画法几何第二章

1、第二章第二章 点与直线点与直线 n2 21 1 点的投影点的投影 n2 22 2 点的投影与直角坐点的投影与直角坐 标的关系标的关系 n2 23 3 各种位置的点各种位置的点 n2 24 4 直线的投影直线的投影 n2 25 5 直线的实长和倾直线的实长和倾 角角 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 21 21 点的投影点的投影 点的两面投影点的两面投影 空间点空间点A A的单面投影的单面投影 H A a 由单面投影定空间点的位置由单面投影定空间点的位置 H a C B A 只根据点在一个投影面上的投影，不能确定该点只根据点在一个投影面上的投影，不能确定该点 在空间的位置。在空间的位置

2、。 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 绪论中提到；在正投影的条件下，点的单面投影不绪论中提到；在正投影的条件下，点的单面投影不 能唯一确定该点的空间位置，那么，两面投影呢？能唯一确定该点的空间位置，那么，两面投影呢？ 点的两面投影能够唯 一确定点的空间位置。 两面投影体系的建立：两面投影体系的建立： VV正面投影面正面投影面 HH水平投影面水平投影面 OXOX投影轴投影轴 H V O X A a a ax 21 21 点的投影点的投影 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 点的两面投影图的形成点的两面投影图的形成 A a a H V O X ax a V H a ax OX 展

3、开展开 去边框去边框 21 21 点的投影点的投影 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 V X O H A a a ax 90度度 V a a ax O X H A到到H 面的面的 距离距离 A到到V 面的面的 距离距离 点的两面投影图的性质点的两面投影图的性质 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 O x V V W 三投影面体系三投影面体系 H V W o x Y z 正立投影面正立投影面 水平投影面 侧立投影面侧立投影面 点的三面投影点的三面投影 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 H V O X Y Z 点的三面投影点的三面投影 A a a ax a ay az

4、通常我们用大写字母 表示空间的点，相应 的小写字母表示其水 平投影，小写字母加 一撇表示其正面投影， 小写字母加两撇表示 其侧面投影。 W 点的三面投影点的三面投影 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 点的三面投影图点的三面投影图 A H V O X Y Z a a ax a ay az W a a a O X YH Z YW ax ay az ay 点的三面投影点的三面投影 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 （1）点的投影之间的连线分别垂直于它们之间的）点的投影之间的连线分别垂直于它们之间的 投影轴投影轴aaX轴，轴，aaZ轴轴 （2）点的各投影到投影轴的距离，等于该点到通

5、）点的各投影到投影轴的距离，等于该点到通 过该轴的相邻投影面的距离过该轴的相邻投影面的距离 在点的三面投影体系中，由一点的任意两个投在点的三面投影体系中，由一点的任意两个投 影，均可表示一点在空间与投影面的相对位置，因影，均可表示一点在空间与投影面的相对位置，因 此，只要给定点的任何两个投影，就可以确定点的此，只要给定点的任何两个投影，就可以确定点的 空间位置，并可根据点的投影特性求出其第三个投空间位置，并可根据点的投影特性求出其第三个投 影。影。 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 2 22 2 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 A H V O X Y Z a a a

6、x a ay az W x z y A点的点的x坐标坐标aay=aaz A点的点的y坐标坐标aax=aaz A点的点的z坐标坐标aax=aay 22 22 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 例题例题1： 已知点已知点B的水平投影的水平投影b和正面投影和正面投影b，求侧，求侧 面投影面投影b”。 步骤：步骤： 1.过过b作作OZ轴的垂线轴的垂线bbz； 2.在在bbz的延长线上取的延长线上取b”bz = bbx O Z YH YW b b bx b” bz X 21 21 点的两面及三面投影点的两面及三面投影 画法几何画法几何 建筑工程

7、学院建筑工程学院 例题例题2： 已知点已知点C的正面投影的正面投影c和侧面投影和侧面投影c”，求水平投影，求水平投影 c。 步骤：步骤： 1.过过c作作OX轴的垂线轴的垂线ccx； 2.在在ccx的延长线上取的延长线上取cc x= c”cz O Z YH YW cx c” cz X c c 21 21 点的两面及三面投影点的两面及三面投影 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 例：已知一空间点例：已知一空间点A到到H面的距离为面的距离为20，到，到V面的面的 距离为距离为15，到，到W面的距离为面的距离为30，求其三面投影。，求其三面投影。 O Y X Z 解法一：直接量取坐标解法一：直

