1.3函数的极限ppt课件

1、 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限 第三节 , )(xfy 对 0 )1(xx 0 )2(xx 0 )3(xx x)4( x)5( x)6( 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数的极限 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义 引例引例. 测量正方形面积测量正方形面积.面积为A ) 边长为(真值:; 0 x 边长 面积 2 x 直接观测值 间接观测值任给精度 ,

2、要求 Ax 2 确定直接观测值精度 : 0 xx 0 x A x 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定义定义1 . 设函数设函数)(xf 在点 0 x的某去心邻域内有定义 , ,0,0 当 0 0 xx时, 有 Axf)( 则称常数 A 为函数)(xf当 0 xx 时的极限, Axf xx )(lim 0 或)()( 0 xxAxf当 即 ,0,0当),( 0 xx 时, 有 假 设 记作 Axf)( Axf xx )(lim 0 几何解释几何解释: 0 x 0 x A A A x 0 x y )(xfy 极限存在 函数局部有界 (P36定理2) 这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 完毕

3、 例例1. 证明证明)(lim 0 为常数CCC xx 证证:Axf)(CC 0 故 ,0 对任意的 ,0 当 0 0 xx时 , 0CC 因而CC xx 0 lim 总有 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 证明证明1)12(lim 1 x x 证证: Axf)(1) 12(x12x 欲使,0 取, 2 则当10 x时 , 必有 1) 12()(xAxf 因而 ,)( Axf只要 , 2 1 x 1)12(lim 1 x x 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 证明证明2 1 1 lim 2 1 x x x 证证:Axf)(2 1 1 2 x x 21 x 故,0取,当1

4、0 x 时 , 必有 2 1 1 2 x x 因而 2 1 1 lim 2 1 x x x 1 x 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 证明证明: 当当0 0 x 证证:Axf)( 0 xx 0 0 1 xx x 欲使 ,0 且 . 0 x 而0 x可用 0 xx 因而 ,)( Axf只要, 00 xxx 0 0 limxx xx .lim 0 0 xx xx 时 0 0 xx xx 故取 ,min 00 xx则当 0 0 xx时, 00 xxx保证 . 必有 ox 0 xx 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 保号性定理保号性定理 定理定理1 . 假设假设,)(lim 0 A

5、xf xx 且 A 0 , ,),( 0 时使当xx . 0)(xf )0)(xf 证证: 知知 ,)(lim 0 Axf xx 即,0, ),( 0 x 当 时, 有.)(AxfA 当 A 0 时, 取正数 ,A 则在对应的邻域上 . 0)(xf ( 0) )(A 则存在 ( A 0 ) ),( 0 x ),( 0 xx ),( 0 x (P37定理3) 0 x 0 x A A A x 0 x y )(xfy )0( 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 AxfA)( :0A :0A 若取, 2 A 则在对应的邻域 上 假 设 ,0)(lim 0 Axf xx 则存在使当 时, 有. 2 )(

6、 A xf 推论推论: 2 3 )( 2 A xf A 2 )( 2 3A xf A ),( 0 x , ),( 0 x ),( 0 xx (P37 推论) 0 x 0 x A A A x 0 x y )(xfy 分析分析: 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理 2 . 若在若在 0 x的某去心邻域内 0)(xf )0)(xf , 且 ,)(lim 0 Axf xx 那么 . 0A )0(A 证证: 用反证法用反证法.则由定理 1, 0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知 所以假设不真, .0A (同样可证0)(xf的情形) 考虑: 若定理 2 中的条件改为, 0)(x

7、f是否必有?0A 不能不能! 0lim 2 0 x x 存在 如 假设 A 0 , 条件矛盾, 故 时,当0)(xf 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 左极限与右极限左极限与右极限 左极限 : )( 0 xfAxf xx )(lim 0 ,0,0当),( 00 xxx 时, 有.)( Axf 右极限 : )( 0 xfAxf xx )(lim 0 ,0,0当),( 00 xxx 时, 有.)( Axf 定理定理 3 . Axf xx )(lim 0 Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 ( P38 题8 ) 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5. 设函数设函数 0,1

8、 0,0 0, 1 )( xx x xx xf 讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . x y o 1 1 xy 1 1 xy 解解: 利用定理利用定理 3 .因为 )(lim 0 xf x ) 1(lim 0 x x 1 )(lim 0 xf x ) 1(lim 0 x x 1 显然 , )0()0( ff 所以)(lim 0 xf x 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 XX A A ox y )(xfy A 二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义定义2 . 设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,假 设 ,0X,)(,AxfXx有时当则

9、称常数 时的极限, Axf x )(lim)()(xAxf当或 几何解释几何解释: AxfA)( XxXx或 记作 直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线 ,0 xxf当)( 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 A 为函数 例例6. 证明证明. 0 1 lim xx 证证:0 1 xx 1 取 , 1 X ,时当Xx 0 1 x 因而0 1 lim xx 注注: 就有 故,0欲使,0 1 x 即 , 1 x ox y x y 1 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 . 1 0的水平渐近线为 x yy x 1 x1 1 o y x x xg x xf 1 1 )(, 1 )( 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 两种特殊情况两种特殊情况 : Axf x )(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)( Axf x )(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)( 几何意义几何意义 : 例如， 都有水平渐近线;0y xx xgxf21)(,21)( 都有水平渐近线. 1y 又如， o x y x 21 x 21 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结 1. 函数极限的或X定义及应用 2. 函数极限的性质:保号性定理 与左右极限等价定理 思考与练习思考与练习 1. 若极