第四章 数字控制器的直接设计1

1、第四章 数字控制器的直接设计 4 数字控制器的直接设计数字控制器的直接设计 掌握掌握最少拍无差系统最少拍无差系统的设计和的设计和最少拍无波纹系统最少拍无波纹系统的的 设计方法。设计方法。 掌握数字控制掌握数字控制直接设计直接设计的概念和步骤；的概念和步骤； 本章要求：本章要求： 第四章 数字控制器的直接设计 4.1 概述概述 4.2 最少拍无差系统的设计最少拍无差系统的设计 4.3 最少拍无波纹系统的设计最少拍无波纹系统的设计 4.4 纯滞后对象的控制算法纯滞后对象的控制算法大林算法大林算法 作业作业 主要内容主要内容 第四章 数字控制器的直接设计 4.1 概述概述 第第3章中讨论了数字控制器

2、的章中讨论了数字控制器的模拟化设计方法模拟化设计方法，它立足于连，它立足于连 续系统的设计，并在计算机上采用数字模拟的方法来实现。其优续系统的设计，并在计算机上采用数字模拟的方法来实现。其优 点：点： 将设计者所熟悉的各种连续系统的设计方法和经验移植到数将设计者所熟悉的各种连续系统的设计方法和经验移植到数 字计算机上实现，达到满意的控制效果。字计算机上实现，达到满意的控制效果。 缺点：缺点： 采样周期采样周期T较大、对控制的质量要求较高、用一台计算机实较大、对控制的质量要求较高、用一台计算机实 现多回路控制时，很难满足要求。现多回路控制时，很难满足要求。 从被控对象的特性出发，直接根据从被控对

3、象的特性出发，直接根据采样系统采样系统理论来设计数字理论来设计数字 控制器。控制器。 第四章 数字控制器的直接设计 又称为离散设计法。把计算机控制系统经过适当变换，变成纯粹又称为离散设计法。把计算机控制系统经过适当变换，变成纯粹 的离散系统，用的离散系统，用Z变换等工具进行分析设计，直接设计出控制算变换等工具进行分析设计，直接设计出控制算 法。法。 直接设计法与模拟化设计法比较：直接设计法与模拟化设计法比较： 直接设计法完全根据采样系统的特点进行分析与综合，并导出相直接设计法完全根据采样系统的特点进行分析与综合，并导出相 应的控制规律，所以它比模拟化设计具有更一般的意义。应的控制规律，所以它比

4、模拟化设计具有更一般的意义。 直接设计法：直接设计法： 第四章 数字控制器的直接设计 直接设计法的基本原理和设计步骤：直接设计法的基本原理和设计步骤： 零阶保持器 被控对象要求设计的要求设计的 数字控制器数字控制器 的脉冲传函的脉冲传函 系统的闭环 脉冲传递函数 广义对象的 脉冲传递函数 图4-1离散控制系统结构简图 D(z)对应连续控制系统的串联校正元件对应连续控制系统的串联校正元件,实现所需要的采样控制规律实现所需要的采样控制规律u*(t); u*(t)转变为连续信号作用于被控对象，必须有采样保持环节。转变为连续信号作用于被控对象，必须有采样保持环节。 第四章 数字控制器的直接设计 由式（

5、由式（4-2），当已知），当已知G(z)时，只要根据设计要求选择好时，只要根据设计要求选择好(z)， 就可以求得就可以求得D(z)。 )()(1 )()( )( )( )( zGzD zGzD zR zC z （式4-1） 由图由图4-1得，系统的闭环脉冲传递函数得，系统的闭环脉冲传递函数(z)为：为： )(1 )( )( 1 )( z z zG zD （式4-2） 设计对象 第四章 数字控制器的直接设计 1）求得带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传递函数）求得带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传递函数G(z)； 2）根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件）根据系统的性能指标要求以及实现的约束条

