不动点理论,吸引

1、某个集值不动点理论及应用 姓姓 名名 罗贤强罗贤强 指指导教师导教师 石忠锐石忠锐 背景 处理非线性问题有很多种方法，不动点是 其中之一，不动点理论是非线性泛函分析 的重要组成部分，它与近代数学的许多分 支有着紧密的联系。特别是在建立各类方 程(其中包括各类线性或非线性的，确定的 或非确定型的微分方程，积分方程以及各 类算子方程)解的存在唯一性问题中起着重 要的作用。 自上世纪初Brouwer和Banach分别证明了 Brouwer不动点定理和Banach压缩映象原理以 来，不动点理论得到了大量的研究。 目前， 不动点理论己经渗透到数学的多个领域，并被 广泛应用于各种问题的研究中。不动点理论与

2、 变分不等式理论密切相关。事实上，某些广义 混合变分不等式问题，实质上就是不动点问题， 如Takahashi【1】。Banach压缩映象原理是最 为人熟知的不动点定理之一，自诞生以来得到 了许多学者的研究，提出了大量的伪或拟压缩 映象的不动点定理 近几年，作为不动点理论的延伸和推广，映射对(或映 射族)的公共不动点受到广泛重视，并成为十分活跃的 领域。在广义度量空间上的不动点也成为研究的热点。 关于不动点(或公共不动点)最佳逼近的研究也成为备受 关注的课题，并得到了许多结果【1-78】。在近两年， 吸引点（attractive point）理论也主要被Wataru Takahashi,Lin

3、Lai-Jiu, Yao Jen-Chih等研究【80-85】，他们 主要把 推广到不同的非膨胀映射。并应用 来获得不同的不动点定理以及证明更一般的遍历定理。 目前国内活跃在这方面研究的代表主要有张石生，丁协 平，陈光亚，Lin laijiu, Cho Jenchih.黄南京等，国外有 AgarwalR.R，Donal oRegan，wataru Takahashi，Sehie Park等，这些人的文章量比较大。 :T CC 我要研究的内容 在更一般的拓扑线性空间，把KakutaniFan Glicksberg不动点定理中的“局部凸”条件改为“具 有丰满的对偶空间 ”即“对任意 的 ”， 并用

4、来研究广义 拟变分不等式，隐变分不等式等。这两个条件中， 后者是更弱的，参考文献中的拓扑线性空间 （兰州大学出版）对此做了较详尽的说明。 2. 把压缩（伪压缩）集值映射应用到一般的拓扑线 性空间，得出新的不动点定理，在Banach空间引入 正规映射，并应用到吸引点（attractive point）理论。 3. 在orlicz空间找到某些不动点的应用 * , . ( )( )x y E p E st p xp y 考虑博弈问题:有N个参与者，Kn表示第n个 人的可能策略集合（非空紧凸集）。第n个 人的目标函数 假设是 连续的。 是所有博弈者 的策略集，计 在别人已定策略后，每个参与者最大化自

5、己的利益： . 定义 是集值映射: 称为Nash均衡点，若 定义 则 。在什么情况下有Nash均衡点？ 12 : NN UKKKR 12 , Nii xx xxxK 111 n nnN KKKKK 111111 , nn nnNnnnnN xxxxxz xxxz xx *, max, nn nn NnNn zK UxxUzxn :2 n K n n T K max, nn nnnn nNn z K T xArgU z xxK * 1 , N xxxK nn n xTx 1122 :2 :, K NN T KT xT xTxTx * xT x 1968年，Browder应用KyFan极小极大原理

6、证 明了Browder不动点定理【6】： 设E为Hausdorff拓扑线性空间，X为E的紧凸 集，设S：X ,满足下列条件之一: 对任意的 , 是非空的凸集，且对任 一 , 是X中的开集； 对任一 ， 是X中的开集，且对任 一 ， 是X中非空的凸集。 则 S在X中存在不动点。 2 X xX ()Sx yX 1( ) ,( )S yx X y Sx xX ( )S x yX 1( ) ,( )S yx X y Sx 1989年Tarafdar对Browder集值不动点定理作了一些 推广，应用的是“紧集的有限开覆盖的单位分解 法，”以及“紧集中的闭集族具有有限交性质”等。 后来张石生，S.Park

7、等在赋范线性空间中证明内向 集与外向集定理【6】。1988年上海交大的陈志强 应用几乎下半连续，证明了一个集值映射的连续选 择定理，并得到了不动点定理，推广了brouwer不动 点定理【6】。2000年浙大的向淑文证明了上半连 续集值映射的连续选择逼近定理。【6】 Kakutani,Fan,Glicksberg等在局部凸Hausdorff拓扑线 性空间证明了KakutaniFan Glicksberg不动点定理 【6】： 设E为局部凸Hausdorff拓扑线性空间，X为E的非空 紧凸集，设T：X ，是具非空闭凸值的上半连 续映射。则T在X中存在不动点。 2 X 1991年张石生等在广义拟变分不

8、等式时， 推广了KakutaniFan Glicksberg不动点定 理【6】： 设E为局部凸Hausdorff拓扑线性空间，X为E 的非空紧凸集，设T：X 是具非空闭凸 值的映射，而且对每一 ， 关于x 是上半连续的。则T在X中存在不动点。 并且应用在广义拟变分不等式，隐变分不 等式等的研究中。 2 X * pE ( ) sup, y T x p y 问题是当参与者有无穷多，比如 ， 它不是Hilbert空间，也不是局部凸拓扑线性 空间,它是赋拟范空间： ， 拟范为 。它的对偶空间为 ， 是丰满的（ ）。 在什么情况下有Nash均衡点： 值得 探讨。 又当策略集K非凸时，结果有如何？ * x

