上海交通大学大学物理A类第2章1PPT

1、力的累积效应力的累积效应 空间上的累积空间上的累积 时间上的累积时间上的累积 功功 冲量冲量 第第 2 章章 运动定理运动定理 2.1 2.1 冲量与动量冲量与动量 一、冲量一、冲量 1、定义、定义 第第 2 章章 运动定理运动定理 2.1 2.1 冲量与动量冲量与动量 一、冲量一、冲量 1、定义、定义 恒力：恒力： 变力：变力： F 21 tt )(tF )( 12 ttFI iiii tFIttt 21 i i i i i tFII 2 1 )( t t dttFI 2 1 )( t t dttFI 1 t 2 t t F F 方向不变方向不变如如 2、特性、特性 a、矢量性矢量性 b、过

2、程量过程量 2 1 t t dtFI kdtFjdtFidtFkIjIiII t t z t t y t t xkyx 2 1 2 1 2 1 )( 12 2 1 ttFdtFI x t t xx 单位：单位：N s 二、动量定理二、动量定理 1、质点、质点 牛顿第二定律：牛顿第二定律： dt vmd dt pd F )( ),(vmdpddtFId 1212 2 1 2 1 vmvmpppddtFI p p t t 注：注： a、分量式分量式 zyxlmvddtFdI mvmvdtFI lll ll t t ll ,);( 12 2 1 动量动量vmp b、 i t t i ii t t i

3、 i IdtFdtFI 2 1 2 1 c、惯性系惯性系 I 与惯性系无关与惯性系无关 p 与惯性系有关与惯性系有关 )( 12 pp 与惯性系无关与惯性系无关 d、 ).()( 0 ttvmvmF o 碰撞等问题中碰撞等问题中 t t dttFI 0 )( 00 vmvmppI 复杂复杂 )(tF gm t p F 0 tt t )(tF F 【例例】质量质量m=140g的垒球以速率的垒球以速率 v = 40m/s沿沿 水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿 仰角仰角 60o飞出。求棒对垒球的平均打击力。设飞出。求棒对垒球的平均打击力。设 棒和球的接触时

4、间为棒和球的接触时间为 t =1.2 ms。 60o v2 v1 因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。量改变，基本上由打击力的冲量决定。 mv1 60o mv2 mg t 打击力冲量打击力冲量 12 vmvmtF 重力、阻重力、阻 力的冲量可以忽略。力的冲量可以忽略。 F t F t 合力冲量合力冲量 )(101.8 102.1 30cos4014.02 30cos2 3 3 N t mv F 平均打击力约为垒球自重的平均打击力约为垒球自重的5900倍！倍！在碰撞过在碰撞过 程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。程中，物体

5、之间的碰撞冲力是很大的。 1 2 vmvmtF F t mv1 60o mv2 30o m=140g vvv 12 【演示实验演示实验】逆风行舟逆风行舟 1 p 2 p p 帆帆 V 1 v 2v 横横 F 纵纵 F F m 龙骨龙骨 横横 F 阻阻 F 水水 显示动量定理的矢量性。显示动量定理的矢量性。 2、质点系、质点系 i j i F ij f ji f jiij ff i 质点质点 )( )( 1121iniiiiiii ii fffffF dt vmd n i i n i ii Fvm dt d 11 )( 2 1 21 1 t n i i t Fdtpp = =- 质点系的动量定理

6、质点系的动量定理-质点系所受外力矢量和的质点系所受外力矢量和的 冲量冲量 等于质点系动量的坛量等于质点系动量的坛量 三、动量守恒定律三、动量守恒定律 n i i n i ii Fvm dt d 11 )( 1 n ii i pm vc = = 则则 若若0 1 n i i F 注：注： a、矢量式矢量式 0 1 n i i F 如如 0 1 n i il F 但但 1 n iil i m vc = = 则则 光滑光滑 b、 外内 FF 近似守恒近似守恒 c、 p 相对同一惯性系相对同一惯性系 d、比牛顿运动定律适用性强比牛顿运动定律适用性强 如爆炸、碰撞等如爆炸、碰撞等 l m 周期周期 T

