一阶电路详解

1、Chapter 6 一阶电路 1. 动态电路的方程及其初始条件； 2. 一阶电路和二阶电路的零输入响应、零状态 响应和全响应； 主要内容 3.一阶电路和二阶电路的阶跃响应； 4.一阶电路和二阶电路的冲激响应。 7-1 动态电路的方程及其初始条件 一. 动态电路的方程 1. 动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。 2. 动态电路的方程：电路中有储能元件（电容或电感）时， 因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达 的。根据KCL、KVL和支路方程式（VCR）所建立的电路方程是 以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。 一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC，RL）。

2、 3. 动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变 时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可 能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。 换路：电路或参数的改变引起的电路变化。 4. 经典法（时域分析法）：根据KCL、KVL 和 VCR 建立描述 电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程， 从而得到所求变量（电流或电压）的方法。 t = 0 ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 0 + ； t = 0 -：换路前的最终时刻； t = 0 +：换路后的最初时刻 。 用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解 答中的积分常数。 电路独立

3、初始条件：uC(0+)和 iL(0+) 二. 电路的初始条件 1. 电容的电荷和电压 d t t i C tutu d t t itqtq CCC CCC 0 0 0 0 )( 1 )()( )()()( 取 t0 = 0- , t = 0+ ,则 di C uu diqq CCC CCC 0 0 0 0 )( 1 )0()0( )()0()0( 若 iC M (有限) , 则 ，且 0)( 0 0 diC 电容上电荷和电压不发生跃变！ )0()0( )0()0( CC CC uu qq 若 t = 0- 时，qC(0-) = q0 , uC(0-) = U0 ,则有 qC(0+) = q0

4、, uC(0+) = U0 , 故换路瞬间，电容相当于电压值为U0 的电压源； 若 t = 0- 时， qC(0-) = 0, uC(0-) = 0 , 则应有 qC(0+) =0 , uC(0+) = 0 ，则换路瞬间，电容相当于短路。 2. 电感的磁链和电流 d t t u L titi d t t utt LLL LLL 0 0 0 0 )( 1 )()( )()()( du L ii du LLL LLL 0 0 0 0 )( 1 )0()0( )()0()0( 取 t0 = 0- , t = 0+ ,则 若 uL M (有限），则 ,且 0)( 0 0 duL 电感的磁链和电流不发生

5、跃变！ )0( )0( )0()0( LL LL ii 例7-1 初始值计算 139 PP 若 t = 0- 时, L(0-) = 0 ,iL(0-) = I0 ，则有 L(0+) = 0 ， iL(0+) = I0 ，故换路瞬间，电感相当于电流值为 I0 的电流源； 若 t = 0- 时, L(0-) = 0 ,iL(0-) = 0 ,则应有 L(0+) = 0 , iL(0+) = 0, 则换路瞬间，电感相当于开路。 3. 独立初始条件uC(0+)和 iL(0+) 由 t = 0- 时的 uC(0-)和 iL(0-) 确定。非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、 电感电压）需要通过已知

6、的独立初始条件求得。 4. 确定初始值的方法 取独立电源 t = 0 + 时的值； 把电容用 uS = uC(0+)的电压源代替，把电感用 iS = iL(0+) 的电流源代替； 画出 t = 0 + 时的等效计算电路； 列方程求解电阻电路可得其他初始值。 7-2 一阶电路的零输入响应 零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应 一一 . RC电路的零输入响应 t = 0 , 换路(开关瞬时动作); t 0，S1断开, S2 闭合, C 放电. 0 )0( 0 0 Uu tu dt du RC C C C 电路的微分方程为 0 )( 0 teUtu RC t C 0 )( 0 te

7、R U dt du Cti RC t C 这里,特征方程 RCs +1 = 0，特征根 , 时间常数 = RC ; 1 RC S t = 0 , 换路时, i (0-) = 0 ，但 ，电流发生跃变； R U i 0 )0( 时间常数 越小，电压、电流衰减越快，反之，则越慢； t = 0 时， 0 0 0 )0(UeUuC t = 时, 0 1 0 368. 0)(UeUuC )经过一个时间常数 , 总有 1 000 )() ( 0 etueUtu C t C )过渡过程的结束，理论上 t = ；工程上 t = (3-5) ; 指数曲线上任意点的次切距长度 都等于 ab )( )( )( 1

