平面一般力系150330

1、平面一般力系平面一般力系 平面一般力系平面一般力系 平面一般力系平面一般力系 各力作用线在同一平面内各力作用线在同一平面内 一一 实例实例 平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化 三三 基本问题基本问题 二二 平面一般力系：平面一般力系： 4-1 4-1 工程中的平面一般力系问题工程中的平面一般力系问题 简化简化 平衡平衡 四四 研究方法研究方法 平面汇交力系平面汇交力系 平面力偶系平面力偶系 A B C P M FAx FAy FC 平面一般力系平面一般力系 () BB MMFd F 作用在刚体上的力F 可以平行移到刚体内任一点，但 必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F 对平移点

2、的矩. 4-2 力线平移定理 力线平移定理力线平移定理 = = 平面一般力系平面一般力系 一、平面一般力系向作用面内一点简化 4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩 1111 () O MM FFF 2222 () O MM FFF () nnnOn MM FFF . . . . . . 平面一般力系平面一般力系 Rii F FF () OiOi MMM F 4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩 平面汇交力系的合成 平面力偶系的合成 合力合力 合力偶合力偶 平面一般力系平面一般力系 主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关. . Ri F F主矢 二、主矢与主矩的定义 力线平移定

3、理将平面一般力系分解为两个力系： 平面汇交力系和平面力偶系 () OOi MM F 主矩 4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩 = 平面一般力系平面一般力系 Rxixixx FF FF Ryiyiyy FF FF 主矢的计算 主矢大小 22 R ()() ixiy FFF 方向 主矢的计算方法与汇交力系的计算方法相同 主矢的计算：几何法、解析法 解析法 主矢作用点：简化中心 4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩 R R cos(, ) ix F F Fi R R cos(, ) iy F F Fj 平面一般力系平面一般力系 主矩的计算 主矩的计算方法与力矩和平面力偶系的计算方法相同

4、. 主矩的计算 平面一般力系向一点简化，得到力对简化点的力矩和. 4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩 () OOi MM F 主矩大小 平面一般力系平面一般力系 三、固定端约束 4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩 平面一般力系平面一般力系 三、平面固定端约束 4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩 = or 平面一般力系平面一般力系 第四章 平面一般力系 4-4 简化结果的分析 合力矩定理 平面一般力系平面一般力系 4-4 简化结果的分析 合力矩定理 一、简化结果的分析 = 平面一般力系平面一般力系 = R 0 0 O F M = RO MF d 其中 1. 当 结果为主矢

5、 2. 当 结果为主矢 ？ R 0,0 O FM R 0,0 O FM 4-4 简化结果的分析 合力矩定理 R O M d F RR F F = = 一、简化结果分析 平面一般力系平面一般力系 3.当 若为O1点，如何? 结果为力偶 4.当 结果为平衡 R 0,0 O FM R 0,0 O FM 4-4 简化结果的分析 合力矩定理 = = = 平面一般力系平面一般力系 主矢主矩最后结果说明 合力 合力 合力作用线过简化中心 合力作用线距简化中心 合力偶 平衡 与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关 小结 R 0 F R 0 F 0 O M 0 O M 0 O M 0 O M 4-4 简化结

6、果的分析 合力矩定理 RO M F 平面一般力系平面一般力系 平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心 O的主矩，即： R () OO MMF )(F OO MM R ()() OO MMFF 原力系对简化中心O的主矩，又等于原力系中各力对简 化中心O之矩的代数和，即 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等 于力系中各力对于同一点之矩的代数和于力系中各力对于同一点之矩的代数和 于是，便有 二、合力矩定理 平面一般力系平面一般力系 二、合力矩定理 平面一般力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系 中各力对同一点的矩的代数和，此为合力矩定理合力

7、矩定理. 各力对同一点的矩可以用这些力的分量（x轴和y轴） 对同一点的矩代数和. ROOOi MMM FF 11 11 1111 1Oyx Mx Fy FyFy F 22222Oyx Mx Fy F ()() Oiiiyiix Mx Fy F F 4-4 简化结果的分析 合力矩定理 平面一般力系平面一般力系 主矢、主矩的计算 主矢大小 方向 主矢作用点：简化中心 主矩大小 Rxixixx FF FF Ryiyiyy FF FF 22 R ()() ixiy FFF R R cos(, ) ix F F Fi R R cos(, ) iy F F Fj () OOiiiyiix MMx Fy F

