大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二

1、2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 1 作业作业 9.11.13.25.26.28. 9.11.13.25.26.28. 35.39.41.47. 35.39.41.47. 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 2 第二十二讲第二十二讲 常微分方程常微分方程（二）（二） 一、一阶线性方程一、一阶线性方程 三、可利用微分形式求解的方程三、可利用微分形式求解的方程 二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程方程 四、积分因子四、积分因子 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 3 )1()()( )()( 1 )

2、1( 1 )( xfyxa yxayxay n n nn 阶阶线线性性微微分分方方程程n )2(0)( )()( 1 )1( 1 )( yxa yxayxay n n nn 非非齐齐次次 齐齐次次 一、一、 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 4 线线性性方方程程的的性性质质一一)( 则则它它们们的的任任意意线线性性组组合合的的解解 是是线线性性齐齐次次方方程程与与如如果果 , )2()()( 21 xyxy .,)2( 21 为为任任意意常常数数其其中中的的解解都都是是方方程程CC )()( 2211 xyCxyCy 性质性质1： 必必

3、有有零零解解。线线性性齐齐次次方方程程)2( 性质性质2： 。为为任任意意常常数数的的解解亦亦是是 则则的的解解是是线线性性齐齐次次方方程程若若 )(2)( ,)2()( CxCyy xyy 性质性质3： 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 5 .)2()()( ,)1()(),( 21 21 的的解解是是齐齐次次方方程程则则 的的解解是是非非齐齐次次方方程程如如果果 xyxy xyxy .)1()()( ,)2()( )1()( * * 的的解解是是非非齐齐次次方方程程 则则的的一一个个解解是是齐齐次次方方程程 的的一一个个解解，是是非非齐齐次次方方程程如如果果 xyx

4、y xy xy 性质性质4： 性质性质5： 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 6 0)()()( xcyxb dx dy xa 0)( yxp dx dy )()(xqyxp dx dy (1) 如何解齐次方程？如何解齐次方程？ 非齐次非齐次 齐次齐次 可分离型！可分离型！ 0)( yxp dx dy 标准形式：标准形式： 什麽类型？什麽类型？ 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 7 分离变量分离变量 dxxp y dy )( dxxp cey )( 是是p(x)一个原函数一个原函数 不是不定积分！不是不定积分！

5、齐次通解齐次通解解得解得 注意：注意： 齐次通解的结构：齐次通解的结构： )(, 0)()( 1 1 xCyy yxpyxy 则则通通解解零零解解 一一个个非非的的是是设设 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 8 )1()()(xqyxp dx dy (2)(2)用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程 假定假定(1)的解具有形式的解具有形式 )()( 1 xyxCy 将这个解代入将这个解代入(1) , 经计算得到经计算得到 )2(0)( yxp dx dy 齐齐次次方方程程 的的对对应应于于 ) 1( )()2( 1 )( xCyCey dxxp 的的通通解解为

6、为 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 9 ）的的解解，（是是 2)( 1 xy 0)()()()( )( 11 xyxCxpxyxC )( )()()( 11 xyxCxyxC )()()()( 1 xqxyxCxp 化简得到化简得到)()()( 1 xqxyxC dxxp exqxC )( )()(即即 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 10 积分积分 CexqxC dxxp )( )()( 从而得到非齐次方程从而得到非齐次方程(1)的通解的通解 )( )()( dxexqCey dxxpdxxp 非齐次通解非齐次通解 )( 0 00 )()(

7、 x x dxxpdxxp dxexqCey x x x x或或 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 11 非齐次通解的结构：非齐次通解的结构： 的的通通解解为为则则 的的一一个个解解是是 通通解解的的是是设设 )1( ,)1()()()( ,)2(0)( xqyxpyxy yxpyy )()(xyyxy 000) (yCyxy 得得给给 特解特解 )( 0 00 )( 0 )( x x dxxpdxxp dxexqyey x x x x 非齐次特解非齐次特解 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 12 的的通通解解。求求例例)1(11 yy 解解 的

8、的一一个个解解易易知知)2(0 yy .)1(1)(的的一一个个解解是是观观察察出出 xy 1)()1( x Cexy的的通通解解 ,)( 1 x exy .)2( x Cey 的的通通解解 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 13 dyeyydxxdy y2 2 例例 这是线性方程吗？这是线性方程吗？ 是关于函数是关于函数 x=x(y) x=x(y) 的一阶线性方程！的一阶线性方程！ 解解 变形为：变形为： y ye y x dy dx 第一步第一步: :先求解齐次方程先求解齐次方程 0 y x dy dx 齐次方程通解是齐次方程通解是)R( CCyx y dy Cex

