数列中含有的n次方

1、1.（2012年新课标）在数列中，记是数列的前项和，则= .480方法：分奇偶数，发现奇数项成等差，偶数项两两相加为12、已知数列an中，a11，an1 (nn*)(1)求证： 数列 是等比数列，并求数列an的通项an(2)若数列bn满足bn(3n1)an，数列bn的前n项和为tn，若不等式(1)ntn对一切nn*恒成立，求的取值范围【解析】试题分析：(1)将已知an1取倒数可得: 1进而利用待定系数法将此式转化为: 3从而可证数列 是等比数列,然后应用等比数的通项公式可求得数列an的通项an; (2)由(1)及已知可得bn(3n1)n n1,此数列是由一个等差数列n与一个等比数列 n1对应项

2、的积构成的一个数列，此数列的前n项和应用乘公比错位相减法就可求得其前n项和tn；然后研究数列tn的单调性可知：tn为递增数列，最后通过讨论n的奇偶性及不等式恒成立的知识就可求得的取值范围.注意不等式:对一切nn*恒成立等价于,同理:不等式:对一切nn*恒成立等价于.试题解析：(1)由题知，1， . .1分3， 2分数列 是以3为公比以=为首项的等比数列。3n1，an 5分(2)由(1)知，bn(3n1)n n1，tn112 13 2n n1， 6分 tn12 2(n1) n1n n，两式相减得， tn12，tn4 10分tn1tn0，tn为递增数列 .12分当n为正奇数时，tn对一切正奇数成立

3、，(tn)mint11，1，1；当n为正偶数时，tn对一切正偶数成立，(tn)mint22，2.综合知，12 .14分考点：1.等比数列;2.数列的前n项和；3不等式的恒成立.3、已知是首项的递增等差数列，为其前项和，且（1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，为数列的前n项和若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】试题分析：（1）把式中的、用和进行代换得与联立方程组解出，即可求出通项公式；（2）由（1）可得的通项公式，通过观察求的前项和可通过裂项求得，求得后代入不等式，得到一个关于和的二元一次不等式，要求的取值范围可通过将分离出来，然后用不等式的基本性质及函数的基本性质即可求出的

4、取值范围。试题解析：（1）由，得 （2分） （4分）（2）由（1）得所以 （6分）由已知得：恒成立，因，所以恒成立， （7分）令，则当为偶数时，当且仅当，即时，所以； （8分）当为奇数时，可知随的增大而增大，所以，所以 （9分）综上所诉，的取值范围是 （10分） （其他解法请酌情给分）考点：1、等差数列通项公式及前项和公式；2、列项求和法；3、基本不等式；4、函数的单调性。含有类型题4、已知数列an满足：a11，a22，且an2(2cosn)(an1)3，nn*.(1)求通项an；(2)设an的前n项和为sn，问：是否存在正整数m，n(m3，n3)，使得s2nms2n1？若存在，请求出所有符合

5、条件的正整数对(m，n)，若不存在，请说明理由解：(1)当n是奇数时，cosn1；当n是偶数时，cosn1.所以当n是奇数时，an2an2；当n是偶数时，an23an.又a11，a22，所以a1，a3，a5，a2n1，是首项为1，公差为2的等差数列；a2，a4，a6，a2n，是首项为2，公比为3的等比数列所以an.(2)由(1)得s2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(132n1)(2623n1)3nn21.s2n1s2na2n3nn2123n13n1n21.若使s2nms2n1的正整数对(m，n)存在，即满足3nn21m(3n1n21)的正整数对(m，n)存在当n1时，31121m(311121)，m3；当n