第二讲正项级数收敛判别法(一)

1、二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第一节（第一节（2 2） 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 第四章 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 若,0 n u 1n n u 则称为正项级数 . 注意到： 1.部分和数列单调递增部分和数列单调递增 2.单调有界数列存在极限单调有界数列存在极限 定理定理 1. 正项级数 1n n u收敛部分和序列 n S ),2, 1(n有界 . 若 1n n u收敛 , ,收敛则 n S ,0 n u部分和数列 n S n S有界, 故 n S 1n

2、n u从而又已知 故有界. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证证: “ ” “ ” 1n n u 发散 )(nSn 1. 有界判别法 例例1. 证明：正项级数 ! 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 1 0 nn n 收敛. 证明：已知 nn321 1 ! 1 , 2 , 1n 则Nn，有 2 1 1 ) 2 1 (1 1 1 n )!1( 1 ! 2 1 ! 1 1 1 n Sn 2 2 1 2 1 11 n 3 2 1 3 2 n 故 n S 有界. 则 收敛. 0 ! 1 n n 1 2 1 2221 1 n 定理定理2 (比较审敛法比较审敛法) 设 , 1 n n u 1n n v 且

3、存在 , ZN 对一切 ,Nn 有 (1) 若强级数 1n n v则弱级数 1n n u (2) 若弱级数 1n n u则强级数 1n n v 则有 收敛 ,也收敛 ; 发散 ,也发散 . nn vku 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 由有界判别法出发不仅能判断级数敛散性还可以给出 新的判别方法。 2. 比较判别法及其极限形式 , Zn, nn vku 都有 证证: 设对一切 和令 n S n 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 (1) 若强级数 1n n v则有 n n lim 因此对一切, Zn有 n S 由定理 1 可知, 1n

4、 n u k n S n k 也收敛 . 收敛, 弱级数 则有 (2) 若弱级数 1n n u ,lim n n S 因此,lim n n 这说明强级数 1n n v 也发散 . 发散, Rbaabba,2 22 0,sinxxx 0,1xxe x 0,)1ln( 1 xxx x x 说明： 1. 比较判别法仅适用于正项级数 ； 2. 不等式条件可以从某一个N后都满足就行； 3.常用的参考级数 常用的不等式 0n n aq几几何何级级数数 0 1 n p n p级级数数 例例2. 讨论 p 级数 ppp n 1 3 1 2 1 1(常数 p 0) 的敛散性. 解解: 1) 若, 1p因为对一切

5、, Zn 而调和级数 1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 1 1 n p n n 1 发散 . 发散 , p n 1 , 1p 2) 若 1234 下的面积曲线矩形的面积 p x 1 y p x y 1 , 1p因为当nxn1, 11 pp xn 故 n n pp x nn 1 d 11 n n p x x 1 d 1 11 1 ) 1( 1 1 1 pp nn p 考虑强级数 11 2 1 ) 1( 1 pp n nn 的部分和 n 11 1 ) 1( 11 pp n k kk n 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ) 1( 1 1 p n 1 2) 若

6、11111 ) 1( 11 3 1 2 1 2 1 1 ppppp nn 注1：调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.注 若存在 , ZN 对一切,Nn , 1 ) 1( n un , ) 1( 1 )2(p n u p n . 1 收敛则 n n u ; 1 发散则 n n u 注2：一个级数敛散性同一个广义积分联系起来了. 证明级数 2 ln 1 n n n 发散 . 证证: 因为nn ln nn nn ln 而级数 1 1 n n n 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 1n 例例3 3 时，有 n nn n v nn u 1 ln 1 （通项的极限不是0） 例例4 4判别

7、敛散性 1 2 1 2 1 ) 1( ) 1 ( n n n n n （A）收敛）收敛（B）发散）发散 #2014021901 例例4 4判别敛散性 1 1 0 2 1 )2( n n dx x x （A）收敛）收敛（B）发散）发散 #2014021902 例例4 4判别敛散性 1 2 1 2 1 ) 1( ) 1 ( n n n n n 1 1 0 2 1 )2( n n dx x x 证： 2 1 2 1 ) 1( 0) 1 ( n n n n n u 1 2 1 n n 而 收敛。 故原级数收敛。 dx x x u n n 1 0 2 1 0)2( 2 3 ) 1 ( 3 2 n 而 收

8、敛。 1 2 3 ) 1 ( 3 2 n n 故原级数收敛。 21 1 1 nn n n n dxx n 1 0 例例5 5 若, 0 n a 1n n a收敛， 则 1 2 n n a 1n n n a 与 收敛。 证明： 1 ) 1 ( n n a 收敛， 0 lim n n a 1, 1 0 n aNnZN有有 10 n a nn aa 2 1 2 n n a 收敛。 n an 0)2( 1n n a 都收敛， 1 2 1 n n 而与 1n n n a 收敛。 ) 1 ( 2 1 2 n an 用比较法关键 1：找到不等式 2：找到可比的已知敛散性级数 为了应用上方便，给出下面比较法的