6、件构造闭环构造闭环z传递传递 函数函数(z); 3）依据式（）依据式（4-2）确定数字控制器的传递函数）确定数字控制器的传递函数D(z)； 4）由）由D(z)确定控制算法并编制程序。确定控制算法并编制程序。 在已知对象特性的前提下，设计步骤为：在已知对象特性的前提下，设计步骤为： 返回本章首页 )(1 )( )( 1 )( z z zG zD 第四章 数字控制器的直接设计 4.2 最少拍无差系统的设计最少拍无差系统的设计 4.2.1 最少拍无差系统最少拍无差系统 4.2.2 典型输入下最少拍系统的设计方法典型输入下最少拍系统的设计方法 4.2.3 最少拍控制器的可实现性和稳定性要求最少拍控制器

7、的可实现性和稳定性要求 4.2.4 最少拍快速有波纹系统设计的一般方法最少拍快速有波纹系统设计的一般方法 返回本章首页 第四章 数字控制器的直接设计 4.2.1 最少拍无差系统最少拍无差系统 定义：定义：在典型的控制输入信号作用下能在最少几个采样周期内在典型的控制输入信号作用下能在最少几个采样周期内 达到稳态无静差的系统。达到稳态无静差的系统。其闭环其闭环z传递函数具有如下形式：传递函数具有如下形式： 1、最少拍无差系统、最少拍无差系统 zmzmzmzm z n n 3 3 2 2 1 1 )( 上式表明：闭环系统的脉冲响应在上式表明：闭环系统的脉冲响应在n个采样周期后变为零，即系个采样周期后

8、变为零，即系 统在统在n拍后到达稳态。拍后到达稳态。 （式4-3） 在数字随动控制系统中，要求系统输出值尽快地跟踪给定值的变在数字随动控制系统中，要求系统输出值尽快地跟踪给定值的变 化，最少拍控制就是为满足这一要求提出的一种离散化设计方法。化，最少拍控制就是为满足这一要求提出的一种离散化设计方法。 第四章 数字控制器的直接设计 准确性要求准确性要求稳定后，输出值与输入值不存在静差；稳定后，输出值与输入值不存在静差； 快速性要求快速性要求到达稳定的周期数有限；到达稳定的周期数有限； 稳定性要求稳定性要求D(z)在物理上可实现且闭环系统稳定。在物理上可实现且闭环系统稳定。 2、对最少拍控制系统设计

9、的具体要求：、对最少拍控制系统设计的具体要求： 返回本节 第四章 数字控制器的直接设计 4.2.2 典型输入下最少拍系统的设计方法典型输入下最少拍系统的设计方法 由图（由图（4-1），系统的误差传递函数为），系统的误差传递函数为: 根据准确性要求，系统无稳态误差。由终值定理得：根据准确性要求，系统无稳态误差。由终值定理得： 又因：对于时间又因：对于时间t为幂函数的典型输入，其函数的为幂函数的典型输入，其函数的z变换通式为变换通式为: )(1 )( )()( )( )( )(z zR zCzR zR zE z e )()(1 )()()(zRzzRz e zE 0)()1(lim)( 1 zEz

10、e z 0)()()1()(即：lim 1 zRz e ze z t q A t A t AA tr q q 1 1 22 10 )!1(! 2 )( )1 ( )( )( 1 z zA zR q （式4-4） （式4-5） （式4-6） z t 1 1 1 )( 1 )1 ( 1 2 1 z z T t )1 (2 )1 ( ! 2 1 3 1122 z zzTt 第四章 数字控制器的直接设计 )1 ( )( )()()()( 1 z zA zzRzzE q ee （式4-7） 为了使稳态误差为零，应有下式成立为了使稳态误差为零，应有下式成立 )()1 ()( 1 zF z z p e （式

11、4-8） 根据快速性要求，要使系统的稳态误差尽快为零；并且使数字根据快速性要求，要使系统的稳态误差尽快为零；并且使数字 控制器结构简单，阶数最低，则：控制器结构简单，阶数最低，则： 1)(zFqp，且 即：只有使即：只有使F(z)不含不含z的的-1次幂因子，次幂因子，e(z)才能使才能使E(z)中关于此的中关于此的 项数最少。项数最少。 )1 ()( 1 z z q e （式4-9） （式4-10） )1 (1)(1)( 1 z zz e q t q A t A t AA tr q q 1 1 22 10 )!1(! 2 )( )1 ( )( )( 1 z zA zR q （式4-6） 0)(