7、F gm 0 0 T dtgmFI)( TgmdtgmdtF TT 00 圆锥摆圆锥摆 求：一个周期中求：一个周期中 之冲量之冲量F T dtF 0 动量定理动量定理 例：例： 例例 质量为质量为 的质点做匀速率圆周运动，运动方程为的质点做匀速率圆周运动，运动方程为 。求。求 时间段中作用在质点上时间段中作用在质点上 合力的冲量（合力的冲量（ ）。）。 m jsinicos tRtRr 4 0 T 2 T 解法解法1： 定义定义 jsinicos d d 22 2 2 tmRtmR t r mf jid 4/ 0 mRmRtfI T x y 解法解法2： 动量定理动量定理 x y i v f

8、v j Rvi i Rv f ji mRmRvmvmppI ifif 例例 已知高已知高H，傾角为，傾角为 的斜面光滑。小车的斜面光滑。小车质量质量 M，从，从 顶端滑至中点时刚好有一钢球顶端滑至中点时刚好有一钢球 m 从从 h 高度掉入。求小车高度掉入。求小车 到达底部时的速度到达底部时的速度V ? 解：解：m、M 系统，系统，冲击过程冲击过程 (M+m)g N vmMmvMv mM )(sin 由于由于m与与M间的冲击作间的冲击作 用力远大于重力在斜面用力远大于重力在斜面 上的分量，重力在冲击上的分量，重力在冲击 过程中可以忽略，过程中可以忽略，斜面斜面 方向动量守恒方向动量守恒! H h

9、 m M 冲击过程后，冲击过程后，m、M、地球系统机械能守恒地球系统机械能守恒： 22 )( 2 1 2 )()( 2 1 VmMg H mMvmM 解得：解得： 2 ) sin2 ( mM ghmgHM gHV ghvmghmv mm 2 2 1 2 22 1 2 gHv H MgMv MM u 例例 炮车的质量为炮车的质量为M，炮弹的质量为，炮弹的质量为m。若炮车与地面有。若炮车与地面有 摩擦，摩擦系数为摩擦，摩擦系数为 , 炮弹相对炮身的速度为炮弹相对炮身的速度为u， 求炮身相求炮身相 对地面的反冲速度对地面的反冲速度 v 。 解：解：选取炮车和炮弹组成系统选取炮车和炮弹组成系统 运用质

10、点系的动量定理：运用质点系的动量定理： 0)(d)( 0 uvmvMtfNgmgM x方向：方向：) 1 ()cos(d 0 uvmMvtf 内、外力分析。内、外力分析。 水平的动量守恒吗水平的动量守恒吗 ？ y方向：方向： )2(sind)( 0 mutmgMgN x y gM gm N f ) 1 ()cos(d 0 uvmMvtf )2(sind)( 0 mutmgMgN )( mgMgN很短，很短， ) 3(Nf )2(sind 0 mutN sin cos )(umumvmM mM mu v )sin(cos u gM gm N f 讨论：讨论： 1. 若炮车与地面没有摩擦若炮车与地

11、面没有摩擦 0 mM mu v cos 2. 若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹 0 mM mu v 3. 自锁现象，即自锁现象，即 v=0 时时 cot mM mu v )sin(cos 将一小球从某点以初速度将一小球从某点以初速度v0竖直向上抛出，当小球落回该抛出点竖直向上抛出，当小球落回该抛出点 时速率为时速率为vt，已知小球在运动过程中受到的空气阻力大小与小球，已知小球在运动过程中受到的空气阻力大小与小球 的速度大小成正比，求小球从抛出到落回原处所用的时间。的速度大小成正比，求小球从抛出到落回原处所用的时间。 上升阶段：上升阶段： makvmg t x

12、 m k g t v h m k gtv 10 下降阶段：下降阶段： amkvmg t x m k g t v h m k gtvt 2 gtttgvvt 210 g vv t t 0 0 v 1 t 21 tt t v v t kv h 将一小球从某点以初速度将一小球从某点以初速度v0竖直向上抛出，当小球落回该抛出点竖直向上抛出，当小球落回该抛出点 时速率为时速率为vt，已知小球在运动过程中受到的空气阻力大小与小球，已知小球在运动过程中受到的空气阻力大小与小球 的速度大小成正比，求小球从抛出到落回原处所用的时间。的速度大小成正比，求小球从抛出到落回原处所用的时间。 空气阻力正比于运动速度，物