8、0 0 0 0 0 0 t t C C eU eU tu tu ab =RC，可用改变电路的参数的办法加以调节或控制; 能量转换关系：电容不断放出能量，电阻不断消耗能量，最 后，原来储存在电容的电场能量全部为电阻吸收并转换为热能。 例71：下图所示电路中， t = 0 时，开关 S 由 a 投向 b， 在此以前电容电压为 U0 ，试求 t 0 时，电容电压及电流。 解：0 )( 0 teUtu t C 0 )( 21 0 te RR U dt du Cti t C 时间常数 , 从C左端看进去的入端电阻。 21 ,RRRCR eqeq 例72：电路如下图, t = 0 时打开开关 S ，求 u

9、ab(t) t 0 。 解: t = 0- 时，开关尚未断开瞬间， uC(0-)=12 V, iC(0-)= 0 (隔直)； t = 0+ 时，开关刚断开瞬间， uC(0+)= uC(0-)=12 V ； 0 )0()( teutu t CC 将电容用电压源 uC(t) 进行替代后，得电阻网络如上图，则 Ae R tu ti t eq C 12 1 )( )( Aetiti t 25. 0)( 412 4 )( 12 1 Aetiti t 75. 0)( 412 12 )( 12 2 Vetititu t ab 25. 1)(3)(4)( 12 21 二二. RL电路的零输入响应 电路的微分方

10、程及其解为 ) ( )0( 0 0 0 因电感电流不能跃变Ii tiR dt di L L L L 0 0 teIti t L ）（ 时间常数 R L t L L eIR dt di Ltu 0 )( 由 ，L 越小，或R 越大，则电流、电压衰减越快。 R L t = 0 , 换路; t 0，S1 投向 c 端， S2 同时闭合. 零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取 决于电路的初始状态和电路的特性； 零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，因为没有外施电 源，原有的贮能总是要逐渐衰减到零的； 零输入比例性，若初始状态增大 倍，则零输入响应也相 应地增大 倍； 特征根具有时间倒数

11、或频率的量纲，故称为固有频率。 7-3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：在零初始状态下，由在初始时刻施加于电路的 输入所产生的响应 一. RC电路的零状态响应 t = 0，开关打开; t 0，电流源与 RC 电路接 通; 电路的微分方程为 0)0( 0 1 S C C u tIu R dt c du C 通解为 CpChC uuu 0 0 S tRIQu t t Keu Cp RC Ch 0)( S tRI t Keuutu RC CpChC 其中 S S 0)0(RIKRIKuC 0 )-(1)( SS S t t eRIRI t eRItu RCRC C 0)0( 0 1 S C C u

12、 tIu R dt c du C ucp 为稳定分量，与外施激励的变化规律有关，又称强制分量 uch (齐次方程的通解) 取决于特征根，与外施激励无关，也称为 自由分量 ，自由分量按指数规律衰减, 最终趋于零, 又称为瞬态分量。 a. 越小，达到稳态值越快； b. t = 4 , 充电达到稳态值的 98%，可以认为已充电完毕； c. uc 从零值按指数规律上升. 例73：在下图所示电路中，t = 0 时，开关 S 由 a 投向 b, 并设在 t = 0 时，开关与 a 端相接为时已久,试求 t 0 时，电 容电压及电流，并计算在整个充电过程中电阻消耗的能量。 解： 0)0()0( CC uu

13、0 )-(1 )-(1)( t t eU t eR R U tu RC S RC S C 0 )( t t e R U dt du Cti RC SC 的大小无关能量与 2 1 0 2 ) 2 ( 2 2 2 0 2 R CU t e RC R U dt t e R U W S RC S RC S R 又因 ， 可见 2 2 1 SC CUW RC WW 二. RL电路的零状态响应 类似于RC电路，可求出零状态响应为 0 )1 ()( te R U ti t L R S L 当电路达到稳态时，电容相当于开路，而电感相当于短路， 由此可确定电容电压或电感电流稳态值； 强制响应，微分方程通解中的特

14、解，其形式一般与输入形式 相同. 如强制响应为常量或周期函数，又可称为稳态响应； RC、RL电路，输入DC，贮能从无到有，逐步增长。所以， uC , iL 从零向某一稳态值增长，且为指数规律增长； 零状态比例性，若外施激励增大 倍，则零状态响应也增 大 倍，如果有多个独立电源作用于电路，可以运用叠加定理求 出零状态响应。 稳态值 支路的开路电压相当于 支路的短路电流相当于 Cu Li C L )( )( 固有响应，微分方程通解中的齐次方程的解，因其随时间的 增长而衰减到零，又称为暂态响应分量； 例74：在下图所示电路中,t = 0时，开关S 闭合，求 iL(t), i(t). 。 解: S1：