12、)1(lim)( 1 zEze z 0)()()1( lim )(即： 1 zRzze e z （式4-5） qp 所以，对于典型的输入来说，有所以，对于典型的输入来说，有 第四章 数字控制器的直接设计 1、单位阶跃输入、单位阶跃输入 由式（由式（4-9）、（）、（4-10）得）得 ）（，即已知：1 1 1 1 )()( 1)( 1 q z z z zRttr z z e 1 1)( z zz e 1 )(1)( 1)1 ( 1 1 )()()( 1 1 z z zzRzE e zz zE 21 001)(即： 0)2() 1 (1)0(eee， 这说明系统只需一拍（一个这说明系统只需一拍（一

13、个T），输出就能跟随输入。），输出就能跟随输入。 第四章 数字控制器的直接设计 此时，输出为：此时，输出为： zzz z z zzRzC 321 1 1 1 )()()( 1) 3(C)2(C) 1 (0)0(CC， 输出序列如右图输出序列如右图42所示。所示。 z z zGz z zG zD e 1 1 1)( 1 )( )( )( 1 )( 1 1T2T3T4T c(t) t 0 图4-2 单位阶跃输入时的输出 第四章 数字控制器的直接设计 2、单位速度输入、单位速度输入 由式（由式（4-9）、（）、（4-10）得）得 ）（，即已知：2 )1 () 1( )()( 1 2 1 2 q z

14、z T z Tz zRttr )1 ()( 1 2 z z e zz zz e 21 2)(1)( z T z z z T zzRzE e 11 2 1 2 1 )1 ( )1 ( )()()( zzz TzE 321 000)(即： 0)3()2() 1 (0)0(eeTee， 这说明系统只需两拍（两个这说明系统只需两拍（两个T），输出就能跟随输入。），输出就能跟随输入。 第四章 数字控制器的直接设计 此时，输出为：此时，输出为： z T z T z T z zzz T zzRzC 43 1 2 211 43 2 2 )1 ( )2( )()()( ，4T)4(C3T)3(C2T)2(C0)

15、 1 (0)0(CC 输出序列如右图输出序列如右图43所示。所示。 )1 ( )2( )( 1 )( )( )( 1 )( 1 2 11 z zz zGz z zG zD e 1 1T2T3T4T c(t) t 0 2 3 4 图4-3 单位速度输入时的输出 第四章 数字控制器的直接设计 例例4-1 ) 1( 10 )( ss sGc s e sH Ts 1 )( 0 设计计算机单位反馈控制系统。已知被控对象传递函数为设计计算机单位反馈控制系统。已知被控对象传递函数为 使用零阶保持器，使用零阶保持器， 采样周期采样周期T=1秒，当单位速度输入时，按最少拍法设计秒，当单位速度输入时，按最少拍法设

16、计D (z)。 解：解： 广义对象脉冲传递函数广义对象脉冲传递函数 )()()( 0 sGsHZzG c )368. 01)(1 ( )718. 01 (68. 3 ) 1( 101 11 11 zz zz sss e Z Ts 由输入信号形式选由输入信号形式选 21 )1 ()( zz e 因此求得：因此求得： )718. 01)(1 ( )368. 01)(5 . 01 (543. 0 )()( )(1 )( 11 11 zz zz zGz z zD e e 系统输出脉冲传递函数为：系统输出脉冲传递函数为： 5432 21 1 21 5432 )1 ( )2()()()(zzzz z Tz

17、 zzzRzzC 结论：输出结论：输出C(nT)经过经过2T后，与输入后，与输入R(nT)重合。重合。 第四章 数字控制器的直接设计 例例4-1 ) 1( 10 )( ss sGc s e sH Ts 1 )( 0 设计计算机单位反馈控制系统。已知被控对象传递函数为设计计算机单位反馈控制系统。已知被控对象传递函数为 使用零阶保持器，使用零阶保持器， 采样周期采样周期T=1秒，当单位速度输入时，按最少拍法设计秒，当单位速度输入时，按最少拍法设计D (z)。 按照单位速度输入设计的最少拍控制器，对于其他输入时情况：按照单位速度输入设计的最少拍控制器，对于其他输入时情况： 21 2)( zzz )(

