北京市房山区高三4月第一次模拟考试理科数学试题及答案

1、北京市房山区2013届高三4月第一次模拟考试 数 学 （理科）2013.04本试卷共4页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则 a. b. c. d. 否 开始结束输出是 2.已知为等差数列，为其前项和.若，则 a. b. c. d. 3.执行如图所示的程序框图若输出， 则框图中 处可以填入 a. b. c. d. 4.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 a. b. c. d. 5.下面四个条件中， “函

2、数存在零点”的必要而不充分的条件是 a. b. c. d. 6. 在abc中，点满足条件，则等于 a. b. c. d. 7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是 a. b. c. d. 8.设集合是的子集，如果点满足：，称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有： ； ； ； a.b. c. d. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则 .10.已知双曲线的焦距为，且过点，则它的渐近线方程为 . 11.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施个程序，其中程序a只能在第一或最后一步实施，程序b和c在实施时必须相邻，则实验顺

3、序的编排方法共有 种.(用数字作答)12.如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，, 则 ,圆的半径等于 .13.某商品在最近天内的单价与时间的函数关系是日销售量与时间的函数关系是.则这种商品的日销售额的最大值为 .14.已知函数的定义域是d，若对于任意，当时，都有，则称函数在d上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：； ； .则 ， . 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数（）求的最小正周期； （）在abc中，角a，b，c所对的边分别是，若且，试判断abc的形状16.（本小题满分14分）在四棱锥中

4、，侧面底面， 为直角梯形，/，为的中点（）求证：pa/平面bef；（）若pc与ab所成角为，求的长；（）在（）的条件下，求二面角f-be-a的余弦值17.（本小题满分13分）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标日均值(微克/立方米)2837143445563879863925某城市环保局从该市市区年全年每天的监测数据中随机的抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（）从这天的日均监测数据中，随机抽出

5、三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（）从这天的数据中任取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望；（）根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级18. (本小题满分13分)已知函数 , . （）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间； （）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得成立，求实数b的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线的焦点坐标为，过的直线交抛物线于两点，直线分别与直线：相交于两点.（）求抛物线的方程；（）证明abo与mno的面积之比为定值.20.（本小题满分13分）对

6、于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示例如对于实数，无穷数列满足如下条件：， 其中 （）若，求数列的通项公式；（）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（）若是有理数，设 （是整数，是正整数，,互质），对于大于的任意正整数，是否都有成立，证明你的结论房山区高三年级第一次模拟考试参考答案数 学 （理科） 2013.04一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1b 2d 3b 4a 5c 6a 7c 8a二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15（本小题

7、满分13分）（） 4分 6分 周期为 7分（）因为 所以 因为 所以 8分 所以 所以 9分 11分 整理得 12分所以 三角形abc为等边三角形 13分16. （本小题满分14分）（）证明：连接ac交be于o，并连接ec，fo / , 为中点 ae/bc，且ae=bc 四边形abce为平行四边形 o为ac中点 .1分又 f为ad中点 / .2分 .3分 /平面 .4分（）解法一：.6分易知 bcde为正方形 建立如图空间直角坐标系，（）则 ，.8分解得： .9分解法二：由bcde为正方形可得 由abce为平行四边形 可得 /为 即.5分 .7分 .8分 .9分（）为的中点，所以 ，,设是平面

8、bef的法向量则 取，则，得 .11分 是平面abe的法向量 .12分 .13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为.14分17（本小题满分13分）（）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天 记“从天的日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件 则 3分（）的可能值为， 4分 8分所以的分布列为9分 10分（）天的空气质量达到一级或二级的频率为 11分，所以估计一年中有天的空气质量达到一级或二级. 13分（说明：答243天，244天不扣分）18（本小题满分13分）（）当时， 1分 .2分所以曲线在点处的切线方程.3分（）4分 当时

9、，解，得，解，得所以函数的递增区间为，递减区间为在 5分 时，令得或i）当时，x )f(x)+-+f(x)增减增6分函数的递增区间为，递减区间为7分ii）当时， 在上，在上 8分函数的递增区间为，递减区间为 9分（）由（）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，所以， 11分存在，使 即存在，使，方法一：只需函数在1，2上的最大值大于等于 所以有 即解得： 13分方法二：将 整理得 从而有 所以的取值范围是. 13分19（本小题满分14分）（）由焦点坐标为 可知所以所以抛物线的方程为4分（）当直线垂直于轴时，与相似，所以 .6分当直线与轴不垂直时，设直线ab方程为7分设，解 整理得 ，所以 .9分.14分综上 20（本小题满分13分）（） ， .2分若，则 所以 3分（） ， 所以 ，从而 当，即时， 所以解得： （，舍去） .4分当 ，即 时，所以 解得 （ ，舍去） 5分 当 时，即 时， 解得 （ ，舍去） 6分综上，集合，. 7分（）结论成立. 8分 由是有理数，可知对一切正整数，为