8、接量取坐标 由三面投影图与坐标之间由三面投影图与坐标之间 的关系可知点在空间的位置可的关系可知点在空间的位置可 由其坐标来表示：由其坐标来表示：A(30,15,20) a aa 22 22 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 解法二：已知两投影求第三投影解法二：已知两投影求第三投影 O Y Y1X Z a a 高平齐 宽相等 a 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 2 23 3 各种位置的点各种位置的点 H V X Z Y W a a A a b B b b c C c cD d d d Y X Y1 Z O a a a b b

9、 b c c c d dd O 23 23 各种位置的点各种位置的点 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 各种位置的点的投影特性如下：各种位置的点的投影特性如下： 1、空间点（空间点（A）：）：不在任一投影面上的点，它的三个坐标均不为零不在任一投影面上的点，它的三个坐标均不为零 2、投影面上的点（投影面上的点（B）：在一个投影面上的点，必有一个坐标为在一个投影面上的点，必有一个坐标为 零，在该点所在的投影面上的投影与该点零，在该点所在的投影面上的投影与该点 重合，另外两个投影则分别位于这个投影重合，另外两个投影则分别位于这个投影 面的两条投影轴上面的两条投影轴上 3、投影轴上的点（投影

10、轴上的点（C）:在两个投影面上（投影轴）的点必有两个在两个投影面上（投影轴）的点必有两个 坐标为零，在相交于这条投影轴的两个投坐标为零，在相交于这条投影轴的两个投 影面上的投影，都与该点相重合，另一条影面上的投影，都与该点相重合，另一条 投影则重合于原点投影则重合于原点 4、与原点重合的点（与原点重合的点（D）：）：在三个投影面上（原点）的点必与原点在三个投影面上（原点）的点必与原点 重合，与原点重合，与原点O相重合的点的三个坐标相重合的点的三个坐标 都是零，三个投影都重合于原点都是零，三个投影都重合于原点O 23 23 各种位置的点各种位置的点 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 两

11、点的投影两点的投影-两点的相对位置两点的相对位置 XO Z Y 两点中两点中X X值大值大的点的点 在左在左 两点中两点中Y Y值大值大的点的点 在前在前 两点中两点中Z Z值大值大的点的点 在上在上 X Z Y1 Y O a a a b b b a a a b b b B A A 上-下 左-右 后-前 后-前 后-前 两点间的相对位置两点间的相对位置 可用它们同方向的可用它们同方向的 坐标差值来判断坐标差值来判断 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 重影点及可见性重影点及可见性 V H c (c)d d C D a(b) a b A B 对对H面的面的重影点重影点 对对V面的面的重

12、影点重影点 当空间两点在某一投当空间两点在某一投 影面上的投影重合成影面上的投影重合成 一点时称为对该投影一点时称为对该投影 面的重影点。面的重影点。 前遮后前遮后 左遮右左遮右 上遮下上遮下 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 X Z Y1 Y O b b b 5 8 9 aa a 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 例例:已知点已知点A，并知点，并知点B在点在点A之右之右8mm，之后，之后6mm， 之下之下6mm，点，点E在点在点A的正下方，在的正下方，在H面上，作点面上，作点 B和点和点E的三面投影，并表明可见性的三面投影，并表明可见性 Y X Y1 Z a a a O8

13、 6 6 6 b bb (e) e e 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 例：已知点例：已知点B B距离点距离点A A为为1515，点，点C C与点与点A A是对是对V V 面投影的重影点，点面投影的重影点，点D D在在A A的正下方的正下方2020，补，补 全三面投影，并表明可见性全三面投影，并表明可见性 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 a Y X Y1 Z a b (a) O c b b ()c c (d) d d 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 一、直线投影的作图一、直线投影的作图 直线的投影，一般情况下是直线。作图分为两步：直线的投影，一般情况下是直线

