省优质资源课件 12.直线的方程

1、第第12讲讲 直线的方程直线的方程 高级中学高级中学 主要内容主要内容 一、廓清疑点一、廓清疑点 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率 二、聚焦重点二、聚焦重点 直线方程的几种形式直线方程的几种形式 三、破解难点三、破解难点 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 廓清疑点：廓清疑点：直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率 问题研究问题研究 1直线的倾斜角和常见的角有什么区别？直线的倾斜角和常见的角有什么区别？ 2直线的倾斜角和斜率之间有什么联系？直线的倾斜角和斜率之间有什么联系？ 基础知识基础知识 1倾斜角倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直轴相交

2、的直 线，如果把线，如果把x轴绕着交点按逆时针旋转到和直线重轴绕着交点按逆时针旋转到和直线重 合时，所转的最小正角叫做直线的倾斜角合时，所转的最小正角叫做直线的倾斜角 当直线和当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角 为为0 |0180 .倾斜角的取值范围倾斜角的取值范围 2斜率斜率 倾斜角不是倾斜角不是90o的直线，它的倾斜角的正切值叫做的直线，它的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率；倾斜角是这条直线的斜率；倾斜角是90o，直线的斜率不存在，直线的斜率不存在 例例1 关于直线的倾斜角和斜率，下列五种说法：关于直线的倾斜角和斜率，下列五种说法： A平行

3、于平行于x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是0o或或180o； B直线斜率的范围是（直线斜率的范围是（，）；）； C任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； D两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等；两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等； E两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等. 其中正确的是其中正确的是_ 经典例题经典例题1 思路分析思路分析 例例1 关于直线的倾斜角和斜率，下列说法：关于直线的倾斜角和斜率，下列说法： A平行于平行于x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是0或或180； B直线斜率的范围是（直线斜率的范围是（，）; C任

4、一条直线都有倾斜角，也都有斜率任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 其中正确的是其中正确的是_ 解题依据：解题依据：直线的倾斜角，斜率直线的倾斜角，斜率 解题方向：解题方向：直线的倾斜角直线的倾斜角倾斜角的范围倾斜角的范围求正求正 切切斜率范围斜率范围 求解过程求解过程 例例1 关于直线的倾斜角和斜率，下列说法：关于直线的倾斜角和斜率，下列说法： A平行于平行于x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是0或或180； B直线斜率的范围是（直线斜率的范围是（，）; C任一条直线都有倾斜角，也都有斜率任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 其中正确的是其中正确的是_ 思路分析思路分析 D两直线的斜率相等，它们的

5、倾斜角相等两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等; E两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等 解题依据：解题依据：直线的倾斜角，斜率直线的倾斜角，斜率 解题方向：解题方向：直线的倾斜角直线的倾斜角 正切正切 斜率斜率 求解过程求解过程 解析解析 对于对于D,E，要关注特殊情况：当倾斜角为，要关注特殊情况：当倾斜角为90o，斜率，斜率 是不存在的是不存在的.直线斜率和倾斜角之间不是一一对应关直线斜率和倾斜角之间不是一一对应关 系，所以选项系，所以选项D正确正确 D两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等; E两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等

6、两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等 回顾反思回顾反思 1.回归：回归：直线的倾斜角和斜率的定义；直线的倾斜角和斜率的定义； 2.熟悉：熟悉：直线的倾斜角和斜率的范围；直线的倾斜角和斜率的范围； 3.关注：关注：特殊情况：倾斜角为特殊情况：倾斜角为90o； 4.误区：误区：易忽视斜率不存在的情况易忽视斜率不存在的情况 经典例题经典例题2 例例2 已知直线已知直线 l 过点过点P(1, 2),且与以且与以A(3, 0 ),B( 2,3) 为端点的线段相交，求直线为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围的斜率的取值范围 思路分析思路分析 思路思路2: (画图画图)借助于直线借助于直线l和线段和线段

7、AB的图形，确定直线的图形，确定直线l 的变化范围，进而求出斜率的取值范围的变化范围，进而求出斜率的取值范围 思路思路1： (计算计算) 算出直线算出直线PA和直线和直线PB的斜率，则直线的斜率，则直线l的的 斜率介于两者之间斜率介于两者之间 例例2 已知直线已知直线 l 过点过点P(1, 2),且与以且与以A(3, 0 ),B( 2,3) 为端点的线段相交，求直线为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围的斜率的取值范围 （思路错误）（思路错误） （数形结合）（数形结合） 求解过程求解过程 解解 通过图形可以观察到直线通过图形可以观察到直线l可以由可以由PA逆时针变化逆时针变化 到到PB的位

