第六节一致收敛

1、函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性 * *第六节 第六节 一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质及一致收敛级数的基本性质 二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛域内的性质类似于多项式, 但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点. 例如例如, 级数 )()()( 1232nn xxxxxxx 每项在 0,1 上都连续, 其前 n 项之和为,)( n n xxS 和函数 )(lim)(xSxS n n 10 x , 0 1

2、x, 1 该和函数在 x1 间断. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为对任意 x 都有: ),2, 1( 1sin 22 2 n nn xn 所以它的收敛域为 (, +) ,但逐项求导后的级数 xnxx 22 cos2coscos 2 2 2 2 2 sin 2 2sin 1 sin n xnxx 其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 . 又如又如, 函数项级数 问题问题: 对什么样的函数项级数才有: 逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设 S(x) 为 )( 1 xu n n 若对 都有一个

3、只依赖于 的自然数 N , 使 当n N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有 )()()(xSxSxr nn 则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 在区间 I 上的和函数, 任意给定的 0, 显然, 在区间 I 上 )( 1 xu n n 一致收敛于和函数S(x) 部分和序列)(xSn一致收敛于S(x) 余项 )(xrn一致收敛于 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何解释几何解释 : (如图) )(xSy )(xSy I x )(xSy , 0 , ZN当n N 时, 表示)()(xSxS n 曲线 )()(xSyxSy与总位于曲线 )(xSy n )(xSy n 之

4、间. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 研究级数 ) 1)( 1 )3)(2( 1 )2)(1( 1 nxnxxxxx 在区间 0, +) 上的收敛性. 解解: 1 11 ) 1)( 1 kxkxkxkx ), 2 , 1(k ) 3 1 2 1 () 2 1 1 1 ()( xxxx xSn ) 1 11 ( nxnx 1 1 1 1 nxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(lim)(xSxS n n ) 1 1 1 1 (lim nxxn1 1 x )0( x 余项的绝对值: )()()(xSxSxr nn 1 1 nx1 1 n )0( x 因此, 任给 0, 取自然

5、数 ,1 1 N则当n N 时有 )0()(xxrn 这说明级数在 0, +) 上一致收敛于 . 1 1 )( x xS 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明级数 )()()( 1232nn xxxxxxx 在 0,1 上不一致收敛 . 证证: nnn n xxxxxxxS )()()( 12 )(xS 10 x, 0 1x, 1 )()()(xSxSxr nn 10 x, n x 1x, 0 取正数 , 2 1 对无论多么大的正数 N ,)( 1 1 2 1 0 N x取 , 1, 0 0 x,)( 2 1 01 xrN而因此级数在 0, 1 上不 一致收敛 . 机动 目录 上

6、页 下页 返回 结束 y o x 说明说明: 1 1n n n xxS)( )(xS 10 x, 0 1x, 1 2n 4n 10n 30n ) 1 , 1 ( )(xS 对任意正数 r 0, 欲使 , n r只要, ln ln r n 因此取 , ln ln r N 只要,Nn ,)( n n rxr必有 即级数在 0, r 上一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法判别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出 ),()(xSxSn及这往往比较困难. 下面介绍一个较方便的 判别法. 若函数项级数)( 1 xun n

7、 在区间 I 上满足: ; ),2, 1()() 1naxu nn ,)2 1 收敛正项级数 n n a 则函数项级数 )( 1 xun n 在区间 I 上一致收敛 . 简介 目录 上页 下页 返回 结束 证证:由条件2), 根据柯西审敛原理, ,0N当 n N 时, 对任意正整数 p , 都有 2 21 pnnn aaa 由条件1), 对 x I , 有 )()()( 21 xuxuxu pnnn )()()( 21 xuxuxu pnnn 2 21 pnnn aaa 则由上式得令,p 2 )(xrn 故函数项级数 )( 1 xun n 在区间 I 上一致收敛 . 证毕 机动 目录 上页 下

8、页 返回 结束 o xRR a b 推论推论.若幂级数 n n nx a 0 的收敛半径 R 0 , 则此级 数在 (R, R ) 内任一闭区间 a , b 上一致收敛 . 证证: ,maxbar 设 则对 a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0(nraxa n n n n ,0Rr 而由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 n n nr a 0 绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 说明说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛 区间可包含此端点. 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明级数 2 2 2 2 2 sin 2 2sin 1 sin

9、 n xnxx 在(, +) 上 一致收敛 . 证证: ),(x因对任意 ),2, 1 ,0( 1sin 22 2 n nn xn 而级数 0 2 1 n n 收敛, 由维尔斯特拉斯判别法知所给级数 在 (, +) 上 一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收 敛性, 而且能判别其绝对收敛性. 当不易观察到不等式时， nn axu)(可利用导数求 )(maxxua n Ix n 例如例如, 级数, 1 25 1 xn xn n ), 0 x , 1 2 11 1 max 2 3 2 5 25 ), 0 n n u xn xn a nn

10、 用求导法可得 已知 2 3 1 1 n n 收敛, 因此原级数在0, +) 上一致收敛 . , 1 )( 25 xn xn xun 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质 定理定理1. 若级数 :)( 1 满足xun n , )(,)()2 1 xSbaxun n 上一致收敛于在区间 .,)(上连续在则baxS 证证: 只需证明, , 0 bax . )()(lim 0 0 xSxS xx 由于)()( 0 xSxS )()()()( 00 xrxSxrxS nnnn )()()()( 00 xrxrxSxS nnnn ;,)() 1上连续在