15、求iL(t) , 可用戴维南定理将原电路化简 54(1.2/6) ,1518 1.26 6 eqoc RVU S2：, 3)( A R U i eq oc L s R L eq 2 5 10 0 )1 (3)( 2 tA t etiL 三. RL电路在正弦电压激励下的零状态响应 电路方程： ) cos( mu tU dt di LRi 通解为 iii 自由分量： （ 特征方程 L p+R=0 ） R L t Aei , 强制分量： ) cos( m tIi 为方程 的特解 ) cos( m u tU dt di LRi i ) cos( mSu tUu 初始条件: 0)0()0( LL ii

16、外加激励: 这里： R L tg LR U I u m m ) ( z , z 1 , 22 也可由 的待定系数法求出 , m I 138 PP t Aet z U i u m ) cos( 由 )cos( 0)0()0( m uLL z U Aii t u m u m z U t z U i - )ecos( - )cos( t umumR U R tU R Riu - )ecos( z - ) cos( z t - umumL U R tU L dt di Lu)ecos( z - )90 cos( z 强制分量 i 与外施激励按相同的正弦规律变化; 自由分量 i” 随时间增长而趋于零,自

17、由分量指数函数 前 的系数 与 有关，即与开关闭合的时刻有关。 t e )cos( z u m U 若开关闭合时, ，则 2 u 0 , 0)cos( z i U A u m )90 cos( z t U ii m 故开关闭合后，无自由分量，仅有强制分量，电路中不发生过 渡过程而立即进入稳定状态。 若开关闭合时， ，则 u t e z U i z U z U A mm u m )cos( t e z U t z U i mm cos 很大（R 0 , , ），i ” 衰减极其缓慢， 2 2 T t 2 z U Ii m m RL电路与正弦电流接通后，在初始值一定的条件下，电路的 过渡过程与开关

18、动作的时间有关。 7-4 一阶电路的全响应 1 . 独立电源作用于线性动态电路时，零状态响应为各个独立 电源单独作用时所产生的零状态响应的代数和； 2 . 具有初始储能的储能元件可用电源和未储能的元件组合来 替代，因此，由初始状态和输入共同作用适合运用叠加定理。 t = 0, 开关由 a b 0 (0) 0 1 Uu tIu Rdt du C C SC C 通解 S RC t - C RIKetu)(0 t 又因 SSC RIUKURIKu 00 (0) ) 1 ( 0 )()( 0 RC teRIURItu RC t - SSC 原图中 )1 ()(0 e)(0 20 - 01 t - SC

19、 t CS eRItuU UtuI ，可得零状态响应令 ，可得零输入响应令 显然 )(e )( )e1 (e)()( t - 0 021 tuRIURI RIUtutu CSS t - S t - CC 所以 )e1 (e)()()( - 021 t S t - CCC RIUtututu 即 完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 零输入响应是初始状态的线性函数； 零状态响应是输入的线性函数。 S t - SC RIRIUtue)()( 0 在有损耗的动态电路中，在恒定输入作用下，一般可分两种工 作状态 过渡状态和直流状态，暂态响应未消失期间属于过渡期。 3 . 完全响应也可以分解为暂态响

20、应和稳态响应 暂态响应：随时间按指数规律衰减，衰减快慢取决于固有频率； 稳态响应：常量（不随时间变化）, 取决于外加输入； 线性动态电路的完全响应是由来自电源的输入和初始状态分别 作用时所产生的响应的代数和，也即，全响应是零输入响应和零状 态响应之和。 完全响应 =固有响应（暂态响应）+强制响应（稳态响应） 例7-5:下图所示电路中，t = 0 时，恒定电压US =12 V 加于RC 电路，已知 uC(0)= 4 V, R =1 ,C = 5 F, 求t 0 的 uC(t) 及iC(t) 。 零状态响应： t - C etu 1 4)( 零输入响应： )1 (12)( - 2 t C etu