13、体上升与下落整个过程的速度时间空气阻力正比于运动速度，物体上升与下落整个过程的速度时间 曲线一定是分布于时间轴的上下两面，且由于上升与下落过程经曲线一定是分布于时间轴的上下两面，且由于上升与下落过程经 过的距离相等，即时间轴上下两侧曲线所围的面积相等过的距离相等，即时间轴上下两侧曲线所围的面积相等. 0 mvmvmgt t g vv t t 0 由动量定理由动量定理 而速度时间曲线等价于阻力时间曲线，所以在整个运动过程中空而速度时间曲线等价于阻力时间曲线，所以在整个运动过程中空 气阻力的冲量等于零。气阻力的冲量等于零。 光滑管光滑管R=15cm，流量，流量Q=0.57m3/s， 求水对弯头冲力

14、。求水对弯头冲力。 45 1 v 2 v 12 vvmtF Q t m 21 FQ vv 冲力冲力 12 FQ vv 12 cos45 x FQ vv 2 0sin45 y FQv 不可压缩流体不可压缩流体 12 vv 2 8.07m/s m QR vv t 7852N3253N8499N xy FFF x y 【例例】 系统受到冲量 约束条件 由此解得由此解得 以整个绳索为研究对象以整个绳索为研究对象 质心质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置是与质量分布有关的一个代表点，它的位置 在平均意义上代表着质量分布的中心。在平均意义上代表着质量分布的中心。 c c c 四四 、 质心质心 质心

15、运动定理质心运动定理 1、质心、质心 质心的位矢：质心的位矢： i i i ii m rm r c m xm x i ii c 分量式：分量式： m mr r d d c m ym y i ii c m zm z i ii c 质量连续分布的物体质量连续分布的物体： x y z i r i m c r O c mzdmzmydmy cc ; mxdmx c mdmrrc 直角坐标系中：直角坐标系中： dsdm s dvdm 线分布：线分布： 面分布：面分布： 体分布：体分布： dldm l R x y 求质量均匀分布半圆形薄板质心位置。【例例】 解：选如图坐标 由於对 x 轴的对称性，yC=0

16、 dx 取微元： dm= 2Rsin dx cosRx dRdxsin 2 2 Rdm 半圆 R R dR x C 3 4 2 cossin2 2 0 2/ 23 dm dxRx xC sin2 2、质心运动定理、质心运动定理 , ii ii i i c c mvmm dt rd m dt rd v i i ic vmvm N i i N i ii c m rm r 1 1 质心坐标系：质心坐标系： 零动量系零动量系 000 i i icc vmvr . c c n i i am dt vd mF 质点系动量定理：质点系动量定理： 11 () nn i ii ii d mvF dt = = 邋

17、 2 1 21 t i t i F dtpp=- 质心运动定理质心运动定理 质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有 质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所 有外力的矢量和有外力的矢量和 i i ic vmvm 注：注： 1、惯性系、惯性系 0, 0 1 c n i i aF 质心系是惯性系质心系是惯性系 质心系是非惯性系质心系是非惯性系 0, 0 1 c n i i aF 2、 3、功能原理、角动量定理在质心系中成立、功能原理、角动量定理在质心系中成立 用质心运动定理，求提起绳子的拉力用质心运动

18、定理，求提起绳子的拉力 把绳子看作一质点系。当绳子提起长度为把绳子看作一质点系。当绳子提起长度为x时，时， 其质心高度和速度分别为其质心高度和速度分别为 l xv dt dx l x dt dx v l x xdx l x c c x c 0 2 0 2 1 由此可得质心加速度为由此可得质心加速度为 l v dt dv a c c 2 0 对整根绳子应用质心运动定理，则有对整根绳子应用质心运动定理，则有 c laglxlgF)( 2 0 vgxF 例例 三棱体三棱体 C、滑块、滑块 A、B，各面，各面 均光滑。均光滑。已知已知mC=4mA=16mB , =300， =600。求。求A下降下降

19、h=10cm 时三棱体时三棱体 C 在水平方向的位移。在水平方向的位移。 解：解： 0)()(xmxxmxxm CBBAA 水平方向无外力水平方向无外力, 质心水平位置不变。质心水平位置不变。 A B C h tan/ hxA )cm(8 . 3 CBA BBAA mmm xmxm x x设三棱体设三棱体 位移为位移为 ： 0 c x0 ii xm sin/cos hxB c ii m x x m 骣 = 桫 例例 一质量分布均匀的绳子，质量为一质量分布均匀的绳子，质量为 ，长为，长为 ， 以恒定角速度以恒定角速度 在水平面上旋转。求绳中的张力在水平面上旋转。求绳中的张力 。 ML )(rT

