初中数学抛物线知识点

1、初中数学抛物线知识点【篇一：初中数学抛物线知识点】当 a 0时，抛物线向上开口 ;当 a 0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时(即 ab 0) ，对称轴在 y轴左 ;当 a 与 b 异号时(即 ab 0) ，对称轴在 y轴右。常数项c 决定抛物线与 y轴交点。抛物线与 y轴交于 (0，c)抛物线与 x轴交点个数1【篇二：初中数学抛物线知识点】右开口抛物线： y2=2px抛物线左开口抛物线： y2= -2px上开口抛物线： x2=2py下开口抛物线： x2=-2pyp为焦准距（ p 0 ）特点在抛物

2、线y2=2px 中，焦点是 (p/2 ，0），准线的方程是 x= -p/2 ，离心率 e=1 ，范围： x 0；在抛物线y2= -2px 中，焦点是 ( -p/2 ，0），准线的方程是 x=p/2 ，离心率 e=1，范围： x 0；在抛物线x2=2py 中，焦点是（ 0，p/2 ），准线的方程是 y= -p/2, 离心率 e=1 ，范围： y 0；在抛物线x2= -2py 中，焦点是（ 0，-p/2 ），准线的方程是 y=p/2 ，离心率 e=1，范围： y 0；四种方程抛物线四种方程的异同共同点：原点在抛物线上； 对称轴为坐标轴；准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都

3、等于一次项系数的绝对值的 1/4不同点：开口方向与 x轴（或 y轴）的正半轴相同时，焦点在 x轴（ y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与 x（或 y轴）的负半轴 相同时，焦点在 x轴（或 y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。2 切线方程抛物线y2=2px 上一点（ x0,y0)处的切线方程为： yoy=p(x+x0)抛物线y2=2px 上过焦点斜率为k 的切线方程为： y=kx-p/2k3 相关参数编辑(对于向右开口的抛物线y2=2px)离心率： e=1 （恒为定值，为抛物线上一点与准线的距二次函数的图像是一条抛物线离以及该点与焦点的距离比）焦点 :(p/2 ，0)准线方程 l:x=

4、-p/2顶点： (0，0)通径： 2p ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦定义域：对于抛物线y2=2px ，p 0时，定义域为x 0，p 0时，定义域为x 0；对于抛物线x2=2py ，定义域为r。值域：对于抛物线y2=2px ，值域为r，对于抛物线x2=2py ，p 0时，值域为y 0，p 0时，值域为y 0。4术语解释编辑准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。

5、正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线35 解析式求法编辑以焦点在 x轴上为例知道 p（x0 ，y0)令所求为 y2=2px则有 y02=2px02p=y02/x0抛物线为 y2=(y02/x0)x6 光学性质编辑经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。证明：设 p（x0 ，y0），pt 是抛物线在 p 处的切线，

6、 ph pt ，抛物线的方程为(a 0) ，焦点 f 坐标为（ 0，）根据抛物线的定义知 pf=y0+又抛物线导数为所以切线 pn 的斜率为 2ax0 ，方程为 y-y0=2ax0(x-x0)令 x=0, 得则 ft=y0+所以 pf=ft ，ftp= fpt,又fpt= mpn所以ftp= mpnmp 平行于 y 轴47 准线式方程编辑焦点准线式（标准方程）焦点：f(m,n)准线：l：ax+by+c=0方程为：抛物线=抛物线整理得 b2x2-2abxy+a2y2-2(ac+ma2+mb2)x- 2(bc+na2+nb2)y+(m2+n2)(a2+b2)-c2=0 面积和弧长公式 面积 are

7、a=2ab/3 弧长 arc length abc=(b2+16a2 )/2+b2/8a ln(4a+ (b2+16a2 )/b)若 o(0,0),m(x,y) 是抛物线 y2=2px 上两点，抛物线的弧 om 的弧长弧长 l=(p/2)* (2x/p)*(1+2x/p)+ln (2x/p)+ (1+2x/p)8 扩展公式编辑抛物线： y = ax2 + bx + c （a0)就是 y 等于 ax 的平方加上 bx 再加上 ca 0 时开口向上a 0 时开口向下c = 0 时抛物线经过原点b = 0 时抛物线对称轴为 y 轴还有顶点式 y = a （x-h ）2 + kh 是顶点坐标的 xk

8、是顶点坐标的 y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程： y2=2px它表示抛物线的焦点在 x 的正半轴上，焦点坐标为 (p/2,0) 准线方程为 x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程 y2=2px ，y2=-2px ，x2=2py ，x2=-2py9 二次函数图象编辑在平面直角坐标系中作出二次函数 y=ax2+bx+c 的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由平移得到的。二次函数图像二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点 p。特别地，当 b=0 时

9、，二次函数图像的对称轴是 y 轴（即直线 x=0 ）。是顶点的横坐标（即 x=？）。a,b 同号，对称轴在 y 轴左侧a,b 异号，对称轴在 y 轴右侧 二次函数图像有一个顶点 p，坐标为 p(h,k) 。当 h=0 时，p 在 y 轴上；当 k=0 时，p 在 x 轴上。即可表示为顶点式 y=a(x-h)2+k （a0）,。二次项系数 a 决定二次函数图像的开口方向和大小。当 a 0 时，二次函数图象向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。当 a 0,与 b 同号时（即 ab 0 ），对称轴在 y

10、 轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于 0，也就是 - b/2a 0, 所以 b/2a 要大于 0，所以 a、b要同号。当 a 0,与 b 异号时（即 ab 0 ），对称轴在 y 轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于 0，也就是 - b/2a 0, 所以 b/2a 要小于 0，所以 a、b 要异号。可简单记忆为左同右异，即当 a 与 b 同号时（即 ab 0 ），对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab 0 ），对称轴在 y 轴右。 事实上， b 有其自身的几何意义：二次函数图象与 y 轴的交点处的该 二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率 k 的值。可通 过对二次函数求导得到。 21a（x1,y1) ，b(x2,y2),a,b 在抛物线 y2=2px 上，则有： x1x2 = p?/4 , y1y2 = -p? ( 要在直线过焦点时才能成立 )；(当 a,b 在抛物线 x?=2py 上时，则有 x1x2 = -p? , y1y2 = p?/4 ,要在直线过焦点时才能成立 ) （1/|fa| ）+（1/|fb| ）= 2/p ；若 oa 垂直 ob 则 ab 过定点 m （2p，0）；焦半径： |fp|=x+p/2 （抛物线上一点 p 到焦点 f 的距离等于 p 到准线 l 的距离）；弦长公式： ab=（1+k2 ）*x1-x2；=b2-4ac