10.3差分方程在经济学中的简单应用ppt课件

1、 10.3 差分方程在经济学中的简 单应用 一、“筹措教育经费模型 二、价格与库存模型 三、国民收入的稳定分析模型 某家庭从现在开始，从每月工资中拿出一部分某家庭从现在开始，从每月工资中拿出一部分 资金存入银行，用于投资子女教育，并计划资金存入银行，用于投资子女教育，并计划2020年后年后 开始从投资账户中每月支取开始从投资账户中每月支取10001000元，直到元，直到1010年后子年后子 女大学毕业并用完全部资金女大学毕业并用完全部资金. .要实现这个投资目标，要实现这个投资目标， 2020年内共要筹措多少资金？每月要在银行存入多少年内共要筹措多少资金？每月要在银行存入多少 钱？钱？ 假设投

2、资的月利率为假设投资的月利率为0.5%.0.5%. 为此，为此， , n a账户资金为账户资金为,元元每月存入资金为每月存入资金为 b 个月投资个月投资设第设第n 于是于是20年后年后, 的差分方程模型为的差分方程模型为关于关于 n a 一、“筹措教育经费模型 1 1.0051000(1028) nn aa .,0 0120 xaa 且且 解方程解方程 (10-31)，得通解，得通解 005. 11 1000 )005. 1( Ca n n 以及以及0200000)005. 1( 120 120 Ca xCa 000200 0 000200)005. 1( C n 从现在到从现在到20年内，年

3、内，满足方程满足方程 n a 1 1.005(1029) nn aab .45.07390,0 2400 aa且且 005. 11 )005. 1( b Ca n n 从而有从而有 120 )005. 1( 000200 000200 x45.07390 bC n 200)005. 1( 解方程解方程 ，得通解，得通解(1029) 即要达到投资目标，即要达到投资目标，20年内要筹措资金年内要筹措资金90073.45元，元， 平均每月要存入平均每月要存入194.95元元. 以及以及 bCa200)005. 1( 240 240 0200 0 bCa 从而有从而有95.194 b 45.07390

4、 二、价格与库存模型 本模型考虑库存与价格之间的关系本模型考虑库存与价格之间的关系. ,)(个时段某类产品的价格个时段某类产品的价格为第为第设设nnp ,个时段的库存量个时段的库存量第第n 为为)(nL .为该产品的合理库存量为该产品的合理库存量L 一般情况下，一般情况下， 如果库存量低于合理库存，则该产品售价要上涨，如果库存量低于合理库存，则该产品售价要上涨， 于是有方程于是有方程 如果库存量超过合理库存，则该产品的售价要下跌，如果库存量超过合理库存，则该产品的售价要下跌， 1 ()(1030) nnn PPc LL .为为比比例例常常数数其其中中c 211 2()(1031) nnnnn

5、PPPc LL ,)(售售状状态态有有关关的的改改变变与与产产品品的的生生产产销销又又设设库库存存量量nL ,1时时段段的的供供求求之之差差时时段段库库存存增增加加量量等等于于该该且且在在第第 n 即即 111 (1032) nnnn LLSD 若设供给函数和需求函数分别为若设供给函数和需求函数分别为 ,)( PaS )(PbD baPbaLL nnn 11 )( 由由 变形可得变形可得)3310( 代入代入 后，有后，有(1032) 21 ()2()(1033) nnn Pc abPPab ,1033 nn yP c 令令则则非非常常变变为为 21 ()20 nnn yc abyy 012)

6、( 2 bac 解得解得,1 2 2, 1 rr , 2)( 2 1 bacr于是于是 ,1 r若若,cos r并设并设 nBnBP n sincos 21 再由再由 ，有方程，有方程(1031) 上述方程对应齐次方程的特征方程为上述方程对应齐次方程的特征方程为 则方程则方程 的通解为的通解为(1033) .循环变化循环变化值值个时段价格将围绕稳定个时段价格将围绕稳定即第即第 n ,1 r若若, 21 为两个实根为两个实根则则 nn n AAP 2211 ,11 2 2 rrr 这时由于这时由于 ,n则当则当., 2 方程无稳定解方程无稳定解将迅速变化将迅速变化 n 因此，因此，,11 r当当

7、,210 r即即 , 4 0时时也也即即 ba c 价格相对稳定，价格相对稳定， .,为为正正常常数数其其中中cba 方程方程 的通解为的通解为 (1033) 本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的 关系问题关系问题. 主要用于该期内的消费主要用于该期内的消费期内的国民收入期内的国民收入设第设第 n yn , n C定定开支开支和政府用于公共设施的和政府用于公共设施的再生产投资再生产投资(GIn ),为常数为常数即有即有 (1034) nnn yCIG 的的国国民民收收入入水水平平有有期期的的消消费费水水平平与与前前一一期期又又设设第第n ,关关即即 三、国民收入的稳定分析模型 1 (01)(1035) nn CAyA ,费水平的变化费水平的变化期的生产投资取决于消期的生产投资取决于消第第n即有即有 1 ()(1036) nnn IB CC 12 (1)(1037) nnn yAB yBAyG 于是于是, 0 yyGBA以以及及对对应应可求解方程可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性并讨论国民收入的变化趋势和稳定性. 由方程由方程 合并整理得合并整理得(1034),(1035),(1036) 例如例如,3,2, 1,1, 2 1 10 yy