湖北省华中师大一附中高二国际板物理大小班、长短课重点班附加课件：圆周运动与几何知识的结合

1、圆周运动与几何知识的结合 大课讲义30 我国发射同步卫星一般是这样的： 用火箭把卫星送入约近地点200km、远地点 36000km、倾角28.5的椭圆形轨道。 卫星在运行到远地点附近时，几次用卫星上 远地点发动机变轨，不断提高近地点高度，使 椭圆形轨道逐渐拉高为距地面高36000km的圆 轨道。 卫星进入准同步轨道后，靠卫星上小推力器 向定点位置飘移，并调整轨道的各个参数，使 卫星的轨道倾角接近零，轨道周期接近于地球 自转周期。 卫星定点后还要进行定点保持，由于地球扁率和 太阳光压会引起卫星在定点位置的东西方向上飘移， 需克服这种飘移，使卫星保持在定点位置的0.1 范围，另外日月引力会引起倾角

2、变化，使卫星在南 北方向上产生飘移，需用卫星上推力器不断进行轨 道修正。 为什么同步卫星要经3次变轨及位置捕获才能 定点工作呢？这是由于地球静止轨道高度约 35860km，而轨道倾角为0。要把卫星送到这个 高度，并使卫星以3.07kms的速度运行，这就要 求火箭能够达到10.4 kms的速度，它已接近第 二宇宙速度11.2kms，一般火箭很难“一步到 位”，再因发射场不在赤道上，所以通常需进行多 次变轨才能进入预定的地球静止轨道。 例：已知地球同步卫星离地心的距离为例：已知地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为，运行速度为v1， 加速度为加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速，地

3、球赤道上的物体随地球自转的向心加速 度为度为a2，第一宇宙速度为，第一宇宙速度为v2，地球的半径为，地球的半径为R，则下列比，则下列比 值正确的是：值正确的是： A B C D R r a a 2 1 2 2 1 r R a a R r v v 2 1 r R v v 2 1 a1 同步卫星同步卫星 v1r 物体物体 a2 近地卫星近地卫星 v2 F万 万 F 万 万 FN F 万 万 一是分清各一是分清各 物体的位置物体的位置 二是正确二是正确 运用公式运用公式 错解分析错解分析1错解分析错解分析2 设同步卫星质量为设同步卫星质量为m1， 地球质量为地球质量为M， 地球赤道上的物体质量为地球

4、赤道上的物体质量为m2 据万有引力定律据万有引力定律 11 2 1 am r Mm G 22 2 2 am R Mm G 2 2 1 r R a a 选选 B 设赤道上的物体重力加速度设赤道上的物体重力加速度 为为g，高空中同步卫星所在处，高空中同步卫星所在处 的重力加速度为的重力加速度为g , , 则则 mg = 据黄金代换，据黄金代换， 加速度为加速度为g = = gR2 r2 2 2 2 2 1 r R g r gR g g a a 选选 B GMm r2 错因： 错因： 赤道上物体受力分析错赤道上物体受力分析错 错因：概念混淆。赤道上物体 错因：概念混淆。赤道上物体 的向心加速度的向心

5、加速度 与重力加速度与重力加速度 是两个不同的物理量是两个不同的物理量 g a2 据线速度和角速度的关系据线速度和角速度的关系 错解分析错解分析3 v1= 1 r v2= 2 R 1= 2 错解分析错解分析4 据牛顿第二定律有据牛顿第二定律有 m1a1= m1 12 r m2a2= m2 22 R 1= 2 a1= = v12 r a2= = v22 R v12= a1r v22= a2R 选选 C 错因：情景混淆。第一错因：情景混淆。第一 宇宙速度宇宙速度v2是在地面附是在地面附 近绕地球的环绕速度，近绕地球的环绕速度， 不是随地球自转的线速不是随地球自转的线速 度，式中度，式中 1 2 所

6、以所以 选选 C v2 r R v1 = 错因：张冠李戴。公式错因：张冠李戴。公式 正确，但公式正确，但公式 中中v2 不应不应 是第一宇宙速度而应是自转的线速度是第一宇宙速度而应是自转的线速度 a2= = v22 R a2 r R a1 = a2 r R a1 = v2 r R v1 = 用用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，用表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，用h表示表示 它离地面的高度，它离地面的高度，R0表示地球半径，表示地球半径，g0表示地球表面表示地球表面 处的重力加速度，处的重力加速度，0表示地球自转的角速度。则通讯表示地球自转的角速度。则通讯 卫星所受的地球对它的万有引力

7、大小：卫星所受的地球对它的万有引力大小： A等于等于 0 B等于等于 C等于等于 D以上均不对以上均不对 2 0 0 2 0 hR gR m 34 00 2 0 gRm 小试身手小试身手 BC 近地人造卫星近地人造卫星1和和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和和 T2,设在卫星设在卫星1、卫星、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分各自所在的高度上的重力加速度大小分 别为别为g1、g2，则，则 A B C D g1 g2= T1 T2 4/3 g1 g2= T2 T1 4/3 g1 g2= T1 T2 2 g1 g2= T2 T1 2 B 2 0 2 )(

