2020版高考数学一轮复习（五十六）数学归纳法理（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精课时跟踪检测(五十六） 数学归纳法一保高考，全练题型做到高考达标1用数学归纳法证明等式“123(n3）（nn） ”，当n1时，等式应为_答案：12342利用数学归纳法证明“(n1)(n2) （nn)2n13（2n1）,nn时，从“nk”变到“nk1”时,左边应增乘的因式是_解析:当nk(kn*)时，左式为(k1）(k2) (kk)；当nk1时,左式为(k11）(k12）(k1k1）（k1k）（k1k1），则左边应增乘的式子是2(2k1)答案：2（2k1)3(2018海门实验中学检测)数列an中，已知a11，当n2时,anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a

2、n的表达式是_解析：计算出a24,a39，a416。可猜想ann2.答案:ann24平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n）个区域,则f(n)的表达式为_解析：1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1（12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123）7个区域;；n条直线最多可将平面分成1（123n）1个区域答案：f（n）5用数学归纳法证明不等式1成立，起始值应取为n_。解析：不等式的左边2，当n8时，不等式不成立，故起始值应取n8。答案：86平面内n（nn）个圆中，每两个圆都相交,每三个圆都不交于一点,若该n个圆把平面分成f（n）个区域，则f（n)_.解析：因为f(1)2

3、,f(n)f（n1）2（n1），则f（2）f（1)21，f（3）f(2）22,f(4）f（3）23,，f（n)f（n1)2(n1），所以f（n）f(1）n（n1),即f(n)n2n2.答案:n2n27等比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn，点（n，sn）均在函数ybxr（b0且b1，b，r均为常数）的图象上（1）求r的值（2）当b2时，记bn2(log2an1)(nn),证明：对任意的nn，不等式成立解：（1）由题意，snbnr，当n2时，sn1bn1r。所以ansnsn1bn1（b1)由于b0且b1,所以当n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b（b1)，因为b，所以b，

4、解得r1。(2）证明：当b2时,由（1）知an2n1,因此bn2n(nn)，故所证不等式为。用数学归纳法证明如下：当n1时，左式，右式，左式右式,所以不等式成立假设nk（k1，kn*）时不等式成立，即，则当nk1时，,要证当nk1时结论成立，只需证，即证,由基本不等式，得，故成立，所以当nk1时,结论成立由可知，对任意的nn*，不等式成立8已知点pn(an，bn）满足an1anbn1，bn1（nn*),且点p1的坐标为 (1，1）(1)求过点p1,p2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明:对于nn，点pn都在（1)中的直线l上解：(1)由题意得a11，b11，b2,a21，所以p2。所以直

5、线l的方程为，即2xy1.（2)证明：当n1时，2a1b121（1）1成立假设nk(k1且kn）时,2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1（2ak1）1，所以当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nn,都有2anbn1,即点pn在直线l上9已知数列，当n2时，an1,又a10，aan11a，求证:当nn时，an1an。证明:（1)当n1时，因为a2是aa210的负根，所以a1a2。（2）假设当nk（kn*)时，ak1ak，因为aa(aak21）（aak11）(ak2ak1)（ak2ak11)，ak1ak0，所以aa0,又因为ak2ak111（1)11，所以ak2ak10,所以

6、ak2ak1，即当nk1时，命题成立由(1）(2)可知，当nn*时，an1an.10（2019南京模拟)把圆分成n(n3）个扇形,设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有f(n）种方法(1）写出f（3）,f(4）的值；(2)猜想f（n)（n3)，并用数学归纳法证明解:（1）当n3时，第一个有4种方法,第二个有3种方法，第3个有2种方法,可得f（3）24；当n4时，第一个有4种方法,第二个有3种方法，第三个与第一个相同有1种方法，第四个有3种方法,或第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个不相同有2种方法，第四个有2种方法，可得f(4)3

7、64884.（2)证明：当n4时,首先,对于第1个扇形a1，有4种不同的染法,由于第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同，所以,对于a2有3种不同的染法,类似地，对扇形a3,，an1均有3种染法对于扇形an，用与an1不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形a1颜色相同的情况，而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色方法数就是f（n1)，于是可得f(n）43n1f（n1)猜想f（n）3n（1)n3(n3)当n3时，左边f(3)24，右边33（1）3324，所以等式成立假设当nk(k3)时，f（k）3k(1)k3，则当nk1时,f(k1）43kf(k）43k3k(1）k33k1（1)k13，即

8、当nk1时，等式也成立综上，f（n)3n（1）n3（n3)二上台阶,自主选做志在冲刺名校1（2019无锡中学检测）将正整数排成如图所示的三角形数阵,记第n行的n个数之和为an。（1）设sna1a3a5a2n1（nn*)，计算s2，s3,s4的值，并猜想sn的表达式;(2)用数学归纳法证明(1）的猜想解：（1)s1a11，s2a1a3145616，s3s2a516111213141581，s4s3a781222328256,猜想snn4。（2）证明：当n1时，猜想成立假设当nk（kn*)时成立，即skk4，由题意可得,ann,a2k1(2k1)（2k22k1）4k36k24k1，sk1ska2k1k44k36k24k1（k1)4，即当nk1时猜想成立，由可知，猜想对任意nn*都成立2已知数列an满足：a11，an1anan(nn*）（1）计算a2,a3，a4的值，猜想数列an的通项公式，并给出证明;（2）当n2时，试比较与的大小关系解：（1)a24，a37，a410,猜想：an3n2。用数学归纳法证明：当n1时，a11,结论成立假设当nk(k1，kn*)时，结论成立，即ak3k2，当nk1时，ak1akakk(3k2)2k（3k2)k（9k212k4）k2kk3k1，所以当nk1时，结论也成立由得数列an的