8、置的位置 O x y P（-1,2） A（-2,-3） B（3,0） 回顾反思回顾反思 （2）基本策略基本策略：解题时借助图形及图形的性质直观解题时借助图形及图形的性质直观 判断，明确解题思路判断，明确解题思路 （1）思想方法思想方法：数形结合：数形结合 （3）思维误区思维误区：忽视斜率不存在的情形：忽视斜率不存在的情形 聚焦重点：聚焦重点：直线方程的几种形式直线方程的几种形式 问题研究问题研究 1 直线方程有哪几种常见的形式？直线方程有哪几种常见的形式？ 2 不同的直线方程所适用范围？不同的直线方程所适用范围？ 直线方程常见的形式直线方程常见的形式 基础知识基础知识 1点斜式点斜式 yy1=

9、k（xx1） 2斜截式斜截式 y = kx + b 3两点式两点式 4截距式截距式 5一般式一般式 1 xy ab 11 2121 yyxx yyxx Ax + By + C = 0 斜率斜率k必须存在必须存在 斜率斜率k必须存在必须存在 1212 且xxyy 00 且ab 22 +0 AB 方程方程适用范围适用范围 点斜式点斜式 斜截式斜截式 两点式两点式 截距式截距式 一般式一般式 yy1=k（xx1） y = kx + b 不垂直于不垂直于 x 轴的直线轴的直线 不垂直于不垂直于 x 轴的直线轴的直线 不垂直于坐标轴的直线不垂直于坐标轴的直线 不垂直于坐标轴且不垂直于坐标轴且 不过原点的

10、直线不过原点的直线 任何直线任何直线 Ax + By + C = 0 （A，B不同时为零）不同时为零） 1 xy ab 11 2121 yyxx yyxx 基础知识基础知识 经典例题经典例题3 （2）直线过点（）直线过点（3，4），且在两坐标轴上的截），且在两坐标轴上的截 距之和为距之和为12; （3）直线过点（）直线过点（5，10），且原点到直线的距离），且原点到直线的距离 为为5 （1）直线过点两个点（）直线过点两个点（1，2），（），（2，2）；）； 例例3 根据所给条件求直线方程根据所给条件求直线方程: 思路分析思路分析 思路思路2：点斜式方程点斜式方程（行之有效）（行之有效） （1）

11、直线过点两个点（）直线过点两个点（1，2），（），（2，2）；）； 思路思路1：两点式方程两点式方程 （审题不清）（审题不清） 求解过程求解过程 解解 由题设知，该直线斜率存在由题设知，该直线斜率存在 故所求直线方程为故所求直线方程为. 2 y （1）直线过点两个点（）直线过点两个点（1，2），（），（2，2）；）； （2）直线过点（）直线过点（3，4）,且在两坐标轴上的截距且在两坐标轴上的截距 之和为之和为12 思路分析思路分析 思路思路1：点斜式方程点斜式方程 （行之有效）（行之有效） 思路思路2：截距式方程截距式方程 （行之有效）（行之有效） 解解 由题设知截距存在且不为由题设知截距存在

12、且不为0 设直线方程为设直线方程为1. 12 xy aa 从而从而 34 1. 12aa 解得解得 a=4 或或 a=9 故所求直线方程为故所求直线方程为 或或xy4160.xy390 求解过程求解过程 求过点求过点M（3，4）,且在两坐标轴上截距相等的直且在两坐标轴上截距相等的直 线方程线方程 O x y 注意：注意：截距相等截距相等 与与 截得的距离截得的距离相等不一样相等不一样! 当直线过原点，当直线过原点， 横纵截距相等都为横纵截距相等都为0 延伸拓展延伸拓展 答案：答案：4x-3y=0或或x-y+1=0 M（3，4） （3）直线过点（）直线过点（5，10），且原点到直线的距离为），且

13、原点到直线的距离为5 思路分析思路分析 思路思路1：设成直线方程的斜截式，利用点到直线的距设成直线方程的斜截式，利用点到直线的距 离公式求解离公式求解（容易（容易忽视斜截式方程的要求忽视斜截式方程的要求 ） 思路思路2：借助于图形进行观察，判断存在两条直线满借助于图形进行观察，判断存在两条直线满 足题意足题意（数形结合思想）（数形结合思想） 解解 当斜率不存在时，所求直线方程为当斜率不存在时，所求直线方程为x-5=0; 当斜率存在时，设其为当斜率存在时，设其为k， 则则y-10=k(x-5), 即即kx-y+(10-5k)=0 由点到直线距离公式，得由点到直线距离公式，得. 2 105 5 1