9、T x 0 p 1 p l 1 p p nn n laa 1 1 p p nn n aa l ,0, . .0 p xlxfls t fx 我预想得出的结果： 1. 设E为拓扑线性空间，对偶空间 是丰满的，X为E 的非空紧凸子集， T：X 是非空紧凸值的集值 映射，而且对每一 ， 关于x是上半连 续的。则T在X中存在不动点。并用来研究广义拟变 分不等式，隐变分不等式等。 2.广义拟设变分不等式：E是Hausdorff拓扑线性空间， 对偶空间 是丰满的，X是E中的紧凸集设 ， 且 满足:对每一个 关于x下半连续； 关于y是 对角凹的； ； F：X 是具非空闭凸值的映射，对每一 ， 关于x是上半连

10、续的,且 是X中的闭集则存在 ，使得 。 2 X * pE () sup, y Tx p y * E * E ,:X XR :2 X F X ,yXx y , x y ,x yx yx yX 2 X* pE () sup, yFx p y ( ) : sup, yFx xXx y xX ( ) , sup, y F x xF xx y 3.隐变分不等式：E是Hausdorff拓扑线性空 间，对偶空间丰满，E中的紧凸集， ， 设 ，任意 ，存在 ，使 得 。 ，任意 ， 任意 ， 。存在 ，使 得隐变分不等式 成 立 。 0 ,X X 0 XX 0 :,g XX 0 zX xX ,g z x 0

11、 :,XX XR 0 zX xX:, ,0z x xxX , ,g x yx x yg x xyX 3. 设E为拓扑线性空间，对偶空间 是丰 满的，X为E的非空紧子集， T：X 是非 空闭值的集值映射，满足：对每一 ， 是下半连续的；存 在 ，使得对每 一 ， 。 则T在X中存在不动点。 * E 2 X * pE inf( )( ( )p xp T x 01 , n rxX * pE 11 inf ( )( ( )inf ()( () nnnn pxpTxrpxpTx 第二个问题 1965年Browder,kirk证明X为Hilbert或一致凸 空间或有正规结构，C是X的有界闭凸集， 则映C到

12、自身的非扩张映射T有不动点。 问题是： C不是有界闭凸集，或非扩张映射 T映C到X呢？ 在近几年，吸引点（attractive point）理论 也主要被Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu, Yao Jen-Chih等研究【80-85】，并应用来获得不 同的不动点定理. 设H是Hilbert空间，C是H的非空子集， 。 分别用 ，表示不动点集，吸引点集， 即 ， :T C H ( )F T( )A T ( ):FTz CTz z ( ):,ATz H Tx zx zx C 2011年，Wataru Takahashi, Yao Jen-Chih利用 Banach极限【10

13、】证明不动点定理【84】： 设H是Hilbert空间，C是H的非空闭凸子集， 若存在 使得 有界，且存在 Banach极限 ，使得 。 则 在C中有不动点。 xCxC :T CCx C n T x 22 , nn nn T xTyT xyyC T 2012年Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu证明吸收 点存在定理【84】： 设H是Hilbert空间，C是H的非空子集， 。 若存在 ，使得 有界，且存在 上的 Banach极限 ，使得 。 则 是非空。另外若C是闭凸的，则 非空。 :T CC xC n T xl 22 , nn nn T xTyT xyyC ( )A T( )

14、F T 在Hilbert空间，内积起到重要的作用，而在 Banach空间中无内积概念，引入：正规对 偶映射 。当 Banach空间是光滑，严格凸，自反的空间 时，J是单值的。设E是光滑Banach空间， 定义函数 为： 定义吸引点 为： 则 有界。 * 22 * :2, X J XJ xfXf xxf :,EE 22 ,2,x yxx Jyyx yE ( )A T ( ):,A TzHz Txz xxC , n A TxC T x 4.吸引点理论的研究才刚刚起步，只有初步 的构想。 设E是光滑，严格凸，自反Banach空间，C 是E的非空子集，设T:C C广义非扩张映射。 即若 非空， 若存在

15、C中的某个x，使得 有界，则吸 引点 非空。 又若C是闭凸集，则T有不动点。 n T x ( ):,A TzHz Txz xxC ,Tx yx yx C y F T F T 5. 关于在orlicz空间找到某个不动点的应用 研究，还在进一步探索中。 争取一两年内在SCI刊物上发表2-3篇学术论 文。 研究方法。 根据参考文献orlicz空间几何理论， 拓扑线性空间（兰州大学出版），以 及张石生教授著的变分不等式和相补问 题理论及应用的研究思路和证明方法。 并且大量阅读最近的发表的相关的研究论 文，注意并掌握新的研究动态和研究方法， 丰富知识并拓宽自己的视野。并应用他们 的方法来研究推广已有的结论。 预期困难和对策 把“局部凸Hausdorff拓扑线性空间”，改为“设E为拓扑线性空间， 对偶空间 是丰满的”的，需要对这两个拓扑线性空间的拓扑结构作深 入的研究，并且深入研究KFG不动点定理的证明过程，证明方法作详 细的理解，寻找证明中用到的关键理论，并与“设E为拓扑线性空间， 对偶空间 是丰满的”的拓扑结构相对照，找到证明关键理论的方法或 者要增加的条件，并研究参考文献中证明该不动点的其他方法，并加 于应用的。是否能找到该突