第五章平面图形的几何性质

1、 51 静矩和静矩和形心形心 52 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 53 平行移轴公式平行移轴公式 54 转轴公式转轴公式* 主惯性轴主惯性轴 主惯性矩主惯性矩 第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 5-1 5-1 静矩和形心静矩和形心 一、面积（对轴）矩：一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 是面积与它到轴的距离之积（用S表示）。 yAS x dd xAS y dd AA yy AA xx AxSS AySS dd dd dA x y y x 微面积dA对X轴的静矩 微面积dA对Y轴的静矩 x y C yAS xAS x y oror 量钢：

2、L3 如S=0 轴过形心 二、组合截面的静矩与形心：二、组合截面的静矩与形心： A Ay y A Ax x ii ii xAxAS yAyAS ii n i y ii n i x 1 1 整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的 代数和（由静矩定义可知） 则 i n i AA 1 :如 21 21 21 AA AxAx A Ax x ii 3 .20 108011010 1101035 21 21 21 AA AyAy A Ay y ii 例例1 试确定下图的形心坐标。 解 ： 1.用正面积法求解，图形分割 及坐标如图(a) 80 120 10 10 x y C2 图(a) C1 C

3、1(0,0) C2(-35,60) 7 .34 108011010 1101060 2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b) 3 .20 1107080120 )11070(5 图(b) C1（0,0） C2（5,5） 21 21 21 AA AxAx A Ax x ii C2 负面积 C1 x y 3 .20 1107080120 )11070(5 y 验证：34.7 + 20.3 + 5 = 60 5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 二、惯性矩：二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。 A y A x AxI AyI d d 2 2 dA

4、 x y y x r 一、极惯性矩：一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 yx A IIAId 2 r r 图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩: 图形对O点的极惯性矩: 量钢：L4 量钢：L4 dA x y y x r 三、惯性积：三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 A xy AxyId 如果如果 x 或或 y 是对称轴，则是对称轴，则Ixy =0 图形对xy轴的惯性积: 量钢：L4 图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径: AIi AIi yy xx / / 四、惯性半径四、惯性半径 5-3 平行移轴公式平行移轴公式 一、平行移轴定理一、平行移轴定理： C C yby xax

5、以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图 0 CxC yAS AbbSI Abbyy Aby AyI xCxC C A C A C A x 2 22 2 2 2 d)2( d)( d AbII xCx 2 dA x y y x r a b C xC yC 注意注意: C点必须为形心点必须为形心 AbII xCx 2 AaII yCy 2 abAII xCyCxy AbaII C 2 )( rr 同理同理: 图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐 标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积. 例例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定

6、义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。 B 建立形心坐标如图,求图形对形 心轴的惯性矩。 642 4 dI II P yx 64 5 16642 444 2 ddd A d II xAB A d x y O xyx III d I2 32 4 r 圆 二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩： 组合截面对某坐标轴的惯性矩(积), 等于其中各部分对 同一坐标轴惯性矩 (积)之和. xi n i x II 1 yi n i y II 1 xyi n i xy II 1 5-4 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴 主惯性矩主惯性矩 cossin sincos 1 1 yxy yxx 一、一、 惯

7、性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理 dA x y y x x1 y1 x1 y1 2sin2cos 22 1 xy yxyx x I IIII I 2sin2cos 22 1 xy yxyx y I IIII I 2cos2sin 2 11 xy yx yx I II I yxyx IIII 11 二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有 0)2cos2sin 2 ( 00 00 xy yx yx I II I 则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为为主惯性轴主惯性轴。即平面图形 对其惯性积为

8、零的一对坐标轴. yx xy II I 2 2 tg: 0 主惯性轴位置 22 ) 2 ( 2 0 0 xy yxyx y x I IIII I I 主惯性矩： 平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩为主惯性矩。 2.形心主轴和形心主惯性矩： yCxC yCxC II I 2 2tg 0 22 ) 2 ( 2 0 0 xCyC yCxCyCxC yC xC I IIII I I 形心主惯性矩： 若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴 过形心, 且与该轴垂直. 主惯性轴过形心时，称其为形心主轴形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为

9、形心主惯性矩形心主惯性矩. 3.求截面形心主惯性矩的方法 建立坐标系 计算面积和面积矩 求形心位置 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC 求形心主轴方向 0 求形心主惯性矩 A Ay A S y A Ax A S x ii x iiy 22 ) 2 ( 2 0 0 xCyC yCxCyCxC yC xC I IIII I I yCxC xCyC II I 2 2tg 0 例例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d) 解： 建立坐标系如图。 求形心位置。 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy d d d dd A Ay y AA Ax x ii ii 177.0 4 3 42 0 0 2 2 2 d b 2d x y O xC yC x1 d b 2d x y O xC yC x1 )5 . 0( 2 1 2 ydAIyAIIII xxxCxCxC 圆圆矩矩圆矩 42 24 22 3 685. 0)17