不等式和绝对值不等式

1、不等式和绝对值不等式 第一讲第一讲 不等式和不等式和 绝对值不等式绝对值不等式 不等式和绝对值不等式 不等式的基本性质不等式的基本性质 ( (第一课时第一课时) ) 观察以下四个不等式：观察以下四个不等式： a+2 a+1-(1) a+33a-(2) 3x+12x+6-(3) xa-(4) 一一 不等式不等式 不等式和绝对值不等式 同向不等式同向不等式： 在两个不等式中在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边如果每一个的左边都大于右边,或每一个的或每一个的 左边都小于右边（不等号的方向相同）左边都小于右边（不等号的方向相同）. 异向不等式：异向不等式： 在两个不等式中在两个不等式中,如果一个

2、不等式的左边大于右边如果一个不等式的左边大于右边,而另一个而另一个 的左边小于右边（不等号的方向相反）的左边小于右边（不等号的方向相反）. 同解不等式同解不等式 形式不同但解相同的不等式。形式不同但解相同的不等式。 其它重要概念其它重要概念 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式 不等式和绝对值不等式 2. 基本理论基本理论 1.实数在数轴上的性质实数在数轴上的性质: 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：轴上点

3、的左右位置关系来规定实数的大小： 0 不等式和绝对值不等式 ababx 用数学式子表示为用数学式子表示为: 设设a,b是两个实数是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是它们在数轴上所对应的点分别是 A,B,那么那么,当点当点A在点在点B的左边时的左边时,ab. 关于关于a,b的大小关系的大小关系,有以下基本事实有以下基本事实:如果如果ab,那么那么 a-b是正数是正数;如果如果a=b,那么那么a-b等于零等于零;如果如果a0 若若x1 那么那么 (x -1)2 0则则 2x4+1 2x3+x2 若若 x =1 那么那么(x -1)2 = 0 则则 2x4+1 = 2x3+x2 综上所述综上所述

4、: 若若 x = 1 时时 2x4+1 = 2x3+x2 若若 x1 时时 2x4+1 2x3+x2 求差比较大小求差比较大小 分四步进行：分四步进行：作差；作差；变形；变形；定号；定号； 下结论。下结论。 不等式和绝对值不等式 练习练习 比较比较x x2 2+y+y2 2与与xy+x+y-1xy+x+y-1的大小的大小 【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差是：作差变形变形判断符号常见的变形判断符号常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式

5、等是常数、若干个因式的积或完全平方式等. 不等式和绝对值不等式 例例2、比较、比较 不等式和绝对值不等式 练习题练习题 1. 已知已知 x0 , 比较比较 (x2 +2)2 与与 x4+x2 +4的大的大 小小. 2.比较比较 (x2 +2)2 与与 x4+5x2 +2的大小的大小 3. 比较比较 x3 与与 x2-x + 1的大小的大小. 不等式和绝对值不等式 【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法. . 【典型例题】【典型例题】 例例3、比较以下两个实数的大小：、比较以下两个实数的大小： )Nn(n2 n1n 1 )2(;1816)1( *

6、1618 与与与与 3 abba a bb（ ）比较和a的 不等式和绝对值不等式 作商比较法：作商比较法： 作商作商变形变形与与1比较大小比较大小 大多用于比较幂指式的大小大多用于比较幂指式的大小 不等式和绝对值不等式 练习练习 1 mm 、若m0,比较m 与2 的大小 2 2、选择题：、选择题： 已知已知 ，在以下，在以下4 4个不等式中正确的是：个不等式中正确的是： （1） （2） （3） （4） ba b 1 a 1 22 ba )1blg()1alg( 22 ba 22 不等式和绝对值不等式 小结小结 主要内容主要内容 基本理论基本理论: a - b 0 a b a - b = 0 a

7、 = b a - b 0 a b0,Cd0,e0,求证：求证： db e ca e 【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能 自己自己“制造制造”性质来进行性质来进行 不等式和绝对值不等式 例例3:在三角形在三角形ABC中中,求求A-B的取值范围的取值范围. 不等式和绝对值不等式 例例4、已知、已知 3 2 3 1 x，求下列式子的取值范围。，求下列式子的取值范围。 （1）1-x （2）x(1-x) 解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以 做减法运算。当同向不等式两

8、边都为正时，可以做乘法运做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运 算。本题常见的错误是将取值范围扩大。算。本题常见的错误是将取值范围扩大。 变式变式: :设设f(x)=axf(x)=ax2 2+bx,+bx,且且1f(-1)2,2f(1)4,1f(-1)2,2f(1)4,求求f(-2)f(-2)的的 取值范围取值范围. . 不等式和绝对值不等式 【解题回顾】本题采用了赋值法，使问题得以简化、明【解题回顾】本题采用了赋值法，使问题得以简化、明 朗赋值法是解选择题、开放题等常用的方朗赋值法是解选择题、开放题等常用的方 法它将复杂的问题简单化，是我们常用的法它将复杂的问题简单化，是我们常用的 数学方法数学方法 例例