21、暂态响应： 稳态响应： t - C Ketu 3 )( Vutu CC 12)()( 4 解：S1： )( tuC求 Veeetututu t - t - t - CCC 812)1 (12 4)()()( 21 零输入响应与暂态响应变化模式是相同的，都是按同一指数规 律衰减的，但具有不同的常数； 零输入响应与输入无关，它的常数只与初始条件有关。 暂态响应是齐次方程的解答，其常数 K 是在得出完全响应后， 再行确定的，因而它必然与稳态响应有关，也就是与输入有关。 8124)0(-(0) 4 CC uuK其中 S2：)( tiC求 0 6 . 15)( 2 . 0 tA e dt du Cti

22、t C C VeKtututu tt CCC 812e12)()()( 2 . 0 2 . 0 43 或 一阶电路中，任一电压或电流可按上法确定 设电路中有 个直流电压源和 个直流电流源，据叠加定理 uC(t) 是由 uC(0) , uC() 和 三个参量所确定的，只要算得这三 个参量，就可据上式把解答直接写出，不必求解微分方程。 t - CCCC euuutu )() 0()()( 8 - (0) , 12 )( - SCSS t C UuKVUUeKtu且 输入为直流时，在例65中， uS(t) = US 为常数，有 4 . 三要素法（适用于直流输入） a. 直流一阶RC电路，任何结点电压

23、 ujk(t) 或任何支路电流ij(t) 均按指数规律变化，且与 uC(t) 有相同的时间常数 ； 11 0 )0()0( kk SkkSkkCjk IHUKuKu 11 0 )()( kk SkkSkkCjk IHUKuKu b. 同理，直流一阶RL电路中，任何结点电压 ujk(t) 或任何支路 电流ij(t) 也是按指数规律变化的，且与iL(t)的时间常数 相同。 )()( 11 0 kk SkkSkkCjk IHUKtuKtu 其中 11 0 )()0()( kk SkkSkk t CCC IHUKeuuuK t jkjkjk euuu )() 0()( a. 初始值的求取：用电压为 u

24、C(0) 的直流电压源置换电容， 用电流为 iL(0) 的直流电流源置换电感，画出 t = 0+ 时的等效电 路（直流电阻电路），可求出任一电压 ujk(0+) 或电流 ij(0+) ； eq eq R L CR 或 d .写出解答式： 0 )()0()()( teffftf t c. 时间常数 的求取：求出戴维南或诺顿等效电路中等效电 阻 Req , 则 b. 稳态值的求取：用开路支路代替电容或用短路支路代替电 感，画出 t = 时的等效电路(直流电阻电路)，可求出任一电压 ujk( ) 或电流 ij() ； 三要素法：求得电压、电流的初始值、稳态值和时间常数后， 直接写出其解答式的方法 例

25、7-6:求下图所示电路中开关打开后各电压、电流的初始值 （换路前电路已处于稳态）。 解：VuC 6 2030 30 10)0 ( Vuu CC 6)0()0( ViRu mA k iii R C 4)0( )0( 2 . 0 20 610 )0()0( , 0)0( 1 例7-7: 求下图所示电路在开关闭合后，各电压、电流的初 始值，已知开关闭合前，电路已处于稳态。 AiL2 41 10 )0( Aii LL 2)0()0( VuVuAiiiAi RRL 8)0( , 10)0( , 8)0()0()0( , 10)0( 11 Viu LL 8 )0( 4 )0( 解： t = 0- 的电路中

26、，只需求 uC(0-) 或 iL(0-) ，其他各电压电流 都没必要去求，因为换路后，这些量可能要变，只能在 t = 0+ 的电路中再确定 。 例7-8: 若已知 i (0) = - 5A , i () = 10A , =2 s 试绘出电 流 i (t)按指数规律变化的波形图，并写出i (t) 的表达式； 若 已知 i (0) = 5A , i () = -10A , =3 s，重复中所求。 解： 1510 )()0()()( (1) 2 Aeeiiiti tt 1510 )()0()()( (2) 3 A eeiiiti tt 7-5 二阶电路的零输入响应 二阶电路：用二阶微分方程描述的动态

27、电路 在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件 的初始值决定。 RLC 串联电路和 GCL 并联电路为最简单的二阶电路。 2 2 , , : dt ud LC dt di Lu dt du RCRiu dt du CiVAR C L C R C 初始条件 )0( 1 )( 1 )0(),0( 00 i C ti Cdt du uu C CC 零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 u0C(t)=0 的响应 0 2 2 C CC u dt du RC dt ud LC 0 1 2 2 C CC u LCdt du L R dt ud 或 )( :tuuuuKVL OCRCL )(

