概率论与数理统计公式整理

1、概率论与数理统计公式大全第 1 章随机事件及其概率如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，随机试验但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试和随机事验。件试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。基本事件、这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。和事件一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，

2、C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，? 为不可能事件。不可能事件 （?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。关系：如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分，（ A发生必有事件B 发生）：AB如果同时有AB ， BA ，则称事件A 与事件 B 等价，或称A 等于 B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者 A+B。属于 A而不属于 B 的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B不发生的事件。）事件的关A、B同时发生： AB，或者

3、 AB。 A B=?，则表示 A与 B 不可能同时发生，系与运算称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A (B C)=(A B) C分配率： (AB) C=(A C) (B C) (A B) C=(AC) (BC)AiAiAB AB ， ABA B德摩根率： i 1i1设 为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A) ，若满概率的公足下列三个条件：1 0 P(A) 1，理化定义2P()=13 对于两两互不相容的事

4、件A1 ， A2 ，有1概率论与数理统计公式大全古典概型几何概型加法公式减法公式条件概率）乘法公式独立性PAiP(Ai)i1i 1常称为可列（完全）可加性。则称 P(A) 为事件 A 的概率。11 , 2n ，2 P( 1) P( 2)P( n )1。设任一事件 A ，它是由 1 ,n2m 组成的，则有P(A)= ( 1)( 2 )(m )=P( 1) P( 2)P( m )m A所包含的基本事件数n 基本事件总数若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，L( A)P( A)。其中

5、 L 为几何度量（长度、面积、体积）。L()P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A时， P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时， P( B )=1- P(B)定义 设 A、B 是两个事件，且P(A)0 ，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事P( A)件 B 发生的条件概率，记为P(B / A)P( AB) 。P( A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( /B)=1P( B /A)=1-P(B/A)乘法公式： P( AB)P( A) P(B

6、/ A)更一般地，对事件A，A，A，若 P(A AA)0 ，则有12n1 2n-1P( A1A2 An)P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1 A2) P( An | A1A2 An1) 。两个事件的独立性设事件 A 、B 满足 P(AB)P( A)P( B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。若事件 A 、 B 相互独立，且P( A) 0 ，则有P( AB)P( A)P( B)P(B | A)P( B)P( A)P( A)若事件 A、B相互独立，则可得到 A与 B、A与 B 、A与 B 也都相互独立。1全概公式贝叶斯公式伯努利概型概率论与数理统计公式大全必然事件和不可能事件

7、? 与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、 B、 C 相互独立。对于 n 个事件类似。设事件B , B, Bn满足121B,B , Bn两两互不相容， P(B) 0(i1,2, , n)，12inABi2i 1，则有P( A) P( B1) P( A | B1) P( B2) P( A | B2)P(Bn )P( A | Bn) 。设事件 B1 ， B2 ， Bn 及 A

8、满足1 B1 ， B2 ， Bn 两两互不相容，P( Bi ) 0， i1， 2， n ，nABi， P(A)0 ，2i 1则P( Bi / A)P(Bi ) P( A / Bi )n， i=1 ， 2， n。P( B j ) P( A / B j )j1此公式即为贝叶斯公式。P( Bi ) ，（ i1 ， 2 ， n ），通常叫先验概率。P(Bi / A) ，（ i1 ， 2 ，n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了 n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A 发生或 A 不发生；n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均

9、一样；每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。n 重伯努利试验。这种试验称为伯努利概型，或称为用 p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为 1 pn(k ) 表q ，用 P示 n 重伯努利试验中A 出现 k(0kn) 次的概率，Pkkqnk, n。(k) Cn p， k 0,1,2,n1概率论与数理统计公式大全第二章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为Xk(k=1,2, ) 且取各个值的概率，即事件(X=Xk) 的概率为P(X=xk )=p k， k=1,2, ，（1）离散则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列