8、 F 4-4 简化结果的分析 合力矩定理 平面一般力系平面一般力系 例：求图所示力例：求图所示力F 对对A 点之矩。点之矩。 解：将力解：将力F 分解两垂直的力分解两垂直的力 Fx 、Fy ，由合力矩定理可得，由合力矩定理可得 AAA ()()()cossin xy MFMFMFFbFa 例例 4-1 平面一般力系平面一般力系 4-4 简化结果的分析 合力矩定理 长度单位为m. 试求力系 向O点简化的结果以及力系最终简化结果. 3 2kN,4kN m,FM 已知作用在物体上的力 30 , 1 1kN,F 2 1kN,F 解： （1）力系向O点简化的结果 32 cos x FFF 3 2kN1k

9、N2.73kN 2 13 cos y FFF 1 1kN-2kN2kN 2 x轴分量 y轴分量 例例 4-2 平面一般力系平面一般力系 4-4 简化结果的分析 合力矩定理 2.73kN x F 2kN y F x轴分量 y轴分量 合力 22 R ()() xy FFF 22 (2.73kN)( 2kN)3.39kN 方向 2.73 cos0.805 3.39 36.2 2 cos0.590 3.39 平面一般力系平面一般力系 4-4 简化结果的分析 合力矩定理 合力 R 3.39kNF 方向 36.2 主矩MO 123 ()1m3m2m sin30 OO MMFFFM F 1 1m 1kN-3

10、m 1kN+2m2kN4kN m 2 2kN m 平面一般力系平面一般力系 4-4 简化结果的分析 合力矩定理 合力 R 3.39kNF 方向36.2 主矩()2kN m OO MM F （2）力系最终简化结果 R 0 F 0 O M由于 最终简化结果为 R F R 2kN m 0.59m 3.39kN O M d F 平面一般力系平面一般力系 练习练习 已知已知:力F的大小及其与铅垂线间的 夹角j及长度a、b、c。 解： 求求： 力F对点O的矩。 1、按力矩的定义求解 MO(F) = Fd = F(bsinj acosj +c cosj) = Fbsinj F(a c)cosj 2、用合力矩

11、定理求解 MO(F) = MO(Fx) + MO(Fy) = Fbsinj F(a c)cosj 平面一般力系平面一般力系 物体在平面一般力系的作用下平衡的充分和必要条 件是：力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零. 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 一、平面一般力系的平衡条件 主矢和力系对任意点的主矩分别为 R 0 0 O M F 即 22 R ()()() xyOOi FFFMM F 平面一般力系平面一般力系 平面任意力系平衡的解析条件 （1）各力在两个任选坐标轴上投影的代数和 分别等于零. （2）各力对于任意一点的矩的代数和也等于零. 平面任意力系的平衡方程 22 R ()()(

12、) xyOOi FFFMM F 0 0 0 x y o F F M 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 平面一般力系平面一般力系 例4-3 水平外伸梁， 均布载荷q=20kN/m，F1=20kN， 力偶矩M=16kNm，a=0.8m，求A、B点的约束反力. 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 解：（1）以梁为研究对象，画出受力图 分布载荷q的合力为F2， 作用在OA的中点. （2）列平衡方程 0 x F 0 Ax F 0 y F 1 0 AyB qaFFF 约束反力FAy，FB （a） （b） 平面一般力系平面一般力系 0 A M F （2）列平面一般力系平衡方程 由（c）式解得

13、1 2 2 B Mqa FF a 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 1 20 2 B a MqaFaFa 16kN m20kN / m0.8m 220kN12kN 0.8m2 （c） 平面一般力系平面一般力系 0 A M F 由（c）式解得 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 0 Ax F 1 0 AyB qaFFF0 y F 0 x F 1 20 2 B a MqaFaFa 12kN B F （b） （a） （c） 由（b）式解得 1AyB FFqaF 20kN / m0.8m20kN12kN = 24kN 平面一般力系平面一般力系 例4-4 悬臂吊车横梁AB长l=2.5m，重