18、)()(zRzzC 单位阶跃输入时单位阶跃输入时 1)()3()2(,2)(,0)0( 2 1 1 )2()( 321 1 21 nTcTcTcTcc zzz z zzzC 系统经过系统经过2T后后C(nT)=R(nT), t =T时超调量达到时超调量达到100% 。 65432 31 112 21 175 .1175 . 3 )1 (2 )1 ( )2()()()( zzzzz z zzT zzzRzzC单位加速度输入时单位加速度输入时 5 .1175 . 3100)( 5 .1285 . 425 . 00)( nTC nTR 可以看到，可以看到，C(nT)与与R(nT) 始终存在偏差。始终

19、存在偏差。 结论：由上述分析可以看到按某种典结论：由上述分析可以看到按某种典 型输入设计的最少拍系统，对于其他型输入设计的最少拍系统，对于其他 形式的输入时，系统就不是最少拍了，形式的输入时，系统就不是最少拍了， 而且调节品质变坏。而且调节品质变坏。 返回本节 第四章 数字控制器的直接设计 4.2.3 最少拍控制器的可实现性和稳定性要求最少拍控制器的可实现性和稳定性要求 控制器当前的输出信号，只与当前时刻的输入信号、以前的输入控制器当前的输出信号，只与当前时刻的输入信号、以前的输入 信号和输出信号有关，而与将来的输入信号无关。这就要求数字信号和输出信号有关，而与将来的输入信号无关。这就要求数字

20、 控制器的控制器的z传递函数传递函数D(z)不能有不能有z的正幂项的正幂项。 1、物理上的可实现性要求、物理上的可实现性要求 azaza bzbzb zE zU zD n nn m mm 1 10 1 10 )( )( )( （式4-11） nm。若。若nm，则分子会出现，则分子会出现z的正幂项；的正幂项； 要求：要求： a00。若。若a0=0，相当于分母中的多项式降了一阶，同上；，相当于分母中的多项式降了一阶，同上； 第四章 数字控制器的直接设计 如果被控对象如果被控对象G(z)含有纯滞后环节含有纯滞后环节Z-p ，则，则(z)中必须含有中必须含有 Z-p ，才能把滞后保留下来。此时，才能把

21、滞后保留下来。此时 )()( 2 2 1 1zmzmzmz z l l p 2、稳定性要求、稳定性要求 最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保 证控制变量收敛。由图证控制变量收敛。由图4-1得，得， )( )( )( zU zC zG )( )()( )( )( )( zG zRz zG zC zU )( )( )( zR zC z ）（因为 )(1 )( )( 1 )( z z zG zD 提示：介绍提示：介绍z平面平面 内的稳定性要求内的稳定性要求 （绪方胜彦著（绪方胜彦著494） 第四章 数字控制器的直接设计 如果

22、被控对象如果被控对象G(z)的所有零极点都在单位圆内，则系统是稳定的。的所有零极点都在单位圆内，则系统是稳定的。 （离散系统稳定性）（离散系统稳定性） )()(1 )()( )( )( )( zGzD zGzD zR zC z )( )( )( 1 )(1 )( )( 1 )( z e z zGz z zG zD 为避免为避免G(z)在单位圆外或圆上的零极点与在单位圆外或圆上的零极点与D(z)的零极点抵消，需：的零极点抵消，需： 当当G(z)有有单位圆上或圆外的零点单位圆上或圆外的零点时，时，(z)表达式中将这些零表达式中将这些零 点作为其零点而保留；点作为其零点而保留； 当当G(z)有有单位

23、圆上或圆外的极点单位圆上或圆外的极点时，时，e(z)表达式中将这些表达式中将这些 极点作为其零点而保留。极点作为其零点而保留。 返回本节 最少拍系统设计的稳定性约束条件最少拍系统设计的稳定性约束条件 )( )( )( zU zC zG )( )()( )( )( )( zG zRz zG zC zU )( )( )( zR zC z 第四章 数字控制器的直接设计 4.2.4 最少拍快速有波纹系统设计的一般方法最少拍快速有波纹系统设计的一般方法 设广义对象的脉冲传递函数为设广义对象的脉冲传递函数为 )( )1 ( )1 ( )( 1 )( 1 1 1 1 1 z G Za ZbZ s G s e