28、2 2 tuu dt du RC dt ud LC OCC CC 特征方程 0 12 LC p L R p 特征根 称为固有频率 LCL R L R p 1 ) 2 ( 2 2 2, 1 解为： tptp C eAeAtu 21 21 )( 这里：p1 和 p2 是特征根，仅与电路结构及参数有关；积分常数 A1 和 A2 决定于uC 的初始条件 0 )0( dt du u C C 和 给定初始条件: uC(0) = U0, i(0) = I0 02211 021 1 I C ApAp UAA 21 0 01 2 12 0 02 1 pp C I Up A pp C I Up A ,非振荡衰减放

29、电过程（过阻尼情况） C L R 2 , 一 当 时，固有频率 p1 和 p2 是两个不相等的负实根 C L R2 1 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 21 2 2 2 1 LC pp LCL R L R p LCL R L R p tptp C eAeAu 21 21 ) ( )( ) ( 2121 12 0 12 12 0 tptptptp C ee Cpp I epep pp U u ) () ( 2121 21 12 0 12 021 tptptptp L epep pp I ee pp CUpp i ) ()( 21 12 12 0 tptp C epep pp U tu )

30、 ( )( ) ( )( 2121 12 0 12 021 tptptptp L ee ppL U ee pp CUpp ti ) ()( 21 21 12 0 tptp L L epep pp U dt di Ltu 由于 衰减得快， 衰减得慢，故 tp epp 2 , 21 tp e 1 0 21 tptp ee 1设 uC(0) = U0, i (0) = 0 uC , iL 始终不改变方向， uC iL 0, 电容放电； uL 改变一次方向，t = tm 时， uL = 0 ； t 0 ），建立磁场； t tm 电 感释放能量（ uL iL 0 ），磁场逐渐衰减，趋向消失； 整个过程完

31、毕， uC = 0 ,iL = 0 ,uL = 0 。 例 7-9：电路如下图所示,US = 10 V, C = 1F, R = 4 k, L = 1 H ，开关 S 原来闭合在触点 1 处，t = 0 时，开关 S 由触点 1 接至触点 2 处，求： (1) uC , uR , i 和 uL (2) imax . 解： (1) uC , uR , i 和 uL -3732 1 ) 2 ( 2 2 2 LCL R L R p 268 1 ) 2 ( 2 2 1 LCL R L R p 特征根 VUUuC 10)(0 S0 又 Veeu tt C )773.077.10( 3732 268 mA

32、eei tt )( 89.2 3732 268 VeeiRu tt R )(56.11 3732 268 Vee dt di Lu tt L ) 773.0 77.10( 268 3732 max i )2( SS p p pp tm 760106 . 7ln 14 1 2 21 mAeeii m mtt tt tt max 19.2)(89.2 3732 268 2设 uC(0) = 0, i (0) = I0 ) ( )( )( 21 21 0 tptp C ee Cpp I tu ) ()( 21 21 12 0 tptp L epep pp I ti ) ()( 21 2 2 2 1

33、21 0 tptp L L epep pp LI dt di Ltu 例7-10：前述电路中, C = 1 F, L = 1 H , R = 3 , uC(0) = 0, i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t)。 15 . 15 . 1 1 ) 2 ( 2 , 22 2, 1 ）（ LCL R L R pa 解：利用前述结果 618. 2 , 382. 0 21 pp 447.0 447.0 1)0( 0)0( , 2 1 2211 21 A A pApAu AAu b C C 0 447. 0 447. 0)( , 618. 2 38

34、2. 0 tVeetuc tt C 0 17. 1 171. 0)( 618. 2 382. 0 tAeeti tt L 3. 设 uC(0) = U0, i L(0) = I0 例7-11：前述电路中, C = 0.25 F, L = 0.5 H , R = 3 , uC(0) =2 V , i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t) 。 解：根据前述结果 13 1 ) 2 ( 2 , 2 2 , 1 LCL R L R pa 4 , 2 21 pp 0 3 4)( 24 tAee dt du Cti tt C L 0 4 6)( , 4

