第二章重心和截面的几何性质

1、第二章第二章 重心和截面的几何性质重心和截面的几何性质 第一节第一节 重心重心 地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个 力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分 组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引 力汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比力汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比 地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空空 间平行力系间平行力系。这些平行力系的。这些平行力系的合力合

2、力就是物体的就是物体的重力重力。 由实验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力由实验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力 的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体 重力的作用点，称为物体的重力的作用点，称为物体的重心重心。 一、一、 重心的概念重心的概念 第一节第一节 重心重心 为确定物体重心的位置，将它分割成为确定物体重心的位置，将它分割成n个微小个微小 块，各微小块重力分别为块，各微小块重力分别为Gl、G2、Gn， 其作用点的坐标分别为其作用点的坐标分别为(X1、Y1，、，、z1)、(X2、 Y2、z2)(Xn，Yn、Zn)，各微小

3、块所受重力，各微小块所受重力 的合力的合力W即为整个物体所受的重力即为整个物体所受的重力G Gi， 其作用点的坐标为其作用点的坐标为C(xc，yc、zc)。对。对y轴应用轴应用 合力矩定理，有：合力矩定理，有： 二、一般物体重心的坐标公式二、一般物体重心的坐标公式 G xG G xdG x ii G c 第一节第一节 重心重心 同理，对同理，对y轴取矩可得：轴取矩可得： 将物体连同坐标转将物体连同坐标转90o而使坐标面而使坐标面oxz成为水成为水 平面，再对平面，再对x轴应用合力矩定理，可得：轴应用合力矩定理，可得： 因此，一般物体的因此，一般物体的重心坐标重心坐标的公式为：的公式为： G y

4、G G ydG y ii G c G zG G zdG z ii G c G xG x ii c G yG y ii c G zG z ii c 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 在建筑力学以及建筑结构的计算中，经常在建筑力学以及建筑结构的计算中，经常 要用到与要用到与截面截面有关的一些几何量。例如轴向拉有关的一些几何量。例如轴向拉 压的横截面面积压的横截面面积A、圆轴扭转时的抗扭截面系数、圆轴扭转时的抗扭截面系数 WP和极惯性矩和极惯性矩IP等都与构件的强度和刚度有关。等都与构件的强度和刚度有关。 以后在弯曲等其他问题的计算中，还将遇到平以后在弯曲等其他问题的计算中，还将遇到平 面

5、图形的另外一些如面图形的另外一些如形心、静矩、惯性矩形心、静矩、惯性矩、抗抗 弯截面系数弯截面系数等几何量。这些与平面图形形状及等几何量。这些与平面图形形状及 尺寸有关的几何量统称为平面图形的尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。几何性质。 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 二二. 静矩的定义静矩的定义 A z dAyS A y dAzS ：分别表示截面对z轴和y轴的静矩(面积矩）。 yz SS 、 单位为 mm3 或 m3 dAz dAy ：微面积对：微面积对y轴的静矩轴的静矩 ：微面积对：微面积对z轴的静矩轴的静矩 其值可正、可负、可为零 第二节第二节 截面的几何性质截面的几

6、何性质 一一. 形心形心 形心：图形的几何中心。形心：图形的几何中心。 A zdA z A c A ydA y A c 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 A S y Z c A S z y c 计算形心坐标的公式计算形心坐标的公式 1、若、若Sz=0yc=0 该轴通过形心轴通过形心 2、若轴通过形心(形心轴）则静矩为零则静矩为零 讨论：讨论： 3、已知静矩可求形心；已知形心和面积也可求静矩、已知静矩可求形心；已知形心和面积也可求静矩 三三. 形心与静距的关系形心与静距的关系 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 例：求图示矩形的形心位置例：求图示矩形的形心位置 A z dAyS

7、 h h y bbdyy 0 2 0 2 2 2 bh A y dAzS b b z hhdzx 0 2 0 2 2 2 hb bhA 形心：形心： 2 2 2 h bh bh A S y z c 2 b A S z y c b/2,h/2 1、求静矩、求静矩 2、求形心、求形心 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 例：求图示三角形对例：求图示三角形对x轴的静矩与其形心的轴的静矩与其形心的y轴坐标。轴坐标。 X Y O dy y b b（y） h 解：解：1、求静矩、求静矩 微面积大小：微面积大小：dA=b(y)dy =b(h-y)/h 微面积静矩：微面积静矩：dSz=b(y)dyy

8、静矩：静矩： A z dS dy h y yb)( 2 dy h y bydyb hh 0 2 0 6 2 bh 2、求形心、求形心 y 轴坐标轴坐标 A S y x c 3 h h ydy h y b 0 )1 ( 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 简单图形：形心已知的图形简单图形：形心已知的图形 简单图形的静矩直接用其面积与形心坐标的乘积计算简单图形的静矩直接用其面积与形心坐标的乘积计算 讨论讨论 b/2,h/2 对称图形的形心必在对称轴上对称图形的形心必在对称轴上 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 由几个简单截面组合而成的截面由几个简单截面组合而成的截面 组合截面组合