14、量P=1.2kN，拉 杆CB倾斜角=30，质量不计，载荷F=7.5kN . 求a=2m时， 拉杆的拉力和铰链A的约束反力. 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 解：（1）选横梁AB为研究对象 BC为二力杆，画受力图 （2）列平衡方程 0 x F T cos0 Ax FF 0 y F T sin0 Ay FPFF ()0 A M F T sin0 2 l FlPF a （b） （a） （c） 平面一般力系平面一般力系 T T T 0,cos0 0,sin0 ()0,sin0.50 xAx yAy A FFF FFPFF MFll PF a F 由式（c）解得 T 1 () sin2 l F

15、PF a l 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 13.2kN （b） （a） （c） 将FT值代入式（a）得 T 3 cos13.2kN11.43kN 2 Ax FF 将FT值代入式（b）得 T sin Ay FPFF = 2.1kN 平面一般力系平面一般力系 T 13.2kNF 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 11.43kN Ax F2.1kN Ay F 计算得FAx，FAy皆为正值，表示假 设的指向与实际的指向相同. 从上面的计算可以看出，杆CB所 承受的拉力和铰链A的约束反力，是随 载荷的位置不同而改变的，因此应当 根据这些力的最大值来进行设计结构. （4）分析讨论 平

16、面一般力系平面一般力系 在本例中如写出对A、B两点的力矩方程和对x轴的投 影方程，同样可以求解. 即 T T 0,cos0 ()0,sin0.50 ()0,0.5()0 xAx A BAy FFF MFll PF a MPlFlaFl F F 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 （f） （e） （d） 同样求出 T 13.2kN,11.43kN,2.1kN AxAy FFF 平面一般力系平面一般力系 如写出对A、B、C三点的力矩方程，同样也可求解. T ()0,sin0 2 ()0,()0 2 ()0,tan0 2 A BAy CAx l MFlPF a l MPFlFla l MFlP

17、F a F F F 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 从上面的分析可以看出，平面一般力系平衡方程除了 前面所表示的基本形式外，还有其他形式，即还有二力矩 式和三力矩式. 应该注意，不论选用哪一组形式的平衡方程，对于同 一个平面力系来说，最多只能列出三个独立的方程，因而 只能求出三个未知量. 平面一般力系平面一般力系 平面任意力系平衡方程的三种形式平面任意力系平衡方程的三种形式 基本式基本式 0 0 0 FM F F A y x 二矩式二矩式 0 0 0 FM FM F B A x AB 连线不得与投影轴垂直连线不得与投影轴垂直 三矩式三矩式 0 0 0 FM FM FM C B A 三

18、个取矩点，不得共线三个取矩点，不得共线 CBA, 平面一般力系平面一般力系 支架的横梁支架的横梁AB与斜杆与斜杆 DC彼此以铰链彼此以铰链C连接，并各连接，并各 以铰链以铰链A，D连接于铅直墙连接于铅直墙 上 。 如 图 所 示 。 已 知 杆上 。 如 图 所 示 。 已 知 杆 AC=CB；杆；杆DC与水平线成与水平线成 45o角；载荷角；载荷F=10 kN，作用，作用 于于B处。设梁和杆的重量忽处。设梁和杆的重量忽 略不计，求铰链略不计，求铰链A的约束力的约束力 和杆和杆DC所受的力。所受的力。 练习练习 平面一般力系平面一般力系 45 0245 cos, 0 045 sin, 0 04

19、5 cos, 0 lFlFM FFFF FFF CA CAyy CAxx F 解：解： 平面一般力系平面一般力系 kN 36.22 22 R AyAxA FFF kN 1045 sin kN 20245 cos kN 28.28 45 cos 2 FFFF FFF F F CAy CAx C 45 平面一般力系平面一般力系 平面平行力系的方程为两个，有两种形式 各力不得与投影轴垂直 A、B连线不得 与各力平行 4-6 平面平行力系的平衡方程 一、平面平行力系的平衡方程 各力作用线都在同一平面内且互相平行的力系 不是两个独立的方程不是两个独立的方程 0 x F 0000 0 x F 123 co

