2020版高考数学一轮复习（四十）空间向量的运算及应用理（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精课时跟踪检测（四十） 空间向量的运算及应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知a（2,3,4），b(4，3，2)，bx2a，则x_。解析：由bx2a,得x4a2b（8，12，16)(8,6，4)(0，6,20）答案：(0,6,20)2(2019汇龙中学检测）若直线l的方向向量为a（1,0,2），平面的法向量为n (2,0，4），则直线l和平面的位置关系为_解析：因为a(1,0,2），n(2,0，4),所以n2a，即an.所以l.答案：l3(2018睢宁中学检测)已知空间四边形oabc，m，n分别是oa，bc的中点，且a，b,c，用a，b，c表示向量_。解析:如图所示，

2、连结on，an，则（）（bc)，（）（2)(2abc)abc,所以（)abc.答案：abc4若点c（4a1，2a1，2）在点p(1,0,0），a(1，3，2），b(8,1, 4）所确定的平面上，则a_.解析：由题意得（0，3，2)，（7，1，4)，(4a，2a1,2)，根据共面向量定理，设xy，则（4a，2a1,2)x（0,3,2）y(7，1，4)（7y,3xy，2x4y），所以解得x,y，a.答案：5若平面的一个法向量为u1（3，y,2）,平面的一个法向量为u2(6，2，z），且,则yz_。解析：因为，所以u1u2，所以，所以y1，z4，所以yz3.答案:36（2019滨海检测）已知空间三点

3、a(0,2，3），b(2，5，2)，c（2,3,6），则以ab,ac为邻边的平行四边形的面积为_解析：（2，3，1），(2,1，3）4334，|，|.cosbac.sinbac。故以ab，ac为邻边的平行四边形的面积s|sinbac6.答案：6二保高考,全练题型做到高考达标1已知点p是平行四边形abcd所在平面外一点若(2,1,4）,(4,2，0），（1,2，1),则给出下列结论：apab;apad；是平面abcd的一个法向量；。其中正确的是_(填序号）解析：2（1)(1)2（4）(1）2240，即apab,故正确(1）42200,，即apad，故正确又abada, ap平面abcd，故是平面

4、abcd的一个法向量，故正确（2,3,4)，（1,2，1）, ， 与不平行，故错误答案：2已知a(1，0，1），b(x，1,2），且ab3,则向量a与b的夹角为_解析：因为abx23，所以x1，所以b(1,1,2）所以cosa，b.所以a与b的夹角为。答案：3(2019盐城中学检测)已知平面内的三点a(0，0，1），b(0，1，0），c（1,0，0），平面的一个法向量n(1,1，1),则不重合的两个平面与的位置关系是_解析：设平面的法向量为m（x,y,z）,因为（0,1,1），(1，0，1)，则令x1，得m(1，1,1）因为mn，所以mn,所以。答案:4已知正三角形abc的中线af与中位线de

5、交于点g，将此三角形沿de翻折，当aebd时，二面角a。def的余弦值等于_解析：不妨设gdge1,则gagf，aebd2，由已知得agf即为二面角a.de。f的平面角,设其为。则()（)(）(2)（)（)2100cos 13cos 0，所以cos ，即当aebd时，二面角ade。f的余弦值等于.答案：5(2019南京调研）如图，在平行六面体abcd 。a1b1c1d1中，ab4，ad3，aa15，bad90,baa1daa160，则对角线ac1的长度等于_解析：2()222222216925243cos 90245cos 60235cos 6050201585，即。答案：6在空间直角坐标系中

6、，以点a（4,1，9)，b（10,1,6)，c（x，4,3)为顶点的abc是以bc为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_解析：由题意知0，|，又（6，2，3)，(x4,3，6),所以解得x2。答案：27已知pa垂直于正方形abcd所在的平面,m，n分别是cd，pc的中点，并且paad1。在如图所示的空间直角坐标系中，则mn_。解析：连结pd，因为m，n分别为cd，pc的中点，所以mnpd，又p(0，0,1),d（0,1，0)，所以pd，所以mn.答案：8已知向量（1,5，2)，(3,1,2)，(x，3,6)若de平面abc，则x的值是_解析：de平面abc，存在实数m，n，使得mn，即解得x

7、5.答案：59如图所示,在平行四边形abcd中，abac1，acd90，沿着它的对角线ac将acd折起,使ab与cd成60角，求此时b,d间的距离解：因为acd90,所以0。同理可得0.因为ab与cd成60角，所以60或，120，又，所以|2|22|22223211cos所以当，60时，24，此时b，d间的距离为2；当，120时，|22,此时b，d间的距离为。10如图,在多面体abc .a1b1c1中，四边形a1abb1是正方形，abac,bcab，b1c1綊bc，二面角a1 。ab .c是直二面角求证：（1）a1b1平面aa1c；(2）ab1平面a1c1c。证明：因为二面角a1 .ab 。c

8、是直二面角，四边形a1abb1为正方形，所以aa1平面abc.又因为abac,bcab，所以cab90，即caab，所以ab，ac，aa1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系a 。xyz,设ab2，则a（0，0,0),b1（0,2,2），a1(0，0,2)，c（2,0,0），c1(1,1，2)（1) （0，2,0）,（0,0,2），(2，0,0),设平面aa1c的一个法向量n(x，y，z）,则即即取y1，则n(0，1,0）所以2n，即n。所以a1b1平面aa1c。（2）易知（0，2,2），(1，1，0)，(2,0，2），设平面a1c1c的一个法向量m（x1,y1，z1），则即令x11，则y

9、11，z11,即m（1，1,1)所以m012（1）210，所以m.又ab1平面a1c1c，所以ab1平面a1c1c。三上台阶,自主选做志在冲刺名校1已知长方体abcd。a1b1c1d1中，ab3，bc2,cc15,e是棱cc1上不同于端点的点，且。当bea1为钝角时，则实数的取值范围为_解析：以d为原点，da，dc,dd1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则c(0，3,0）,c1（0，3,5),b(2,3,0)，a1(2,0,5）因为，所以e(0,3,5）从而(2,0，5）,（2，3，55）当bea1为钝角时,cosbea10，所以0,即225（55)0，解得.答案:

10、2（2019海门中学检测)如图，正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直，ab，af1,m在ef上，且am平面bde，则m点的坐标为_解析:由题意知cd，cb，ce两两垂直，所以以c为原点，以cd,cb，ce所在直线分别为x轴,y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设m点的坐标为(x，y，1），acbdo,连结oe，则o，又e(0,0，1），a（,0)，所以，(x，y，1）,因为am平面bde，am平面acef，平面bde平面acefoe,所以oeam，所以即所以m。答案：3如图，在三棱锥p。abc中,abac,d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上已知bc8,po4,ao3，od2。(1)证明：apbc；(2）若点m是线段ap上一点，且am3。试证明平面amc平面bmc。证明：(1）以o为坐标原点,以射线od为y轴正半轴,射线op为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系o.xyz.则o（0，0,0)，a（0，3,0)，b(4,2，0），c(4,2,0)，p（0，0，4）于是(0，