9、截面 组合截面（图形）的静矩和形心组合截面（图形）的静矩和形心 上述截面形式常见于钢结构、混凝土结构等上述截面形式常见于钢结构、混凝土结构等 工字钢工字钢槽钢槽钢角钢角钢 T形钢梁形钢梁箱形梁箱形梁钢管钢管 也可视为简单图形也可视为简单图形 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 A S A yA y z n i i n i cii c 1 1 A S A zA z y n i i n i cii c 1 1 组合截面的静矩：总静矩为各简单截面的静矩代数和。组合截面的静矩：总静矩为各简单截面的静矩代数和。 z n i ziz SS 1 形心位置：形心位置： *注意静矩的正负号注意静矩的正负

10、号 21 AAA ydAydA 21 AA ydAydA z S 21zz SS n i cii yA 1 n i ic Ay 1 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 例：求图示组合图形的形心与静矩例：求图示组合图形的形心与静矩 21zzz sss 1530300 1 z s )30135(50270 2 z s mm A S y z c 105 2227500135000 z S 3 2362500mm 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 . 惯惯 性性 矩矩 A z dAyI 2 A y dAzI 2 四、惯性矩和极惯性矩四、惯性矩和极惯性矩 dAy 2 微元对微元对Z轴的

11、惯性矩轴的惯性矩 量纲：量纲：m4、mm4 I 0 图形对图形对z轴的惯性矩轴的惯性矩 图形对图形对y轴的惯性矩轴的惯性矩 *是对某一根坐标轴而言是对某一根坐标轴而言 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 A P dAI 2 222 zy yzP III 2. 极惯极惯 性性 矩矩 dA 2 微面积对原点的极惯性矩微面积对原点的极惯性矩 图形对原点的极惯性矩图形对原点的极惯性矩 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 求矩形对形心轴求矩形对形心轴y、z的惯性矩的惯性矩 取微段取微段dA=b dy 123 3 2/ 2/ 3 2/ 2/ 2 bhy bdybyI h h h h z 1

12、23 3 2/ 2/ 3 2/ 2/ 2 hbz hdzhzI b b b b y A z dAyI 2 解：解： 熟记熟记 3. 常见截面的惯性矩常见截面的惯性矩 矩形截面矩形截面 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 微面积：微面积： A z dAyI 2 4 64 zy D II 解：解： 熟记熟记 圆形截面圆形截面 dA dAdd d d dd D 2 2 0 2 2 0 sin 64 4 D siny 第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质 取微薄圆环取微薄圆环 dA=2 2 d 324 22 4 2 0 4 2 D dI D A P 642 4 DI II P yz A

13、P dAI 2 解：解： 熟记熟记 4.常见截面的极惯性矩常见截面的极惯性矩 圆形截面圆形截面 圆环形截面圆环形截面 4 4 (1) 32 P D I d D Dd 第三节第三节 平行移轴公式平行移轴公式 AaII zz 2 1 A z dAyI 2 2 2 11 () z AA IydAya dA 22 2 AAA ydAa ydAadA AaI z 2 0 .公式推导公式推导 注意：注意：z、y为形心轴为形心轴 平行移轴公式平行移轴公式 AaII zz 2 1 AbII yy 2 1 计算公式计算公式 2. 公式运用公式运用 工字钢工字钢槽钢槽钢角钢角钢T形钢梁形钢梁 组合截面的惯性矩组合

14、截面的惯性矩 第三节第三节 平行移轴公式平行移轴公式 第三节第三节 平行移轴公式平行移轴公式 已知已知T型组合截面，尺寸如图所示，试求截面形心型组合截面，尺寸如图所示，试求截面形心C点的位置，以及对形心轴的点的位置，以及对形心轴的 惯性矩。惯性矩。 21 2211 AA yAyA y cc c 02010yyy III 200400120600 200200400460120600 mm323 3 01 600120 12 1 y I 3 02 200400 12 1 y I )(10243 47 mm 解：解：1、求形心轴、求形心轴 2、求组合图形对、求组合图形对y0轴的惯性矩轴的惯性矩 第

15、三节第三节 平行移轴公式平行移轴公式 已知已知T型组合截面，尺寸如图所示，试求截面形心型组合截面，尺寸如图所示，试求截面形心C点的位置，以及对形心轴的点的位置，以及对形心轴的 惯性矩。惯性矩。 02010zzz III 解：解：3、求组合图形对、求组合图形对zo轴的惯性矩轴的惯性矩 600120)323460(120600 12 1 23 01 z I 400200)200323(400200 12 1 23 02 z I )(105 .371 47 mm 01 z 02 z 回回 顾顾 1、静、静 矩：矩： c A z yAdAyS c A y zAdAzS 2、形心位置：、形心位置： A S A yA y z n i i n i cii c 1 1 A S A zA z y n i i n i cii c 1 1 4、极惯性矩：、极惯性矩： yz A P IIdAI 2 5、平行移