2020版高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列教案理（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精第三节 等比数列1等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为q。（2)等比中项：如果a,g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即：g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2ab.2等比数列的有关公式（1）通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：sn3等比数列的常用性质（1)通项公式的推广：anamqnm(n,mn)；(2）若mnpq2k（m，n，p,q，kn*）,则amanapaqa；（3)若数列an，bn（项

2、数相同）是等比数列,则an，a，anbn,(0）仍然是等比数列；(4）在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk。小题体验1设sn是等比数列的前n项和,若a11，a632,则s3_。答案:72在等比数列an中，若a11,a3a54（a41)，则a7_.解析：法一：设等比数列an的公比为q,因为a11，a3a54（a41），所以q2q44（q31)，即q64q340，q32,所以a7q64.法二：设等比数列an的公比为q, 由a3a54（a41）得a4(a41),即a4a440，所以a42,因为a11，所以q32，a7q64.

3、答案:43（2018南京学情调研)已知各项均为正数的等比数列an，其前n项和为sn。若a2a578，s313，则数列an的通项公式an_。解析：设等比数列an的公比为q(q0)，则由题意得两式相除得q2q60，即q3或q2（舍去),从而得a11，所以数列an的通项公式为an 3n1。答案：3n11特别注意q1时,snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列,还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4sn，s2nsn，s3ns2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，sn，s2n

4、sn，s3ns2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时,sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列），但等式（s2nsn)2sn(s3ns2n）总成立小题纠偏1(2019扬州质检）在等比数列中，若a37，前3项和s321，则公比q_。解析：由已知得则3,整理得2q2q10，解得q1或q。答案：1或2各项均为正数的等比数列的前n项和为sn,若s102,s3014,则s40_.解析：依题意有s10，s20s10，s30s20，s40s30仍成等比数列，则2（14s20）(s202）2，解得s206.所以s10,s20s10,s30s20，s40s30,即为2,4，8，16，所以s40s301630

5、。答案：30典例引领1(2019苏北四市调研)在各项均为正数的等比数列中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_解析：设等比数列的公比为q，由a21，a8a62a4得q6q42q2，q4q220，解得q22,则a6a2q44.答案：42(2018南通一调）设等比数列an的前n项和为sn,若s23，s415，则s6_。解析：法一：设等比数列an的首项为a1，公比为q。显然q1,由题意得解得或所以s663或s663。法二：由s2，s4s2,s6s4成等比数列可得（s4s2）2s2(s6s4)，所以s663.答案:63由题悟法解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1,n，

6、q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a1和q,问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和snna1；当q1时，an的前n项和sn即时应用1(2019如东调研）设等比数列的前n项和为sn.若27a3a60，则_.解析：设等比数列的公比为q,则q327，所以111q328.答案：282（2018苏北四市期末)已知等比数列an的前n项和为sn，若s22a23,s32a33,则公比q_.解析:显然q1,由题意得整理得解得q2.答案:2典例引领(2019南京高三年级学情调研)已知数列an的各项均为正数,记数列an的前n项和

7、为sn，数列a的前n项和为tn，且3tns2sn，nn*.(1）求a1的值；(2）求证数列an为等比数列，并求其通项公式；（3）若k，tn*,且s1，sks1，stsk成等比数列，求k和t的值解:（1）由3t1s2s1，得3aa2a1，即aa10。因为a10，所以a11。 (2）证明：因为3tns2sn， 所以3tn1s2sn1， ，得3ass2an1。因为an10,所以3an1sn1sn2， 所以3an2sn2sn12， ，得3an23an1an2an1，即an22an1，所以当n2时，2.又由3t2s2s2，得3(1a）(1a2）22（1a2)，即a2a20.因为a20,所以a22,所以2

8、,所以对nn，都有2成立,故数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列an的通项公式为an2n1，nn*.(3）由(2）可知sn2n1。因为s1,sks1，stsk成等比数列，所以（sks1)2s1（stsk)，即(2k2)22t2k，所以2t(2k）232k4，即2t2（2k1）232k21(）由于sks10,所以k1，即k2。当k2时，2t8，得t3。当k3时,由（*）,得(2k1)232k21为奇数，所以t20,即t2，代入(）得22k232k20，即2k3，此时k无正整数解综上，k2,t3.由题悟法等比数列的4种常用判定方法定义法若q（q为非零常数,nn*)或q(q为非零常数且n