10、的形式给出：型随机变X|x1, x2, xk,量的分布P( X律xk ) p1, p2, , pk ,。显然分布律应满足下列条件：k0 ， k 1,2,，pk 1。（1） p（ 2） k 1设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数， 若存在非负函数f (x) ，对任意实数 x ，有F (x)xf ( x)dx（2）连续，则称 X 为连续型随机变量。f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，型随机变简称概率密度。量的分布密度函数具有下面4 个性质：密度1f (x)0。2f ( x) dx1。（3）离散P(Xx)P(xXx dx)f (x)dx与连续型随机变量积分元 f ( x)dx

11、在连续型随机变量理论中所起的作用与P( X xk)pk 在离的关系散型随机变量理论中所起的作用相类似。1概率论与数理统计公式大全设 X 为随机变量，x 是任意实数，则函数F (x)P( Xx)称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F (b) F (a)可以得到X 落入区间 (a, b 的概率。分布函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（， x 内的概率。分布函数具有如下性质：10 F (x)1,x；（4）分布F (x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F (x1)F ( x2 ) ；2函数3F ()lim F ( x)0 ，F () lim F (x)1 ；x

12、x4F ( x0)F (x) ，即 F ( x) 是右连续的；5P( Xx) F ( x) F ( x 0) 。对于离散型随机变量，F ( x)pk ；xkxx对于连续型随机变量，F ( x)f ( x) dx 。0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在 n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为X ，则 X 可能取值为 0,1,2,n 。P( X k ) Pn(k) C nk p k q n k，其中（5）八大分布q 1 p,0 p1, k0,1,2, n ，则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项

13、分 布 。 记 为X B(n, p) 。当 n 1时， P( Xk )p k q1k ， k 0.1 ，这就是（ 0-1 ）分布，所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例。1泊松分布超几何分布几何分布均匀分布概率论与数理统计公式大全设随机变量X 的分布律为kP( Xk)e，0 ， k0,1,2，k!则称随机变量X 服从参数为的泊松分布，记为X ( ) 或者P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=， n）。kn kk0,1,2 , lP( X k )CM ?CN M,min( M , n)CNnl随机变量 X 服从参数为 n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M) 。P( X k )qk

14、1 p,k1,2,3,，其中 p0， q=1-p 。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p) 。设随机变量 X 的值只落在 a ，b 内，其密度函数f ( x) 在 a ，b1上为常数，即ba1,a x bf ( x)ba0,其他，则称随机变量 X 在 a ， b 上服从均匀分布，记为XU(a ， b) 。分布函数为0，xb。当 a x1x2 b 时， X 落在区间（x1 , x2 ）内的概率为P( x1X x2 )x2x1 。ba1概率论与数理统计公式大全指数分布e x ,x0,f ( x)x0,0,其中0 ，则称随机变量X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为F ( x)

15、1 ex ,x0 ,0,x0。记住积分公式：x n e x dxn!0正态分布X 的密度函数为设随机变量1( x)2f (x)e 22x，2，0 为常数，则称随机变量X 服从参数为其中、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X N (,2 ) 。f ( x) 具有如下性质：1f ( x) 的图形是关于 x对称的；2当 x时， f ()1为最大值；若XN( ,2(t)22)x，则X 的分布函数为F ( x)1e 22dt2。参数0 、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N (0,1)x 2，其密度函数记为( x)1e22，x，分布函数为1xt 2( x)e2 dt 。2( x) 是不可求积

16、函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x) 1- (x)且 (0) 1 。如果 X N(,2)，则 X2 N (0,1) 。P( x1X x2 )x2x1。1概率论与数理统计公式大全（6）分位)；下分位表： P( X数离散型已知 X 的分布列为（ 7）函数分布Xx1,x2, xn,P( Xxi) p1,p2 ,，, pn ,Y g ( X ) 的分布列（ yi g( xi ) 互不相等）如下：Yg(x1), g(x2), g( xn ),，P(Y yi )p1, p2, pn,若有某些 g (xi ) 相等，则应将对应的pii相加作为 g( x ) 的概率。连续型FY(y) P(g(X) 先

17、利用 X 的概率密度 f X(x) 写出 Y 的分布函数y) ，再利用变上下限积分的求导公式求出f Y(y) 。（ 1）联合分布第三章二维随机变量及其分布离散型如果二维随机向量（ X， Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（ x,y ），则称为离散型随机量。设=（ X，Y）的所有可能取值为( xi, y j )(i , j1,2, ) ，且事件 =( xi, y j ) 的概率为 pij, , 称P( X ,Y)( xi , y j) pij(i, j1,2,)为=（X， Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yy1y2yjXx1p11p12p1j