9、 y dy x dx 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 14 第二步第二步: :用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程 假设非齐次方程的解为假设非齐次方程的解为yyCx)( 代入方程并计算化简代入方程并计算化简 y yeyCyCyCy )()()( y eyC )( 积分得积分得CedyeyC yy )( 通解通解 y yeCyx 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 15 方方程程 证证明明连连续续有有界界在在设设例例,), 0)(, 03 xfa )0()( ttfax dt dx .), 0有有界界每每个个解解在在 . )0()( 0

10、 的的解解 是是满满足足初初始始条条件件设设xxtxx )0()()( 0 0 tdssfexetx t asat 则则 证证 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 16 Mxf )(设设 t sta dssfextx 0 )( 0 )()( t sta dseMx 0 )( 0 a M x 0 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 17 Bernoulli Bernoulli 方方 程程 n yxqyxp dx dy )()( )()( 1 xqyxp dx dy y nn n y方方程程两两端端同同除除 n yz 1 令令 dx dy yn dx d

11、z n )1(则则有有 二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 18 dx dz ndx dy y n 1 1 )()1()()1(xqnzxpn dx dz 将将原原方方程程化化为为 Bernoulli 方方 程程 n yz 1 令令 线性线性 方程方程 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 19 3 4 2 3 2 yxy x y 解解方方程程例例 3 4 nBernoulli方方程程 3 1 3 4 1 yyz令令 解解 将将原原方方程程化化为为 3 1 3 4 yyz 2 3 2 3xz x z

12、2 3 1 3 4 3 2 xy x yy 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 20 解线性方程解线性方程 相应的齐次方程相应的齐次方程 )2(0 3 2 z x z (2)的通解的通解 3 2 3 21 3 2 )(CxeCCez dx x dx x 设设(1)的解为的解为 3 2 )(xxCz 代入代入(1),(1),计算化简得到计算化简得到 )1( 3 2 2 xz x z 2 3 2 )(xxxC 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 21 3 3 2 7 3 )()(xCxxzzxz 3 3 2 3 1 7 3 xCxy CxdxxxC 3

13、7 3 4 7 3 )( 3 3 2 3 7 7 3 7 3 )(xxxxz 的的通通解解)1( 原原方方程程的的通通解解 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 22 三、三、 可利用微分形式求解的方程可利用微分形式求解的方程 利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方 法将微分方程变为某些函数的微分形式法将微分方程变为某些函数的微分形式. )( xydydxxdy ) 2 ( 22 yx dydyxdx )( 2 x y d x ydxxdy )( 2 y x d y xdyydx 例如例如 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程

14、二 23 )(arctan 22 y x d yx xdyydx )(arctan 22 x y d yx ydxxdy )( 22 22 yxd yx ydyxdx ) 2 ( 22 22 yx dydyxdxxy 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 24 解解 0)( 2 ydyydxxdydxx 0) 2 ()() 3 ( 23 y dxyd x d 0) 23 ( 23 y xy x d 通解通解C y xy x 23 23 0)()(1 2 dyyxdxyx解解方方程程例例 凑微分凑微分 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 25 2例例 0

15、)ln( 3 dyyxdydx x y 0)lnln( 3 dyyxdyxyd 0) 4 ()ln( 4 y dxyd 通解为通解为Cyxy 4 4 1 ln 0)ln( 3 dyxydx x y 解解方方程程 解解 改写为改写为 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 26 3例例 022 22 dyyxdxyxxxdx 0)(2 222 dyyxxdyxxdx 0)(2 22 yxdyxxdx 通解为通解为 Cyxx 2 3 22 )( 3 2 分分将将方方程程的的左左端端分分组组凑凑微微 0)1(2 22 dyyxdxyxx解解方方程程 解解 2021-7-4大学微积分

16、高等数学课件第讲常微 分方程二 27 0)(4 2 dyxyydx解解方方程程例例 问问: 能否直接通过凑微分求解？能否直接通过凑微分求解？ 不能不能 问问: 能否变为可通过凑微分求解的方程？能否变为可通过凑微分求解的方程？ 试试看试试看 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 28 ( (六六) )积分因子积分因子 )1(0),(),( dyyxNdxyxM微微分分方方程程 ，使使得得若若能能找找到到),(yx 0),(),()(,( dyyxNdxyxMyx 可可利利用用微微分分形形式式求求解解， 的的是是方方程程则则称称)1(),(yx 积积分分因因子子 2021-7-4大学微积分高等数学课件第讲常微 分方程二 29