敛，则级数也收敛；（2）若级数发散，则级数也发散。比较判别法的极限形式：设和是两个正项级数，若，则 （1）当时，级数、同时收敛或同时发散；（2）当且级数收敛时，级数也收敛；（3）当且级数发散时，级数也发散。例： 以几何级数作为比较对象，可得

4、达朗贝尔判别法和柯西判别法：达朗贝尔判别法：设为正项级数，且存在某正整数及常数（）。（1）若对一切，成立不等式 ，则级数收敛。 （2）若对一切，成立不等式 ，则级数发散。常用推论（比值判别法）： 若为正项级数，且，则 （1）当时，级数收敛；（2）当或时，级数发散；（3）当时，无法判断级数的敛散性。例 柯西判别法： 设为正项级数，且存在某正数及正常数， （1）若对一切，成立不等式 ，则级数收敛； （2）若对一切，成立不等式 ，则级数是发散的。常用推论（根式判别法）： 设为正项级数，且，则 （1）当时，级数收敛； （2）当时，级数发散； （3）当时，无法判断级数的敛散性。例：积分判别法：设为上非负

5、减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。达朗贝尔判别法与柯西判别法均有失效的时候，若以p-级数作为比较，可得：拉布判别法（不要求掌握）：设为正项级数，且存在某正整数及常数， （1）若对一切，成立不等式，则级数收敛； （2）若对一切，成立不等式，则级数发散。常用推论：设为正项级数，且，则： （1）若，则级数收敛； （2）若，则级数发散； （3）若，则无法判断的敛散性。例：讨论级数当，2，3时的敛散性交错级数的敛散性判别法： 交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为, 其中. 莱布尼茨定理： 如果交错级数满足条件: (1)unun+1 (n=1,

6、2, 3, ); (2), 则称该级数为莱布尼兹级数；莱布尼兹级数必定收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un+1. 例：证明级数收敛, 并估计和及余项. 绝对收敛与条件收敛: 若级数收敛, 则称级数绝对收敛; 若级数发散, 而级数收敛, 则称级条件收敛. 例：级数是绝对收敛的, 而级数是条件收敛的. 定理：如果级数绝对收敛, 则级数必定收敛. 值得注意的问题: 如果级数发散, 我们不能断定级数也发散. 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数发散, 则我们可以断定级数必定发散. 这是因为, 此时|un|不趋向于零, 从而un也不趋向于零, 因此级数也是发散的. 例：判别级数（1

7、）（2）的收敛性. 作业：1、判别级数的敛散性：（1），（2）2、设，且，判断级数的敛散性。幂级数函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列un(x), 由这函数列构成的表达式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x)+ 称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为. 收敛点与发散点: 对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数收敛, 则称点x0是级数的收敛点. 若常数项级数发散, 则称点x0是级数的发散点. 函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数的和是x的函数s(x), s(x)称为函数项级

8、数的和函数, 并写成. un(x)是的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x), s(x)称为函数项级数un(x)的和函数, 并写成s(x)=un(x). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数的前n项的部分和记作sn(x), 函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x). 在收敛域上有或sn(x)s(x)(n) . 余项: 函数项级数的和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函数项级数的余项. 函数项级数un(x)的余项记

9、为rn (x), 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收敛域上有. 幂级数及其收敛性幂级数: 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ +anxn+ , 其中常数a0, a1, a2, , an , 叫做幂级数的系数. 幂级数的例子: 1+x+x2+x3+ +xn + , . 注: 幂级数的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n+ , 经变换t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ +antn+ .幂级数 1+x+x2+x

10、3+ +xn + 可以看成是公比为x的几何级数. 当|x|1时它是收敛的; 当|x|1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有. 阿贝尔定理 如果级数当x=x0 (x00)时收敛, 则适合不等式|x|x0|的一切x使这幂级数发散. 提示: anxn是的简记形式. 推论如果级数不是仅在点x=0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得 当|x|R时, 幂级数发散; 当x=R与x=-R时, 幂级数可能收敛也可能发散. 收敛半径与收敛区间: 正数通常叫做幂级数的收敛半径. 开区间(-R, R)叫做幂级数的收敛区间. 再由幂级数在x=R处的

11、收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数的收敛域是(-R, R)或-R, R)、(-R, R、-R, R之一. 规定: 若幂级数只在x=0收敛, 则规定收敛半径R=0 , 若幂级数对一切x都收敛, 则规定收敛半径R=+, 这时收敛域为(-, +). 定理如果, 其中an、an+1是幂级数的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径 . 例1 求幂级数 的收敛半径与收敛域. 例2 求幂级数的收敛域. 例3 求幂级数的收敛半径. 例4 求幂级数的收敛半径. 例5 求幂级数的收敛域. 幂级数的运算 设幂级数及分别在区间(-R, R)及(-R, R)内收敛, 则在(-R, R)与(-R, R)中较小的区间内有

12、加法: , 减法: , 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ +(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+ 性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续. 如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R(或-R, R)连续. 性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式 (xI ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导, 并且有逐项求导公式 (|x|R), 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.

13、 重要结论：（在收敛域内） 例6 求幂级数的和函数. 例7 求级数的和. 作业：1. 已知在处条件收敛，问该级数收敛半径是多少？2. 求极限，其中函数的幂级数展开泰勒多项式: 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f(x)近似等于 , 其中(x介于x与x0之间). 泰勒级数: 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x), f(x), , f (n)(x), , 则当n时, f(x)在点x0的泰勒多项式 成为幂级数 这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数. 显然, 当x=x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0). 麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x0=0, 得 , 此级数称为f(x)的麦克劳林级数. 展开式的唯一性: 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 函数展开成幂级数（直接展开） 例1 将函数f(x)=ex展开成x的幂级数. . 例2 将函数f(x)=sin x 展开成x的幂级数. . 例3 将函数f(x)=(1+ x)m展开成x的幂级数, 其中m为任意常数. . （间接展开法） 例4 将函数f(x