浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第15章15.1 不等式和绝对值不等式

1、 0.0.10 ee abcde acbd 已知，求证： 00. 00. 1 0 1 11 . 0 . cdcd abacbd ac bd acbd ac bd bdac ee eeee bdacacbd 因为，所以 又因为，所以 因为， 所以不等式两边同乘， 得 在这个不等式两边同乘 ， 得，即故原不等 证明： 式成立 34 1, ,3 2. 2 xb b 若不等式 的解集中的整数有且仅 有，求实数 的取值范围 44 34 33 4 01 3 57. 4 34 3 bb xbx b b b 由 ，得， 所以，解得 解析： 23.13.xx解不等式 10201 2. (2)2,1 1) 221

2、 21 3213 1 12. 21 (2)( 3 1) xxxx xx xxxx x x xx xx 令和，得分界点， 于是，可分区间，化简原 不等式， 得或 或，解得或 综上，不等式的解集 ： ，是 解析 2 12 40.3f xxx x 求函数的最小值 3 222 2min 0 1233123312 33 2222 9. 3312 2. 22 9 x xxxx f x f x x xxx xx x x 因为， 所以 当且仅当，即时， 解析： 1 000. 2 1 2 3() . 4()00 .00. abababababab abb a abbca c abac bcabcdac bd a

3、bcacbcabcac bc abcdacbd 实数的大小关系与运算性质之间的关系 ， ， 不等式的性质 对称性：； 传递性：，； 加 减 ：；， 乘 除 ：，；， ， 22 50(2) ()0( 2) 3 12. 2. 2 nn nn ababnn abab n n abababa b ab abab ab N N R 乘方：，且 开方 取算术平方根， 且 基本不等式 定理 ：设 ，则当且仅当 时等号成立 定理 ：如果 ， 为正数，则当且 仅当时等号成立 3 2 3. 3 ab abab ab abc abcabc abc 我们称为正数 ， 的算术平均值，为正 数 ， 的几何平均值因而这一定

4、理可用语言 叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的 几何平均值 定理 ：如果 ， ， 为正数，则 当且仅当时等号成立 3 12 12 1212 3 . 4 n n n n n abc abcabc abc aaan aaa a aaaa n a 我们称为正数 ， ， 的算术平均值， 为正数 ， ， 的几何平均值因而这一定理可用 语言叙述为： 三个正数的算术平均值不小于它们 的几何平均值 定理 ：一般形式的算术-几何平均不等式： 如果 ， ， ， 为 个正数， 则，当且仅当 时等号成立 4 10 . 20 3 1 0 axbc axbc c axbcaxbcaxbc axbccaxbc xax

5、bc xaxbc c ababab ab 绝对值不等式 ，型不等式的解法： 或； ，型不 等式的解法，一般用分区间讨论法或数形结合法 绝对值的三角不等式 定理 ：若 ， 为实数，则，当且 仅当时，等号成立 2 0 abcacab bcabbcb ac 定理 ：若 ， ， 为实数，则 ，等号成立，即 落在 ， 之间 3 1 3 a abb a ab 例题1：已知 ， 是不相等的正数，且， 试比较 ， ， 与的大小 331 33( 11 31 3) a ba aa aab 解 当时， 析： 与题设矛盾 3 31 3( 3)03. 1 3 2 131 31 1 10 1 31 3( 3)33. 12

6、 3. 2 a bab a a ab baa a ab ab 当时， 因为，所以 又因为， 所以，即 于是 3 03333 . 3 2 3 2 a ab bab ab ba 当时， 由，得且， 于是 () 比较大小问题通常应用差值比较法，其 步骤是：作差-变形-判号，解题关键在于变 形，方法有：通分 分式型 、分解因式、配方等， 同时还应注意分类讨论思想方法 点评： 的应用 11 0 (1 0. ) nn nn ababab ababnn N 拓展训练 设，且，试比较： 与，的大小 111 111 nnnnn nnn abababaab bbaabab 解析： 11 11 11 11 11 1

7、1 11 00 0 . 00 0 . . nn nn nnnn nn nn nnnn nnnn ababab abab ababab baabab abab ababab ababab 当时， 则， 所以 当时， 则， 所以 综上所述， 4 6 1 27 2 0 OABM COMxC yCACB yx yx 如图， 为数轴的原点， ， ，为数 轴上三点， 为线段上的动点，设 表示 与 原点的距离， 表示 到 距离的 倍与 到 距离 的 倍的和 将 表示为 的函数； 要使 的值不超过， 应该在什么范 例题 ： 围内取值？ 410620 (030) 4|10| 6|20| 70 030 10160

8、70 10 030 9 930910 030 1020 1 2 yxxx xx x x x x x x xx x x 依题意， 满足， 当时，原不等式组等价于 ， 解 所以； 当 析： 时， 28070 030 5 5301020 030 1016070 20 030 23 023202 9,23 3. 030 x x x xx x x x x x x x x x 原不等式组等价于 ，所以； 当时，原不等式组等价于 ，所以 综上所述， x第一问应注意 的取值范围；第二问解 不等式组时应用零点分段法分类讨论时要注 意做到分类标准统一，不重复 点评： ，不遗漏 214 . 12 2 3f xxx