18、x2pp22p2j21xipi1pij这里 pij 具有下面两个性质：（ 1） pij 0（ i,j=1,2,）；（ 2）pij 1.ij1概率论与数理统计公式大全连续型(X,Y)，如果存在非负函数对于二维随机向量f (x, y)(x,y) ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即 D=(X,Y)|axb,cyxF（ x ,y ） F(x ,y); 当 y y) F(x,y);（ 3） F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即F ( x, y)F ( x0, y), F ( x, y) F ( x, y0);（4）F( ,)F (, y) F ( x,) 0,F(,) 1.

19、（ 5）对于 x1x2， y1y2，F ( x2， y2 )F ( x2， y1 )F (x1， y2 )F (x1， y1 ) 0 .（ 4）离散P( Xx， Yy)P(xXx dx， y Yy dy)f ( x， y) dxdy型与连续型的关系1概率论与数理统计公式大全离散型X 的边缘分布为Pi ?P( Xxi )pij (i , j1,2,) ；jY 的边缘分布为（ 5）边缘P? jP(Yy j )pij (i , j1,2,) 。i分布连续型X 的边缘分布密度为f X ( x)f (x, y) dy；Y 的边缘分布密度为离散型（ 6）条件分布连续型一般型离散型连续型f Y ( y)f

20、(x, y)dx.在已知 X=xi 的条件下， Y 取值的条件分布为P(Yy j | Xxi )pij ；pi ?在已知 Y=yj 的条件下， X 取值的条件分布为P(X xi |Y y j )pij,p? j在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为f (x | y)f ( x, y)；fY ( y)在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为f ( x, y)f ( y | x)f X ( x)F(X,Y)=F X(x)F Y(y)pijpi? p? j有零不独立f(x,y)=fX(x)fY(y)（ 7）独立性二维正态分布直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形f (

21、x, y)1e21212 0x 1212 ( x 1 )( y 2 )y2(1 2)11 2222,随机变量的函数若 X1,X 2, Xm,X m+1, Xn 相互独立，h,g为连续函数，则：h（X1， X2, Xm）和 g（ Xm+1, Xn）相互独立。特例：若X 与 Y 独立，则： h（ X）和 g（Y）独立。例如：若X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。1概率论与数理统计公式大全设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为1( x, y) DSDf ( x, y)0,其他其中 SD 为区域 D的面积，则称（ X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（ X，Y）U（ D）。例如图

22、3.1 、图 3.2 和图 3.3 。y1D1O1x（ 8）二维图 3.1均匀分布y1D2O2x1图 3.2ydD3cOabx图 3.31概率论与数理统计公式大全设随机向量（X， Y）的分布密度函数为x 122112 ( x 1 )( y 2 )y 2f ( x, y)2(1 2)11 222e,2121其中1,2,10,20, |1是 5 个参数，则称（ X，Y）服从二维正态分（ 9）二维布，正态分布记为（ X，Y） N（1 ,12 ,22 ,).2,由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（1, 12 ),Y N( 2,22 ).但是若 X N（1 ,

23、 12 ), Y N ( 2,22 ) ， (X， Y) 未必是二维正态分布。Z=X+Y根据定义计算：FZ ( z)P( Zz)P( XYz)对于连续型， f Z(z) f x zx dx( ,)（ 10）函数分布Z=max,min(X 1,X 2, X n)两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12 ,22）。12n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。Cii ，222C iiii若 X1, X2X n相互独立，其分布函数分别为Fx1 (x)， Fx2 ( x)Fxn(x) ，则 Z=max,min(X 1 ,X 2, X n)的分布函数为：Fmax ( x)Fx1 (x) ? F