9、2，nn*),则an是等比数列中项公式法若数列an中,an0且aanan2（nn*），则数列an是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成ancqn1（c,q均是不为0的常数，nn*），则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则an是等比数列提醒(1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于填空题中的判定(2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可即时应用（2018苏州高三期中调研）已知数列an的前n项和是sn,且满足a11,sn13sn1 （nn)(1)求证：数列an为等比数列，并求其通项

10、公式;（2)在数列bn中，b13,bn1bn(nn*),若不等式anbnn2对nn有解,求实数的取值范围解：（1)证明：因为sn13sn1，所以sn3sn11(n2），两式相减得an13an(n2），又当n1时，由s23s11，得a23,符合a23a1,所以an13an，所以数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为an3n1.(2)因为bn1bn3，所以bn是以3为首项，3为公差的等差数列,所以bn33(n1）3n，所以anbnn2，即3n13nn2，即对nn有解，设f(n）(nn)，因为f(n1)f（n），所以当n4时，f(n1)f（n)，当n4时,f(n1）f(n)，所以f(1

11、)f（2）f(3)f（4)f(5）f(6),所以f（n）maxf（4)，所以,即实数的取值范围为。典例引领1(2018南京调研)已知各项不为0的等差数列an满足a6aa80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11_.解析：由等差数列的性质，得a6a82a7.由a6aa80，可得a72，所以b7a72。由等比数列的性质得b2b8b11b2b7b12b238。答案：82设等比数列的前n项积为tn(nn*),若am1am12am0，且t2m1128，则m_.解析：因为为等比数列，所以am1am1a.又am1am12am0，所以得am2.因为t2m1a,所以22m1128，解得m4。答案:4

12、3在等比数列an中，若a7a8a9a10，a8a9，则_.解析：因为，由等比数列的性质知a7a10a8a9，所以.答案：由题悟法掌握运用等比数列性质解题的2个技巧（1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质,便可减少运算量，提高解题的速度,要注意挖掘已知和隐含的条件（2）利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：若an是等比数列,且an0，则logaan（a0且a1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列若公比不为1的等比数列an的前n项和为sn，则sn,s2nsn,s3ns2n仍成等比数列，其公比

13、为qn。即时应用1（2019张家港调研）已知等比数列的各项均为正数，且满足a1a94，则数列log2an的前9项之和为_解析：a1a9a4,a52，log2a1log2a2log2a9log2(a1a2a9）log2a9log2a59.答案：92(2018镇江调研)在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612,an1anan1324，则n_.解析：设数列an的公比为q,由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93,an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36,所以3n636，即n14。答案:14一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019如东中学检测

14、)已知等比数列an的公比q，则_.解析：2.答案:22(2018盐城期中)在等比数列an中，已知a1a21,a3a42,则a9a10_.解析：设等比数列an的公比为q，则a3a4q2（a1a2),所以q22，所以a9a10q8（a1a2)16。答案：163(2018苏州期末）设各项均为正数的等比数列的前n项和为sn,已知a26,a33a112,则s5_。解析：a26，a33a112，且q0，解得a12，q3,s5242。答案：2424在等比数列an中，若a1a516，a48,则a6_.解析：由题意得，a2a4a1a516，所以a22，所以q24，所以a6a4q232。答案：325(2019南京

15、一模）若等比数列的前n项和为sn,且a11，s63s3，则a7的值为_解析：设等比数列的公比为q，因为a11，s63s3,当q1时，不满足s63s3；当q1时,可得,化简得q313，即q32,所以a7a1q64.答案：46(2018常州期末）已知等比数列an的各项均为正数,且a1a2，a3a4a5a640,则的值为_解析:两式相除可得q2q490,即q210（舍)或q29.又an0，所以q3，故a1，所以a7a8a93435361 053，即117。答案：117二保高考，全练题型做到高考达标1（2018徐州期末)设等比数列的公比为q，前n项和为sn，若s2是s3与s4的等差中项，则实数q的值为