9、极限形式 定理定理3. (比较审敛法的极限形式) , 1 n n u 1n n v ,liml v u n n n 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 , 1 收敛时且 n n v ; 1 也收敛 n n u (3) 当 l = , 1 发散时且 n n v . 1 也发散 n n u 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l 时, 证证: 据极限定义, 0对, ZN存在 l n n v u )(l ,时当Nn ,liml v u n n n nnn vluvl)()()(Nn , l取由定理 2 可知 与 1n n u 1n n v 同时收敛或同时发散 ; ),()(Nn

10、vlu nn 利用 (3) 当l = 时, , ZN存在,时当Nn ,1 n n v u 即 nn vu 由定理2可知, 若 1n n v 发散 , ; 1 也收敛则 n n u (1) 当0 l 时, (2) 当l = 0时,由定理2 知 1n n v收敛 , 若 . 1 也发散则 n n u 特别取, 1 p n n v 可得如下结论 :对正项级数, n u ,1p l0 lun n lim p n ,1p l0发散 n u 收敛 n u , n u n v ,liml v u n n n 是两个正项级数正项级数, (1) 当 0 l 时, 1 收敛时且 n n v 则; 1 也收敛 n

11、n u (2) 当 0l 时 ， , 1 发散时且 n n v 则 . 1 也发散 n n u 注 1. 若 与 1n n u 1n n v )( ,nvu nn 1n n u ， 则 同敛散。 2. 设qp,分别为通项 n u的分母，分子关于 n的最高次数，则 若若)(a1qp 则则, 收敛。 1n n u 若若)(b1qp 则则, 发散。 例例6. 判别级数 1 1 sin n n 的敛散性 . （A）收敛）收敛（B）发散）发散 #2014021903 n n n 1 lim 例例6. 判别级数 1 1 sin n n 的敛散性 . 解解: n lim sin 1 nn 1 1 根据比较审

12、敛法的极限形式知 . 1 sin 1 发散 n n n n 1 sin 的敛散性. 例例7. 判别级数 1 2 1 1ln n n （A）收敛）收敛（B）发散）发散 #2014021904 的敛散性. 例例7. 判别级数 1 2 1 1ln n n 解解: n lim 2 2 1 lim n n n 1 根据比较审敛法的极限形式知. 1 1ln 1 2 收敛 n n )1ln( 2 1 n 2 1 n 2 n 2 1 1ln n 例例8. 判别级数 1 3 1 ln 1 n nn 的敛散性. 解： n n nn nun p n p n n p n ln lim ln 1 limlim 3 1

13、3 1 3 1 3 4 3 1 ) 3 1 (lim 1 ) 3 1 ( lim ln lim p x p x p x xp x xp x x 3 1 ) 3 1 (lim p x xp 讨论：（1）若 3 1 p极限为0， 此时只能判断收敛性， 发发散散，矛矛盾盾。而而) 3 1 ( 1 1 p n n p （2）若 3 1 p极限为正无穷， 此时只能判断发散性， 判判断断。发发散散，可可取取而而1 3 1 ) 1( 1 1 pp n n p 1 3 1 ln 1 n nn 取 6 5 p 则 n n un 6 5 lim 发发散散，故故原原级级数数发发散散。而 而 1 6 5 1 n n

14、对于 时收敛；当时发散当1,1, ln ) 1 ( 2 n n n 注意到 1：用比较法得事先取定一个合适的已知敛 散性的级数； 2：一个级数的敛散性应与其本身项有关。 常用比值法比值法与根值法根值法判断 速度。 0 n u 3. 积分审敛法 广义积分敛散性与无穷级数敛散性联系 适用：通项单调减少！ 定理定理3. 积分审敛法 设通项 n u满足0 21 n uuu 若存在单调减函数) 1()(xxf，使 n unf)( 则级数 1n n u与广义积分 1 )(dxxf 有相同敛散性 1345 n 1n 2 x y 例例9. 讨论级数 2 ln 1 n nn 的敛散性 . 解解: 设设 xx xf ln 1 )( 当当 2x时，时，)(xf 是正值递减函数，是正值递减函数， nn nf ln 1 )(且且 记记dx xx xdxfY nn n 22 )(ln 1 )( dx xx Y n n 2 )(ln 1 lim n n x 2 1 |)(ln 1 1 lim 1,)2(ln 1 1 1 1,发散发散 收敛；收敛； 2 |lnlnx dx xx xdxfY n