9、f x yf x 设函数 解 例题 ： 不等式 ； 求函数的最小值 0yf xf x 这个绝对值不等式比较复杂，一方面 可以联系函数的零点与方程 的根的关系，从函数的观点出发，利用函数 图象求不等式的解集；另一方面，可以用零 点分段法分类讨论，脱去绝对值符 分析： 号求解 214 1 5 2 1 334. 2 54 2142 5 7, 1 2(2) 3 yxx xx yxx xx yxxy 令， ， 则， ， 作函数的图象，它与直线 解 的交点为和， 析： 2 1 21 2 4. 5 (7)() 3 2 9 2 f x xyx x 所以的解集为 由函数图 ， 最小值 象知，当时， 取得 当不等

10、式的一侧有两个或两个以上的 绝对值符号时，常用零点分段法分类讨论求 解，求最值可结合图 点评： 形得出 134 2211. xxxa a xx 若关于 的不等式 的解集不是空集，求参数 的取值范围 解不等式 拓展训练： 34341 341. 134 1. 20211 0. 0 1xxxx xx axxa a xxx x xx 因为， 所以的最小值是 因此，当时，的解集是， 所以 当时，原不等式可化为， 解得 又因为，所 析： 以 解 不存在； 1 0211 2 0. 11 00 22 1 211 2 1 |0 2. 22 2 1 x xxx x xx xxx xx x 当时，原不等式可化为，

11、解得 又因为，所以； 当时，原不等式可化为， 又因为，所以 综上，原不等式的解集为 2 011xyxx已知，求函数的例题4： 最大值 a 2 3 m x 0110. 4 27 141 2 2 1 4 22 4() 327 2 1 23 2 . 3 xx x x yxxx xx x x xx xy 因为，所以 因此 ， 当且仅当，即时等号成立 故时， 解 当 析： () 应用均值不等式时，要根据均值不等 式的条件创设应用情境合理拆分项或配凑 因式是常用的解题技巧，而拆与凑的关键在 于合理地运用和 或积 为常数，并应考虑 等 号 能 点评： 否成立 23 0 346 (2009)xyz xyzx

12、y z 设 ， ，且拓展训练：浙 ，求的 江模拟 最大值 23 23 6 23 634 46 22 1(4) 2 1 21 4 . 1 xyz xx yyyzx y z x x y zyz x x y z yz 因为 ， 所以当 解析： 且仅当时取等号 所 取得最 以， 大值 时， P PHab PAH 如图，教室的墙壁 上挂着一块黑板，它的上、 下边缘分别在学生 的水平 备选题 视线的上方 米和 米， 则 距离墙壁多远时， 他看黑板 ： 的视角最大？ 2 . tantan tan(). 1 1 PAHx PPH APHBPHP ab xx ab tantanab xx abab tan ta

13、n x xx 设学生 与墙壁的距离是 米，黑板 上、下边缘与 的水平视线的夹角分别为 ，则 看黑板 的视角为 由，得， 解析： 22 tan() abab xxab xx xab AHa P b 因为， 当且仅当时，最大 又因为 与墙壁的距离 为 为时， 锐角，所以此时最大 他看黑板的 ，即 视角最大 利用不等式解决实际生活中的优化问题， 要建立合适的数学模型，写出对应函数的解析 式，然后转化为数学中的最值 点评： 问题解决. 1 2 123 应用不等式性质时要特别注意不等式两边同 乘一个负数，不等号要改变方向 解绝对值不等式，关键是应用绝对值的定义 或绝对值的性质去掉绝对值符号基本方法有：

14、零点分段法； 平方法； 应用绝对值不等式 的基本性质等在应用零点分段法分类讨论时 要注意做到分类标准统一，分类方法既不重复 又不遗漏；在应用平方法时要注意同解变形等 3 ( () 4 应用算术-几何平均不等式求最值时，要 注意 一正、二定、三等 即 各项或各因数都 为正数积 或和 为定值等号成立的条件 当多次运用算术-几何平均不等式求最值时， 一定要注意是否每次都能保证等号成立，并且 要保证等号成立条件的前后一致性 要注意知识的综合应用如最值问题，既 可以应用均值不等式求解，也可以从函数的单 调性入手，应用函数的性质来解 21 11 xyxy xy 已知 ， 都是正实数，且，求例题： 的最小值

15、 1 11 2,22 11 222 2 11 2()22 2. xy xy xy xy xy xy xy 解法 ：因为 ， 都是正实数， 所以， 所以， 即 错解： 11 2112 2. 11 12 2. 221 11111 2()2 224 2. 11 4 2. xy xy xy xyxy xyxy xyxyxy xy 因为，故得 所以的最小值为 解法 ：因为 ， 都是正实数，且， 所以 所以的最小值为 111 32 11 1 3 . 211 3 1111 2 966. xy xyxy xy xy x xy xy y xyxy 解法 ：因为 ， 都是正实数，所以， 当且仅当，即时取等号 由，解得 所以，即的最小值是 2 11 2 21 11 22 xy xy xy xy 解法 ，取等号的条件是且， 这与矛盾，故取不到等号 解 错解分 法 ，取等号的条件是