8、 )( hRm hR Mm G 【例例1】宇宙飞船以周期为宇宙飞船以周期为T绕地地球作圆周运动时，绕地地球作圆周运动时， 由于地球遮挡阳光，会经历由于地球遮挡阳光，会经历“日全食日全食”过程，如过程，如 图所示。已知地球的半径为图所示。已知地球的半径为R，地球质量为，地球质量为M，引，引 力常量为力常量为G，地球自转周期为，地球自转周期为T0，太阳光可看作，太阳光可看作 平行光，宇航员在平行光，宇航员在A点测出的张角为点测出的张角为 ，则，则 A. 飞船绕地球运动的线速度为飞船绕地球运动的线速度为 B. 一天内飞船经历一天内飞船经历“日全食日全食”的次数为的次数为T/T0 C. 飞船每次飞船每

9、次“日全食日全食”过程的时间为过程的时间为 D. 飞船周期为飞船周期为T= 2 2 sin() R T 0 /(2 )aT 22 2 sin()sin() RR GM R O A AD 例例2. 某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者， 他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分 那天（太阳光直射赤道）在日落那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观小时内有多长时间该观 察者看不见此卫星？已知地球半径为察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重，地球表面处的重 力加速

10、度为力加速度为g，地球自转周期为，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。，不考虑大气对光的折射。 解：设所求的时间为解：设所求的时间为t，用，用m、M 分别表示卫星和地球的质量，分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离表示卫星到地心的距离. 2 2 ) 2 ( T mr r mM G 春分时，太阳光直射地球赤道，如春分时，太阳光直射地球赤道，如 图所示，图中圆图所示，图中圆E表示赤道，表示赤道，S表示表示 卫星，卫星，A表示观察者，表示观察者，O表示地心表示地心. O E R S A r 阳光阳光 O E R S A r 阳光阳光 由图可看出当卫星由图可看出当卫星S绕地心绕地心O转

11、到图示转到图示 位置以后（设地球自转是沿图中逆时位置以后（设地球自转是沿图中逆时 针方向），其正下方的观察者将看不针方向），其正下方的观察者将看不 见它见它. 据此再考虑到对称性，有据此再考虑到对称性，有 Rrsin Tt 2 2 g R M G 2 由以上各式可解得由以上各式可解得 3 1 2 2 ) 4 arcsin( gT RT t 总结：画出几何示意图总结：画出几何示意图 是解题的关键是解题的关键 圆周运动求时间的基本圆周运动求时间的基本 思路：是把思路：是把“求时间求时间” 问题转化成问题转化成“圆心角圆心角” 问题问题 联想带电粒子在磁场中联想带电粒子在磁场中 的匀速圆周运动问题。

12、的匀速圆周运动问题。 全国全国卷理综卷理综 r R R1 r1 r RR 1 cos 1 1 cos r R 2 )(2 1 T t 2 2 ) 2 ( T mr r Mm G 2 1 10 2 1 0 ) 2 ( T rm r mm G 3 3 1 mr MrT t 1 11 arccosarccos r R r RR 几何图形是关键 几何图形是关键 练习：侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运练习：侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运 动，它的运行轨道距地面高度为动，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天，要使卫星在一天 的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全的时间内将地面上赤

13、道各处在日照条件下的情况全 部拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄部拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄 像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？(设设 地球的半径为地球的半径为R，地面处的重力加速度为，地面处的重力加速度为g，地球自，地球自 转的周期为转的周期为T .) g Rh T s 3 2 4 2 0 2 2 4 )( )(T hRm hR Mm G g hR RGM hR T 33 0 2 2 ）（）（ n R s 2 0 T T n 地球赤道上的某城市地球赤道上的某城市N想实施一个想实施一个“人造月人造月 亮亮”计划，在地球同

14、步卫星上用一面平面计划，在地球同步卫星上用一面平面 镜将太阳光反射到地球上，使这座城市在镜将太阳光反射到地球上，使这座城市在 午夜有午夜有“日出日出”时的效果若此时的时的效果若此时的N城正城正 是盛夏季节，地球的半径为是盛夏季节，地球的半径为R，其自转周期，其自转周期 为为T，地球表面重力加速度为，地球表面重力加速度为g，太阳在非，太阳在非 常遥远的地方求：常遥远的地方求： (1)地球同步卫星离地心的距离；地球同步卫星离地心的距离； (2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经 度与度与N城的经度差；城的经度差； (3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角 例例3： 卫星所在经线在平面上投影为卫星所在经线在平面上投影为OA，N城所在经城所在经 线在平面上投影为线在平面上投影为ON，则：，则： 就是卫星经度与就是卫星经度与N城的经度差。城的经度差。 2 2 2 () Mm Gmr rT 2 GM g R 22 3 2 4 gR T r 用过赤道平面去截地球与卫星得到图示平面图。设用过赤道平面去截地球与卫星得到图示平面图。设A处为卫星，处为卫星， AP为平面镜。水平入射光线为平面镜。水平入射光线MA，经反射后反射光线，经反射后反射光线AN与地球相与地球相 切，切，N城才有午夜城才有午夜“