11、区间各项baxun 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为级数)( 1 xun n 一致收敛于S (x) , N, 0故 ),(N使当 n N 时, 有 3 )(, 3 )( 0 xrxr nn 对这样选定的 n , ,)( 0 连续在xxSn 从而必存在 0 , 有时当, 0 xx 3 )()( 0 xSxS nn 从而得 )()( 0 xSxS ,)( 0 连续在故xxS ).()(lim 0 0 xSxS xx 即 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数, 极限运算与无限 求和运算可交换, 即有 )(lim)(lim 00 11

12、xuxu n xx n n n xx (2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如例如, 级数 ) 1() 1() 1( 12 xxxxxxx n 在区间 0 , 1 上处处收敛, 而其和函数 )(xS 10 x, 0 1x, 1 在 x = 1 处不连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 若级数 :)( 1 满足xun n , )(,)()2 1 xSbaxun n 上一致收敛于在区间 则该级数在 a, b 上可逐项积分, xxuxxS n x x n x x d)(d)( 00 1 , 0 bxxa即对 且上式右端级数在 a, b 上也一致收敛 . 证

13、证: 因为 xxuk x x n k d)( 0 1 xxSxxu n x x k n k x x d)(d)( 00 1 ;,)() 1上连续在区间各项baxun 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以只需证明对任意 ),(, 00 xxbaxx 一致有 xxSxxS x x n x x n d)(d)(lim 00 根据级数的一致收敛性, ),(, 0NN 使当 n N 时, 有 ab xSxS n )()( 于是, 当 n N 时, 对一切 ),(, 00 xxbaxx有 xxSxxS x x n x x d)(d)( 00 xxSxSn x x d)()( 0 xxSxSn b a

14、d)()( 因此定理结论正确. 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如例如, 级数 2222 ) 1(22 1 ) 1(22 xnxn n exnexn 它的部分和 ,2)( 22 2xn n exnxS 因此级数在 0 , 1 上 收敛于 S (x) = 0 , 所以.0d)( 1 0 xxS 但是xexnexn xnxn n d) 1(22 2222 ) 1(22 1 1 0 22 ) 1( 1 nn n ee 1 1 0 )(dxxS 为什么对级数定理结论不成立? 分析它是否满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2

15、条件. 级数的余项 22 2 2)( xn n exnxr , 1 0 时当 n x )2(1 2 )( 0 n e n xrn 可见级数在 0, 1 上不一致收敛 , 此即定理2 结论 对级数不成立的原因. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 若级数 满足：)( 1 xun n ,)()3 1 上一致收敛在级数baxun n )()( 1 xuxS n n 且可逐项求导, 即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上连续在 ,)( 1 上一致收敛在区间则baxun n ; )(,) 1xSba上收敛于在区间 证证: 先证可逐项求导. ),()( 1 xxun n 设根据定理2

16、, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有对, ,bax xxuxx n x a n x a d)(d)( 1 )()( 1 auxu nn n )()( 11 auxu n n n n )()(aSxS 上式两边对 x 求导, 得 ).()(xxS 再证.,)( 1 上一致收敛在baxun n 根据定理 2 , ,d)( 1 上一致收敛在级数baxxun x a n 而xxun x a n d)( 1 )()( 11 auxu n n n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( 1 xun n xxun x a n d)( 1 )( 1 aun n 所以 .,上一致收敛在ba 级数一致

17、收敛并不保证可以逐项求导. 例如, 例3中的级数 2 2 2 2 2 sin 2 2sin 1 sin n xnxx 说明说明: 在任意区间上都一致收敛, 但求导后的级数 xnxx 22 cos2coscos 其一般项不趋于 0, 所以对任意 x 都发散 . 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明函数 3 1 sin )( n nx xf n 对任意 x 有连续导数. 解解: 显然所给级数对任意 x 都收敛 , 且每项都有连续 导数, 而逐项求导后的级数 3 1 sin n nx n 2 1 cos n nx n , 1cos 22 nn nx , 1 2 1 收敛 n n

18、故级数在 (,+) 上一致收敛, 故由定理3可知 . cos )( 2 1 n nx xf n 再由定理1可知 .),()(上连续在 x f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4 . 若幂级数 n n nx a 0 的收敛半径 ,0R )(xS数 n n nx axS 0 )(, 1 1 n n nx an),(RRx xxaxxS n x n n x dd)( 0 00 , 1 1 0 n n n x n a ),(RRx 则其和函 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同,即 证证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯 特拉斯判别法

19、的推论及定理 1, 2 立即可得 . 下面证明逐项可导的结论: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:.),( 1 0 内收敛在先证级数RRxan n n n ),(RRx任取, 11 Rxxx使再取定, 1 1 x x q记 则 1n nx an n n n xa xx x n 1 1 1 1 1 n n n xa x qn 1 1 1 1 由比值审敛法知级数 , 1 0 收敛 n n qn故, 0lim 1 n n qn , 1有界 因此 n qn故存在 M 0 , 使得 ),2, 1( 1 1 1 nMqn x n ,0 1 Rx 又 , 1 0 收敛级数 n n n xa 由比较审敛法可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 1 1 收敛级数 n n n xan ),( 1 1 RR