20、scoscos0FFF 123 sinsinsin0FFF0 y F 0 0 y A F M 0 0 A B M M 平面一般力系平面一般力系 第四章 平面一般力系 4-7 静定与静不定问题 平面一般力系平面一般力系 4-7 静定与静不定问题 静定问题静不定问题 平面一般力系平面一般力系 静定问题 静不定问题 静定问题 ：当系统中的未知量数目等于独立平衡方 程的数目时，则所有未知数都能由平衡方程求出. 静不定问题 ：结构的未知量的数目多于平衡方程的数 目，未知量就不能全部由平衡方程求出未知量就不能全部由平衡方程求出. 4-7 静定与静不定问题 平面一般力系平面一般力系 一、物体系 二、物体系的

21、平衡 工程结构和机构都是由许多物体通过约束按一定连接 而成的系统. 整个物体系平衡时，该物体系中的每个物体也必然处 于平衡状态. 将物体系中所有单个物体的独立平衡方程数相加得到 的物体系独立平衡方程的数目等于未知量的总数，为静定 问题. 物体系独立平衡方程的数目少于未知量的总数，为静 不定问题. 4-8 物体系的平衡 平面一般力系平面一般力系 （1）先判断系统是否是静定系统 例4-8 由直角弯杆AEC和直杆CB组成的构架，不计各杆 自重. 已知q、a、 、M=2qa2 及 =45，试求固定 端A的约束反力及反力偶. 2Fqa 4-8 物体系的平衡 解： 六个独立平衡方程六个未知量 静静 定定

22、系系 统统 （2）分析，选取研究对象 如以整体为研究对象，三个平衡方 程，四个未知数，不能求解. 如取AC杆为研究对象，三个平衡 方程，五个未知数，也不能求解. 如取CB杆为研究对象，三个平衡方程，三个未知数， 可以求解. 因此，取CB杆为研究对象. 平面一般力系平面一般力系 4-8 物体系的平衡 （3）CB杆为研究对象 对C点写力矩方程，求出FB 0 C M 0 B FaM 2 2 2 B Mqa Fqa aa FB求出后，以整体为研究对象， 求另外三个约束反力. 平面一般力系平面一般力系 4-8 物体系的平衡 （4）整体研究对象 1 1 63 2 Fqaqa 分布载荷的合力 整体受力图 1

23、1 62 33 ADAEaa 作用位置 平面一般力系平面一般力系 平衡方程 0 x F 2 Ax Fqa 4-8 物体系的平衡 1 cos450 Ax FFF （ ） sin450 AyB FFF 0 y F Ay Fqa （ ） 平面一般力系平面一般力系 1 23sincos60 AB MMFaFaFaFa 3223 22 6 22 A MMqaaqaa qa aqaa 负号表示A处反力 偶的转向与原假设相反. 2 3qa 4-8 物体系的平衡 0 A M F 平面一般力系平面一般力系 （5）分析讨论 4-8 物体系的平衡 要注意运用解题技巧，本例只求A处反力，可以恰当 地选取对象，尽量用较

24、少的平衡方程求得所需求的未知力. 平面一般力系平面一般力系 例4-9 已知梁AB和BC在B点铰接，C为固定端. 若 M=20kNm，q=15kN/m，试求A、B、C三点的约束反力. 4-8 物体系的平衡 解：（1）判断物体系是否属于静定系统 六个独立平衡方程六个未知量 （2）AB梁为研究对象 0 A M F 1 320 B FF 1 30kNFBE q 其中 1 2 20kN 3 B FF 解得 系统静定 平面一般力系平面一般力系 4-8 物体系的平衡 1 2 = 20kN 3 B FF 解得 1 30 A FF 0 B M F 10kN A F （3）BC梁为研究对象 2 21.50 BC FFMM 0 C M F 平面一般力系平面一般力系 4-8 物体系的平衡 2 21.50 BC FFMM 0 C M F 解得 2 21.5=82.5kN CB MFMF 2 15kNFBD q 其中 2 20.50 CyC FFMM 0 B M F = 35kN Cy F 0 x F 0 Cx F 平面一般力系平面一般力系 （4）分析讨论 假如，