14、 k k 故所求直线方程为故所求直线方程为解得解得,k 3 4 .xy34250 综上，所求直线方程为综上，所求直线方程为.xxy5034250 或 求解过程求解过程 回顾反思回顾反思 （2）基本策略：）基本策略：要注意根据题目给出条件的特要注意根据题目给出条件的特 征，选用不同形式的直线方程征，选用不同形式的直线方程 （1）思想方法：）思想方法：分类讨论，数形结合分类讨论，数形结合 （3）思维误区：）思维误区：易忽略直线方程的适用条件易忽略直线方程的适用条件 破解难点：破解难点：直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 问题研究问题研究 1 两条直线间有哪几种不同的位置关系呢？两条直线间有哪

15、几种不同的位置关系呢？ 2 满足特殊位置关系的两条直线方程形式上满足特殊位置关系的两条直线方程形式上 有什么联系和区别吗？有什么联系和区别吗？ 基础知识基础知识 同一平面内直线同一平面内直线l1和和l2的位置关系：相交，平行，重合的位置关系：相交，平行，重合 3过定点的直线系方程过定点的直线系方程 过定点过定点 （ x o , y o ）但不包括直线）但不包括直线 x = x o的直线系的直线系 方程为方程为 基础知识基础知识 1平行直线系方程平行直线系方程 与定直线与定直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程为平行的直线系方程为 _ 2垂直直线系方程垂直直线系方程 与定直线与定

16、直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程为垂直的直线系方程为 _ Ax + By + m = 0 （ m C） Bx Ay + m = 0 y y o = k （ x x o ） 经典例题经典例题4 例例4 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的中心为的中心为E（1, 0），一），一 边边AB所在的直线方程为所在的直线方程为x3y5=0，求其它各边所在的，求其它各边所在的 直线方程直线方程 E A B C D y x O 思路分析思路分析 思路思路1：设出点设出点A和点和点B的坐标，由的坐标，由E为正方形的中心为正方形的中心 得到点得到点C的坐标，进而借助于的坐标，进而借助于

17、AB长等于长等于BC长长 以及垂直关系求出各点的坐标以及垂直关系求出各点的坐标 （过程冗长，计算量大）（过程冗长，计算量大） 思路思路2：结合直线之间的平行和垂直关系设出相应的直结合直线之间的平行和垂直关系设出相应的直 线系方程，利用点线系方程，利用点E到四条边的距离相等求直到四条边的距离相等求直 线方程线方程 （计算经济）（计算经济） y x E A B C D 解解 设直线设直线CD的方程为的方程为x 3y +m=0（m5） 根据题意，点根据题意，点E到直线到直线AB和直线和直线CD的距离相等，的距离相等， 所以所以, m 22 13 013 05 1313 解得解得 m=7 或或 m=

18、5（舍）（舍） 所以直线所以直线CD的方程为的方程为x3y+7=0 O 求解过程求解过程 y x E A B C D 设直线设直线AD的方程为的方程为3x+y+n=0 根据题意，点根据题意，点E到直线到直线AD、BC的距离和直线的距离和直线AB的的 距离相等，所以距离相等，所以 , n 22 3013 05 3113 解得解得n=9或或n=3 所以直线所以直线AD的方程为的方程为3x+y+9=0; 直线直线BC的方程为的方程为3x + y3=0 O 求解过程求解过程 回顾反思回顾反思 （2）基本策略：）基本策略：结合图像观察直线与直线之间的位结合图像观察直线与直线之间的位 置关系，再选用合理的

19、直线系方程置关系，再选用合理的直线系方程 （1）思想方法：）思想方法：数形结合数形结合,化归转化化归转化 （3）思维误区：）思维误区：忽视直线之间特殊的位置关系使得忽视直线之间特殊的位置关系使得 运算冗长运算冗长 经典例题经典例题5 思路分析思路分析 思路思路2：将直线方程化为点斜式方程，判定将直线方程化为点斜式方程，判定a即为直线即为直线 的斜率，由直线的斜率，由直线l过定点，结合图像判断过定点，结合图像判断a的的 范围范围 思路思路1：将直线方程化为斜截式方程，转化为判断直将直线方程化为斜截式方程，转化为判断直 线的斜率和纵截距线的斜率和纵截距 （行之有效）（行之有效） （行之有效）（行之有效） O x y 直线直线不经过第二象限，直线不经过第二象限，直线l变化的变化的 范围介于直线范围介于直线AO和直线和直线AB之间之间 因为直线因为直线AO斜率为斜率为3， 如图，如图， 包含直线包含直线AO，但不包含