35、 2 tVeetuc tt C 4 6 4 )0( )0( 2)0( , 2 1 2211 21 A A C i pApAu AAu b L C C 二. ，衰减振荡放电过程（欠阻尼情况） C L R2 如果 ，则固有频率为共轭复数 C L R2 j L R LC j L R LCL R L R p 22 2, 1 ) 2 ( 1 2 1 ) 2 ( 2 其中 LC L R LCL R1 ,) 2 ( 1 , 2 0 2 2 0 2 tjtjtptp C eKeKeKeKtu )( 2 )( 121 21 )( )( 2 1 tjtjt eKeKe ) sin (cos) sin (cos 2

36、1 tjtKtjtKe t tKKjtKKe t sin)( cos)( 2121 ) sin cos( 21 tAtAe t )(, 212211 KKjAKKA ) cos( 2 2 2 1 tAAe t ) sin() cos( tAetAe tt )0( 1 )0( ,)0( 211LCC i C AAuAu又 )0( 1 )0( 1 ),0( 21LCC i C uAuA 故 , 1 2 1 2 2 2 1 A A tgAAA 这里： 将 代入 中 21, A A)(),(titu LC tg , 1 -22 0 其中 ) sin() 0( sin) 0()( sin ) 0( )

37、sin() 0()( 0 2 0 0 teite C uti te C i teutu t L t CL tLt CC 1.uC(t) 是衰减振荡，它的振幅 A e- t 随时间作指数衰减， 为衰减系数， 越大，衰减越快； 2. 为衰减振荡角频率， 越大，振荡周期越小，振荡加快； 3. 时，响应是振荡性，称为欠阻尼情况， 反映振 幅的衰减情况， 为振荡的角频率。 C L R2 4.特殊情况：R = 0，无阻尼 , 1 , 0 0 LC C i AuA L C 0 21 )0( , )0( 等幅振荡 等幅振荡 cos)0(sin)0()( sin )0( cos)0()( 000 0 0 0 t

38、itCuti t C i tutu LCL L CC 5.电路的零输入响应的性质,取决于电路的固有频率 p ，p 为实 数，复数或虚数，决定了响应为非振荡，衰减振荡或等幅振荡。 例7-12：RLC串联电路中, R = 1 , L = 1 H , C = 1 F, uC(0) =1 V , i (0) = 1 A ， 试求零输入响应 uC(t) 及 iL(t) 。 解： jj LCL R L R p 2 3 2 11 ) 2 ( 2 2 2, 1 ) sin cos()( 21 tAtAetu t C 1)0( 1 )0( 1)0( 21 1 LC C i C AAu Au 3 , 1 21 A

39、A 0 ) 2 3 sin3 2 3 (cos)( 2 1 tVttetu t C 0 ) 32 3 cos(2)( 2 1 tVtetu t C 或 0 ) 32 3 cos(2)( 2 1 tAteti t L 0 12 LC p特征方程 0 1 2 2 C C u LC dt ud 解：电路方程 例7-13：LC 振荡回路中， L = 1/16 H , C = 4 F, uC(0) =1 V , i (0) = 1 A ， 试求零输入响应 uC(t) 及 iL(t) 。 2 1 02 . 1 jj LC jp特征根 0 )832cos(06. 82cos2sin8)( tAttt dt

40、d u Cti C L 0 )72cos(01.12sin 8 1 2cos)( tVttttuC 8 1 1 4 1 (0) 1 (0) 1(0) 2 1 20 1 A A i C Au Au LC C tAtAtu C0201 sincos)( 6.能量转换情况： 设 uC(0) = U0, iL(0) = 0 ，则 t = k , k = 0, 1, 2, 3 . 为电流 i 的过零点，即 uC 的 极值点； t = k + , k = 0,1, 2,3 . 为电感电压 uL 的过零点，即 i 的极值点； 1 - 0 tg ) sin( )( te L U dt di Ltu t L L

41、 t = k -, k = 1, 2,3,. 为电容电压 uC 的过零点； te L U ti t L sin - )( 0 ) sin()( 0 0 teUtu t C 三. 临界情况（临界阻尼情况） C L R2 当 时，p1 ,p2 为相等负实数，微分方程的解为 C L R2 L R -p p teAeAtu tptp C 2 )( 21 21 21 常数 A1 和 A2 可由初始条件确定 - t 电感释放，电容吸收，电阻消耗； t - 电感释放，电容释放，电阻消耗; 0 t 0 时冲激响应 h(t) ； 3 . t = 0+ 时电容电压及电感电流初始值的确定 a .冲激电源作用于电路的

