第A09章_动量定理

1、第第9章章 动量定理动量定理 9-1 9-1 基本概念基本概念 9-2 9-2 动量定理及其基本方程动量定理及其基本方程 9-3 9-3 质心运动定理和动量守恒质心运动定理和动量守恒 一一. 质心质心 质点系质量中心质点系质量中心C定义为定义为 9-1 9-1 基本概念基本概念 )( iic rmrM M rm m rm r ii i ii c M rm m rm r ii i ii c 在直角坐标下在直角坐标下 M ym y ii c M xm x ii c M zm z ii c )( iic amaM 对时间取两次导数对时间取两次导数 二二 . 质点系的外力和内力质点系的外力和内力 ie

2、 FF 外力外力 内力内力 1, 质点系所有的内力的矢量和质点系所有的内力的矢量和 等于零等于零; 0 i F 2, 质点系所有的内力对任一点或一轴之矩的和等于零质点系所有的内力对任一点或一轴之矩的和等于零. 0)( i z FM 0)( i o FM 1：质点的动量：质点的动量(定义定义) mP 2：质点系的动量：质点系的动量(定义定义) )( ii mP 将公式将公式对时间求导，有对时间求导，有 )( iiC rmrM iic vmvM c vMP 三三. 动量动量( (kg m/s) ) 例题例题 曲柄连杆机构的曲柄曲柄连杆机构的曲柄OA以匀以匀 转动，设转动，设OA=AB=l ,曲柄曲

3、柄OA及连杆及连杆 AB都是匀质杆都是匀质杆, 质量各为质量各为m , 滑块滑块B的质量也为的质量也为m。求当求当 = 45时系时系 统的动量。统的动量。 33 22 11 C C C vm vm vm 解：解： xCxCxCx mvmvmvP 321 yCyCyCy mvmvmvP 321 ii mP AB P A v 3 C v 1 C v 2 C v 2 2 ) 10 1 2 5 2 2 2 1 ( ml ml )sincos( 21 CCy vvmP )cossin( 321CCCx vvvmP )2cos 2 5 45sin 2 1 (lllm mlml22)2 10 3 2 5 2

4、 2 2 1 ( )sin 2 5 45cos 2 1 (llm 四四. 力的冲量力的冲量(kg.m/s) 定义定义: : 作用力与作用时间的乘积称为力的冲量作用力与作用时间的乘积称为力的冲量 1，作用力，作用力F是恒量是恒量, 作用时间为作用时间为t, 则则: tFI t tFI 0 d 2，作用力，作用力F是变量是变量, 且是时间的函数且是时间的函数,则则: 一一. 质点的动量定理质点的动量定理 9-2 9-2 动量定理及其基本方程动量定理及其基本方程 Fam F t v m d d F t vm d d F t P d d 称为称为质点动量定理的微分形式质点动量定理的微分形式(瞬时公式瞬

5、时公式)，即质点动即质点动 量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。 称为称为质点动量定理的积分形式质点动量定理的积分形式(时间间隔公式时间间隔公式)，即在，即在 某一时间间隔内某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质点的力质点动量的变化等于作用于质点的力 在此段时间内的冲量。在此段时间内的冲量。 在在 内内,速度由速度由 ，有，有 1 t 2 t 1 v 2 v 1212 2 1 dItFvmvm t t 二二.质点系的动量定理质点系的动量定理 i i e ii i FFF t P d d 质点系中的每个质点质点系中的每个质点 质点系质点系 i i e

6、i i FF t P d d e i F t P d d 0 FtP d/d 微分形式微分形式 2 1 d 12 t t ee i ItFPP 积分形式积分形式 质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的动量对时间的导数等于作用于 质点系的外力的合矢量！质点系的外力的合矢量！ e i F t P d d 主矢）()( d d e iCC FaMM t 称为称为质心运动定理质心运动定理，即：质点系的质量与质心加速度的，即：质点系的质量与质心加速度的 乘积等于作用于质点系外力的矢量和。乘积等于作用于质点系外力的矢量和。 c vMP i F t P d d 质心运动定理质心运动定理 9-3 9-3

7、质心运动定理和动量守恒质心运动定理和动量守恒 e iC FaM e cx x FMa e cy y FMa 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动 微分方程形式相似微分方程形式相似。对于任意一个质点系，对于任意一个质点系， 无论它作什无论它作什 么形式（平面运动）的运动，么形式（平面运动）的运动， 质心的运动定理描述是质质心的运动定理描述是质 点系随基点平动的运动规律。点系随基点平动的运动规律。 均质曲柄均质曲柄ABAB长为长为r r, ,质量为质量为m1, ,假设受力偶作用以不变的角速度假设受力偶作用以不变的角速度 转动，并带动滑

8、槽连杆以及与它固连的活塞转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D D，如图所示。滑槽、如图所示。滑槽、 连杆、活塞总质量为连杆、活塞总质量为m2, ,质心在点质心在点C C。在活塞上作用一恒力在活塞上作用一恒力F F。 不计摩擦及滑块不计摩擦及滑块B B的质量，求：作用在曲柄轴的质量，求：作用在曲柄轴A A处的最大水平约束处的最大水平约束 力力F Fx。 解：如图所示研究整体系统解：如图所示研究整体系统(水平水平方向）方向） FFamm xCx 21 21 21 1 coscos 2mm brm r mxC tm m mm r t x a C Cx cos 2 2 1 21 2 2 d d 2

9、 应用质心运动定理，解得应用质心运动定理，解得 tm m rFFxcos 2 2 1 2 显然，最大水平约束力为显然，最大水平约束力为 2 1 2 max 2 m m rFF M xm x ii c 0, 0 x FF或若 F t P d d x x F t P d d xCx FMa FaM C 动量守恒动量守恒 常量常量 x PP 一均匀细直杆一均匀细直杆AB，长为，长为2l，A端靠在光滑的水平地面上。端靠在光滑的水平地面上。 开始时，杆是静止的，并与地面成开始时，杆是静止的，并与地面成 角。角。释放后杆在释放后杆在 重力作用下运动，已知在运动过程中重力作用下运动，已知在运动过程中A端始终

10、靠着地面，端始终靠着地面， 求杆端求杆端B的轨迹。的轨迹。 C A B O y x sin cos2/ ly lx B B 222 4:lyx BB 消参得 )(:图研究杆任意时刻解 0 xcx Fma 0 cx a 静止释放 0 cx v 图示坐标系 sin2/ 0 ly x c c 解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。 浮动起重船浮动起重船, 船的重量为船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为起重杆的重量为 P2=10kN, 长长l=8m，起吊物体的重量为起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整设开始起吊时整 个系统处于静止，起重杆个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为与铅直位置的夹角为 1=60, 水的阻力水的阻力 不计不计, 求起重杆求起重杆OA与铅直位置成角与铅直位置成角 2 =30时船的位移。时船的位移。 受力分析如图示，受力分析如图示， , 且初始时系统静止，所以系统质心且初始时系统静止，所以系统质心 的位置坐标的位置坐标XC保持不变。保持不变。 0 )(e xcx Fma 0 ii xm 321 332211 321 332211 mmm xmxmxm mmm xmxmxm 重物的位移