16、_解析：s2是s3与s4的等差中项，2s2s3s4，2a3a40，解得q2.答案：22(2019如皋模拟）已知数列是正项等比数列,满足log2an11log2an(nn*),且a1a2a3a4a52，则log2（a51a52a53a54a55）_。解析:log2an11log2an,log21，可得q2.a1a2a3a4a52，log2(a51a52a53a54a55）log2(a1a2a3a4a5）q50log225151.答案：513设等比数列的公比为q（0q1），前n项和为sn.若存在mn，使得amam2am1，且sm1 022am1，则m的值为_解析：amam2am1，sm1 022a

17、m1，解得m9，q。答案：94（2018启东检测）数列an满足an1an1(nn，r且0),若数列an1是等比数列,则_.解析：由an1an1,得an11an2.因为数列an1是等比数列，所以1，得2.答案：25(2019姜堰模拟）已知等比数列an的前n项和为sn,且，则_.解析:设等比数列an的公比为q,由,得q1,，化简得，解得q。所以q2。答案:6（2018海安中学测试）在各项均为正数的等比数列an中，若am1am12am(m2)，数列an的前n项积为tn，若t2m1512,则m_。解析：由等比数列的性质可知am1am1a2am(m2），所以am2,即数列an为常数列，an2，所以t2m

18、122m151229，即2m19，所以m5。答案：57已知数列an中,a12,且4（an1an)(nn*),则其前9项和s9_.解析：由已知，得a4anan14a，即a4anan14a(an12an）20，所以an12an，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列,故s921021 022。答案：1 0228(2019徐州调研）已知正项等比数列的前n项和为sn且s82s46，则a9a10a11a12的最小值为_解析:因为s82s46，所以s8s4s46。由等比数列的性质可得，s4,s8s4，s12s8成等比数列，所以s4（s12s8）（s8s4)2，所以a9a10a11a12s12s8s41

19、224,当且仅当s46时等号成立故a9a10a11a12的最小值为24.答案：249在公差不为零的等差数列an中，a11，a2，a4，a8成等比数列(1）求数列an的通项公式;(2）设bn2an,tnb1b2bn,求tn.解：（1）设等差数列an的公差为d，则依题意有解得d1或d0(舍去），所以an1(n1)n.(2）由（1）得ann，所以bn2n，所以2，所以bn是首项为2，公比为2的等比数列,所以tn2n12.10(2018苏州高三期中调研）已知数列an各项均为正数，a11,a22,且anan3an1an2对任意nn恒成立，记an的前n项和为sn。（1)若a33，求a5的值；(2)证明：对

20、任意正实数p，a2npa2n1成等比数列;(3）是否存在正实数t，使得数列snt为等比数列若存在，求出此时an和sn的表达式；若不存在，说明理由解：(1）因为a1a4a2a3,所以a46,又因为a2a5a3a4，所以a5a49.（2)证明：由两式相乘得anan1an3an4an1aan3,因为an0，所以anan4a（nn*),从而an的奇数项和偶数项均构成等比数列，设公比分别为q1，q2，则a2na2q2q，a2n1a1qq，又因为,所以2，即q1q2，设q1q2q，则a2npa2n1q（a2n2pa2n3)，且a2npa2n10恒成立，所以数列a2npa2n1是首项为2p，公比为q的等比数

21、列（3)法一：在(2）中令p1，则数列a2na2n1是首项为3，公比为q的等比数列，所以s2k（a2ka2k1)(a2k2a2k3）（a2a1)s2k1s2ka2k且s11,s23，s33q，s433q，因为数列snt为等比数列，所以即即解得或（舍去）所以s2k4k122k1，s2k122k11，从而对任意nn*有sn2n1,此时snt2n，2为常数,满足snt成等比数列，当n2时，ansnsn12n2n12n1，又a11,所以an2n1(nn),综上，存在t1使数列snt为等比数列，此时an2n1，sn2n1（nn*)法二：由(2)知a2n2qn1,a2n1qn1，且s11,s23，s33q，s433q，因为数列snt为等比数列,所以即即解得或（舍去）所以a2n2qn122n1，a2n122n2，从而对任意nn*有an2n1，所以sn2021222n12n1，此时snt2n，2为常数，满足snt成等比数列，综上，存在t1使数列snt为等比数列，此时an2n1，sn2n1(nn）。 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1各项均为正数的等比数列an中，若a11，a22，a33，则a4的取值范围是_解析:设an的公比为q，则根据题意得q，q2，a4a3q，a4a2q28，a4。答案：2（2018泰州中学高三学情调研）设正项等比数列an满