42、瞬间，电感应看成开路，不论电感原 来是否有电流（因电感贮能 为有限值，电感电流应为 有限值，故电感之中不应出现冲激电流）； 2 2 1 LL LiW b .冲激电源作用于电路的瞬间，电容应看成短路，不论电容原 来是否有电压（因电容贮能 为有限值，电容电压应为 有限值，故电容两端不应出现冲激电压）。 2 2 1 CC CuW 4 .RC 电路中电容电压的冲激响应 解：将电容看作短路( t = 0 )时，冲激电流全部流过电容 C u C uu CC 1 )0( 1 (0)(0 )( 1 )( te C th t 或 0 1 )0()( te C euth tt 5 . RL 电路中电感电流及电压的

43、冲激响应 解：把电感开路( t = 0 ) ，冲激电压全部出现于电感两端 1 )0( L i L ii LL 1 )0()0( )( 1 )( te L th t i )()( )( )( te L R t dt tdh Lth t i u 例7-24：试确定下图所示电路的电感电流及电压的冲激响应。 解： t = 0 时，电感看作开路 )(4 . 0)()0( )(6 . 0)()0( 22 11 ttku ttku 冲激电压 u2(0) 出现在电感两端，使电感电流发生跃变 A L k iL 4)0( 2 t 0 时，R1 与 R2 并联， Req = R1 /R2 = 240 ，由 t =

44、0+ 的 等效电路可知, uL (0+）= - Req iL (0+）= - 240 4 = - 960 V Aeeith t t Li 4)0()( 2400 Vtetth t u )( 960)(4 .0)( 2400 五. 由阶跃响应求冲激响应 线性非时变电路的冲激响应是它们的阶跃响应的导数，即 )()(ts dt d th 求冲激响应的另一种方法，先求阶跃响应 s(t) ，再求阶跃响 应的导数，便可得到冲激响应 h(t) 。 例7-25：利用冲激响应是阶跃响应的导数这一性质，求解 RC电路电容电压的冲激响应。 解：该电路电容电压 u(t) 的阶跃响应为 )()1 ()( teRts R

45、C t )( )()()( tet dt d Rts dt d th RC t )( 1 )( )( te RC ettR RC t RC t )( 1 te C RC t 六、二阶电路的冲激响应 二阶电路的冲激响应：零状态的二阶电路在冲激函数激励下 的响应 - - 2 2 0 0)(0 , 0)0( )( t iu tu dt du RC dt ud LC C C CC 电路方程 0- t 0+ 电路受 (t) 作用获得能量 0)(0 )(0 1 )( 1 )(0 )(0 - 0 0 - - CC uu L dtt L i i 1,由 (t) 在 t = 0 作用产生的 uC(0+) , i

46、(0+) 对电路方程两边取 0- 到 0+ 的积分，则有 1)(0-)(0()( 0 0 - 00 - dtuuuRC dt du dt du LC CCC t C t C t 0+ ,放电，满足二阶齐次微分方程， tptp C eAeAu 2 1 21 0)(0 1 0,)(0 0,)(0 - 0 - i Cdt du iu t C C dt duC 又此时 uC 不能跃变，仅 才可能发生跃变 LCdt du dt du LC t C t C1 1( 00 意义： (t) 在 t = 0- 到 0+ 间隔内使电感电流跃变，电感中储存 一定的磁场能量。此磁场能量引起冲激响应。 Ldt du C

47、i t C 1 )0( 0 2. t 0+ , 为零输入解 tptp C eAeAu 21 21 LC pApA dt du AAu t C C 1 0)0( 22110 21 )( )( 1 )( )( 1 21 12 12 21 tptp C ee ppLC tu ppLC AA 如果 ，即周期振荡衰减放电，冲激响应为 C L R2 te LC tu t C sin 1 )( 3、可以首先求出电路的单位阶跃响应，再对时间求导数就 能得到单位冲激响应。 7-9 卷积积分 )()()()( )()()()( 12211212 tftftftfsFsFtftfL 设有两个时间函数 f1(t) 和 f2(t) ，它们在 t 0 时为零，则 f1(t) 和 f2(t) 的卷积 t dftftftf 0 2121 )()()()( 拉氏变换的卷积定理： 设