20、O 解法解法1：牛顿第二定律：牛顿第二定律 r dTT T dm LM / drdm drrdT 2 L rT drrdT 2 0 )( 2 1 222 rLT 解法解法2：质心运动定理：质心运动定理 O T r )( 2 1 rL 研究对象研究对象 )( 2 1 )( 2 1 )( )( 2 1 222 2 2 rL rLrL rLrmT 例例 水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量M ，纸被拉动时与球的摩擦力为，纸被拉动时与球的摩擦力为 F，求：，求：t 秒后球相对桌面秒后球相对桌面 移动多少距离？移动多少距离？ x y o 解：解： c

21、aMF M F ac 2 2 1 t M F xc 答：沿拉动纸的方向移动答：沿拉动纸的方向移动 2 2 1 t M F 五、五、火箭的运动火箭的运动 z o t m v t+dt md- mm d vv d u 设设 t 时刻，火箭质量为时刻，火箭质量为 m，速度为，速度为 (向向 上上)，在，在 dt 内，喷出气体内，喷出气体 -dm，喷气相对，喷气相对 火箭的速度火箭的速度(称称喷气速度喷气速度)为为 (向下向下)。 v u tFvmuvvmvvmmddddd 整个系统用动量定理整个系统用动量定理 tFumvmddd Fu t m t v m d d d d u t m F t v m

22、d d d d 主体主体 附体附体 附体进入主体之前或离开附体进入主体之前或离开 主体以后相对主体的速度主体以后相对主体的速度 u t m F t v m d d d d 变质量系统动力学方程变质量系统动力学方程 适用于所有有质量流动物体的动力学问题适用于所有有质量流动物体的动力学问题 箭体受到喷气的推力：箭体受到喷气的推力：u t m F d d p z o t m v t+dt md- mm d vv d u 附体附体 主体主体 火箭的速度公式火箭的速度公式 只计重力：只计重力： gt m m uvv f 0 0 ln tm m v v tg m m uv 0 d d d f 00 设设

23、t=0 时，时，v=v0 ，m=m0 ，任一时刻，任一时刻 t 时为时为 v 和和 mf。 u t m mg t v m d d d d u t m F t v m d d d d tgu m m vd d d 50 f0 min mm min max m m uvv f 0 0 ln , ) 1 (u min m m f 0 )2( 目前技术只有：目前技术只有：u =2500 m/s，m0 /mf min=10 。 提高火箭速度的途径：提高火箭速度的途径： 当当 v0 =0，u =2000 m/s 时，要达到第一宇宙速度时，要达到第一宇宙速度 v=v1=7.9 km/s，须有：，须有： 讨论

24、讨论 f 0 0 ln m m uvv 不计重力：不计重力： 如果如果 N1 =N2 =N3=5，u =2000 m/s ，则有：，则有： v =10.6 km/s ，考虑重力和阻力后仍可达到，考虑重力和阻力后仍可达到 第一宇宙速度。第一宇宙速度。 11 lnNuv ,ln,ln 323212 NuvvNuvv 最终速度：最终速度： )ln(ln 321 NNNuNuv i i 采用采用多级火箭多级火箭技术：技术： 三级火箭示意图三级火箭示意图 u t m F t v m d d d d 0 d d 0 t m gxF 第一交换过程质量改变速率第一交换过程质量改变速率主体质量改变速率主体质量改

25、变速率 变质量系统动力学方程变质量系统动力学方程 2 2 1 1 d d d d d d u t m u t m F t v m 【例例】 0 m 0 m 2 2 1 1 d d d d d d u t m u t m F t m 0 , 201 uu 最终速度： f 【例例】质量为质量为M的人，手里拿着质量为的人，手里拿着质量为m的物体，此人用的物体，此人用 与地平线成与地平线成 的速度的速度v0 向前跳去，当他到达最高点时，把向前跳去，当他到达最高点时，把 物体以相对于自己以速度物体以相对于自己以速度 u 向后抛出，问由于物体的抛出，向后抛出，问由于物体的抛出， 他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？ 人不向后抛出物体，所跳人不向后抛出物体，所跳 过的距离：过的距离： 解法一解法一 取地面坐标系，用动量守恒定律求解。取地面坐标系，用动量守恒定律求解。 人在最高点向后抛出物体的过人在最高点向后抛出物体的过 程中，应用动量守恒定律：程中，应用动量守恒定律： g v R cossin2 2 0 cos)()( 0 vMmuVmMV mM R R+R x y