14、。作图分为两步： （1 1）作出直线上两个点的各个投影；）作出直线上两个点的各个投影； O Z YH YW a a a” X b bb” （2 2）分别连接这两个点的同面投影。）分别连接这两个点的同面投影。 24 24 直线的投影直线的投影 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 二、直线在空间的趋势二、直线在空间的趋势 1 1、上行直线、上行直线 H V OX B A a b a b OX a a b b 投影特点：两个投影对投影特点：两个投影对OXOX轴向轴向同一方向同一方向倾斜。倾斜。 24 24 直线的投影直线的投影 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 二、直线在空间的趋势

15、二、直线在空间的趋势 H V OX C D d c d c OX d d c c 投影特点：两个投影对投影特点：两个投影对OXOX轴向轴向不同方向不同方向倾斜。倾斜。 2 2、下行直线、下行直线 24 24 直线的投影直线的投影 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 国家网球中心的斜梁 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 a a- -直线与直线与H H面的倾角面的倾角 a b b- -直线与直线与V V面的倾角面的倾角 g- -直线与直线与W W面的倾角面的倾角 g 2525线段的实长及其对投影面的倾角线段的实长及其对投影面的倾角 一、一般位置直线的倾角一、一般位置直线的倾角 画

16、法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 一般位置直线一般位置直线- -对各投影面对各投影面 都倾斜的直线。都倾斜的直线。 ab =ABcosab =ABcosa a a g ab=ABcosab=ABcosb b a”b”=ABcosa”b”=ABcosg g 一般位置直线的一般位置直线的 三个三个投影投影都小于都小于实实 长长。 2525线段的实长及其对投影面的倾角线段的实长及其对投影面的倾角 二、一般位置直线的投影特性二、一般位置直线的投影特性 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 三、一般位置直线的实长和倾角三、一般位置直线的实长和倾角 H B A a b OX a a b b

17、C a a b0 a a 步骤：步骤： 1.过过b作作ab的垂线；的垂线； 2.在垂线上截取在垂线上截取bb0=m; 3.连接连接ab0， ab0=AB，bab0= a a. m m b0 a a 2525线段的实长及其对投影面的倾角线段的实长及其对投影面的倾角 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 三、一般位置直线的实长和倾角三、一般位置直线的实长和倾角 a g OX a a b b n n a0 步骤：步骤： 1.过过a作作a b 的垂线；的垂线； 2.在垂线上截取在垂线上截取aa0 =n; 3.连接连接a0 b ， a0 b =AB， aba0 = b b. b b 2525线段的

18、实长及其对投影面的倾角线段的实长及其对投影面的倾角 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 三、一般位置直线的实长和倾角三、一般位置直线的实长和倾角 a g 作图方法：作图方法： 以线段在以线段在某个投影面某个投影面 上的投影为一直角边，以上的投影为一直角边，以 线段的线段的两端点到这个投影两端点到这个投影 面的距离差面的距离差为另一直角边，为另一直角边， 作一个直角三角形，此直作一个直角三角形，此直 角三角形的角三角形的斜边斜边就是线段就是线段 的实长，此的实长，此斜边和投影的斜边和投影的 夹角夹角，等于线段对该投影，等于线段对该投影 面的倾角。面的倾角。 2525线段的实长及其对投影面

19、的倾角线段的实长及其对投影面的倾角 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 例题例题1： 试用直角三角形法确定直线试用直角三角形法确定直线CD的实长及对投影面的实长及对投影面 V的倾角的倾角b b 。 分析：分析： 求直线对求直线对V面的倾角，必须以面的倾角，必须以V面投影作一直角边，面投影作一直角边， 另一直角边是直线两端点到另一直角边是直线两端点到V面的距离差。面的距离差。 OX d d c c cd c0 实长实长 b b 2525线段的实长及其对投影面的倾角线段的实长及其对投影面的倾角 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 例例：试用直角三角形法确定：试用直角三角形法确定CDCD的实长及对投的实长及对投 影面影面V V的倾角的倾角 c c d d b Y Y 2525线段的实长及其对投影面的倾角线段的实长及其对投影面的倾角 画法几何画法几何 建筑工程学院建筑工程学院 例题例题2： 已知直线已知直线CD对投影面对投影面H的倾角的倾角a a =30，试补，试补 全正面投影全正面投影cd 。 分析：分析： 由倾角作投影的问题。由倾角作投影的问题。 已知已知a a =30，必须以水平，必须以水平 投影为一直角边，可以作投影为一直角边，可以作 出直角三角形。因此，能出直角三角形。