24、x2 ( x)Fxn ( x)Fmin ( x)11Fx1 ( x) ? 1Fx2 ( x)1Fxn ( x)12 分布t 分布F 分布概率论与数理统计公式大全设 n 个随机变量X 1 , X 2 , X n 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和nW X i2i 1服从自由度为n 的2 分布，记为 W2 ( n) 。所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2 分布满足可加性：设Yi2 (ni ),则k2 (n1 n2ZYi nk ).i 1设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且X N (0,1),Y 2 (n),可以证明函数XTY / n服从自

25、由度为n 的 t分布，记为 T t(n) 。t1(n)t(n)设 X 2 ( n1 ), Y 2 (n2 ) ，且X 与 Y 独立，可 以证明FX / n1Y / n2服从第一个自由度为n1，第二个自由度为 n2 的 F 分布，记为 Ff(n1 , n 2).F1(n1, n2 )1F (n2 , n1 )1概率论与数理统计公式大全第四章随机变量的数字特征（ 1）一维随机变量的数字特征期望期望就是平均值函数的期望方差D(X)=EX-E(X)2，标准差(X)D(X) ，矩离散型连续型设 X 是离散型随机变量， 其分布设 X 是连续型随机变量， 其概率密律为P(Xxk ) pk ，度为 f(x)，

26、k=1,2, ,n ，E(X )xf ( x)dxnE(X)xk pk（要求绝对收敛）k1（要求绝对收敛）Y=g(X)Y=g(X)nE(Y )g ( xk ) pkE(Y)g(x) f ( x)dxk1D(X) xk E( X )2 pkD(X ) x E( X ) 2 f (x)dxk对于正整数 k，称随机变量 X对于正整数 k，称随机变量 X 的的 k 次幂的数学期望为X 的 kk 次幂的数学期望为X 的 k 阶原点阶原点矩，记为 vk, 即矩，记为 vk, 即k)=k,k k =E(Xxi pikki=E(X )=x f ( x) dx,k=1,2, .k=1,2, .对于正整数 k，称

27、随机变量X 对于正整数 k，称随机变量 X 与与 E（X）差的 k 次幂的数学期E（ X）差的 k 次幂的数学期望为 X望为 X 的 k 阶中心矩，记为k ， 的 k 阶中心矩，记为k ，即即E( XE( X ) kE( X ) kkkE( X.=( xE( X ) k f (x)dx,=( xiE(X ) k pi， .ik=1,2,k=1,2, .1概率论与数理统计公式大全切比雪夫不等式设随机变量X 具有数学期望E（X） =，方差D（ X） = 2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式2P(X)2切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概率P(X)的一种估计，它在理论上有重要意义。

28、（ 1） E(C)=C（ 2） E(CX)=CE(X)（ 2）期望nnE(X+Y)=E(X)+E(Y) ， E(C i X i )Ci E( X i )（ 3）的性i1i 1质E(XY)=E(X) E(Y) ，充分条件： X 和 Y 独立；（ 4）充要条件： X 和 Y 不相关。（ 1）D(C)=0； E(C)=C（ 2）D(aX)=a 2D(X) ； E(aX)=aE(X)（3）（ 3）D(aX+b)= a 2D(X) ； E(aX+b)=aE(X)+b方差（ 4）D(X)=E(X 2)-E 2(X)的性（ 5）D(X Y)=D(X)+D(Y) ，充分条件： X 和 Y 独立；质充要条件：

29、X 和 Y 不相关。D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，无条件成立。期望方差0-1分布 B(1, p)pp(1p)二项分布 B( n, p)npnp(1p)泊松分布 P( )（ 4）常见分布的期望和方差几何分布 G ( p)超几何分布H (n, M , N )均匀分布 U (a,b)指数分布 e( )正态分布 N(,2)11ppp 2nMnMMNnNN1N1Na b(ba) 2212112212 分布t 分布期望函数的期望（ 5）二维方差随机变量的数字特征协方差概率论与数理统计公式大全n2n0n(n2)n2nE(X)xi pi?E(X )xf X ( x)dxi1nE(Y )y j p? jE(Y)yfY ( y)dyj1EG( X ,Y) EG( X ,Y) G( xi , y j ) pijG( x, y) f ( x, y)dxdyij D(X) xiE(X )2pi ?D(X ) xE(X )2f X ( x) dxiD(Y) x jE(Y)