24、 ZzG v i i u i i m c Ts U个零点个零点 v个极点个极点 迟滞环节迟滞环节 (式4-12) )( )1 ()(1)( 1 1 1 z FZa zz v i ie )( )1 ()( 2 1 1 z Fzb z u i i (式4-13) (式4-14) Stability )( )( )( 1 )( )( )( 1 )( 1 2 1 z F z F z Gz z z zG zD m e (式4-15) Realizability )( )1 ()( 1 1 1 10 1 1 zzzbz z vq vq u i i m (式4-16) 第四章 数字控制器的直接设计 解方程解

25、方程 又由稳定性条件式：又由稳定性条件式： )1 ()( 1 z z q e （式4-9） 由准确性条件式：由准确性条件式： )( )1 ()(1)( 1 1 1 z Fza zz v i ie (式4-13) )(1)(zz e 再根据再根据 1) 1 ( | )( ) 1 ( 1 z dz zd 0| )( ) 1 ( 1 1 1 )1( z q q q z d z d ), 2 , 1(1)(vi ai q个方程个方程 v个方程个方程 (式4-14) (式4-15) ) ZZ ( ) Zb ( Z )z( vq vq u i i m1 1 1 10 1 1 1 0| )( 1 z e d

26、z zd )z( F ) Za ()z()z( v i ie1 1 1 11 ) z ( )z(R )z()z(R)z()z(E q e e 1 1 第四章 数字控制器的直接设计 当当G(z)中有中有z=1的极点时，稳定性条件与准确性条件取得一致，的极点时，稳定性条件与准确性条件取得一致， 即即q个方程中的第一个方程与个方程中的第一个方程与v个方程中的第一个方程相同。因个方程中的第一个方程相同。因 此，式（此，式（4-15）中待定系数的数目必然小于（）中待定系数的数目必然小于（q+v）个。此时，）个。此时， (z)的设计要做一定的的设计要做一定的降阶降阶处理。处理。 注意：注意： 1) 1 (

27、 | 1 )( ) 1 ( z dz zd 0| 1 1 )( 1 ) 1 ( ) 1( z Z q d z d q q ), 2 , 1( 1)(vi ai q个方程个方程 v个方程个方程 (式4-15) 0| 1 )( z dz zd e 第四章 数字控制器的直接设计 例例4-2 已知：已知：K=10s-1，T=Tm=1s，输入为单位速度函数，被控对象的，输入为单位速度函数，被控对象的 传递函数如下。试设计快速有波纹系统的传递函数如下。试设计快速有波纹系统的D(z)。 ) 1( )( s T s K s G m c 图图4-5 快速有波纹系统框图快速有波纹系统框图 第四章 数字控制器的直接

28、设计 第一步、先求第一步、先求G(z) ) 1( 1 )()()( s T s K s e s G sHsG m Ts c 1 1 )1 ( 2 s T T s T s e K m mmTs )()()(z G HsGZzG c 1 1 1 )1 ( )1 ( 1/1 1 2 1 1 zez T z z T z K Tm T m 1 1 1 1 )1 ( ) 1 1 (10 111 1 2 1 zez z z z )1)(1 ( )2(1 10 111 1 1 1 zez z e z e K=10,T=Tm=1 分析并求解分析并求解 第四章 数字控制器的直接设计 第二步、根据第二步、根据G(z)求求(z)、e(z) 1、分析、分析G(z)： q 含有含有z=1的极点，因此，的极点，因此，(z)应降一阶设计；应降一阶设计； q 单位圆上极点单位圆上极点1个，圆内个，圆内1个，圆外没有，所以个，圆外没有，所以v=1； q 单位圆内零点单位圆内零点1个，圆上、圆外没有，所以个，圆上、圆外没有，所以u=0； q 函数中含有迟滞环节，函数中含有迟滞环节，m=1。 2、因输入为单速度函数，所以、因输入为单速度函数，所以q=2。 3、根据分析求得、根据分析求得(z)、e(z) )1)(1 ( )2(1 10)( 111 1 1 1 zez z e z e zG