2020版高考数学一轮复习（三十九）空间几何体的结构特征及表面积与体积（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精课时跟踪检测(三十九）空间几何体的结构特征及表面积与体积一、题点全面练1下列说法中正确的是（)a有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱b侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥c侧面都是矩形的四棱柱是长方体d底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析：选d认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故a，c都不够准确,b中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确2下列说法中正确的是（)a各个面都是三角形的几何体是三棱锥b以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥c棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该

2、棱锥可能是六棱锥d圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线解析：选d当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故a错误;若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线,所得几何体就不是圆锥,故b错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故c错误选d.3若圆锥的侧面展开图是圆心角为,半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比为()a32b21c43 d53解析：选c底面半径rll，故圆锥的s侧l2，s表l22l2，所以表面积与侧面积的比为43。

3、4已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2,则该球的表面积为（)a. b16c9 d。解析：选a如图，设球心为o,半径为r，则在rtaof中,（4r）2(）2r2，解得r，所以该球的表面积为4r242。5下列说法中正确的是_(填序号）底面是矩形的四棱柱是长方体；直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥;四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形解析：命题不是真命题，若侧棱不垂直于底面,这时四棱柱是斜四棱柱;命题不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥,如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥;命题是真命题，如图所示，

4、在四棱锥p。abcd中,底面abcd是矩形，pa平面abcd,则可以得到四个侧面都是直角三角形答案：6。如图，abo是利用斜二测画法画出的abo的直观图，已知aby轴，ob4，且abo的面积为16，过a作acx轴,则ac的长为_解析：因为aby轴，所以abo中，abob。又因为abo的面积为16，所以abob16。因为obob4,所以ab8，所以ab4。因为acob于c，所以ac4sin 452。答案：27一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为_cm。解析：如图，过点a作acob，交ob于点c.在rtabc中，ac12（cm），

5、bc835 （cm)ab13(cm)答案:138.如图，在正三棱柱abc。a1b1c1中，ab4，aa16.若e,f分别是棱bb1，cc1上的点,则三棱锥aa1ef的体积是_解析：因为在正三棱柱abca1b1c1中，aa1bb1，aa1平面aa1c1c，bb1平面aa1c1c，所以bb1平面aa1c1c，从而点e到平面aa1c1c的距离就是点b到平面aa1c1c的距离，作bhac,垂足为点h，由于abc是正三角形且边长为4，所以bh2，从而三棱锥a。a1ef的体积va.a1efve.a1afsa1afbh6428.答案:89已知球的半径为r,在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时

6、，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为s,则2r2r2，即h2.因为s2rh4r442r2,当且仅当r2r2r2，即rr时，取等号，即当内接圆柱底面半径为r，高为r时，其侧面积的值最大，最大值为2r2.10。如图是一个以a1b1c1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为abc，已知a1b1b1c12,a1b1c190,aa14，bb13，cc12，求：（1）该几何体的体积；(2)截面abc的面积解:(1)过c作平行于a1b1c1的截面a2b2c，交aa1,bb1分别于点a2,b2.由直三棱柱性质及a1b1c190可知b2c平

7、面abb2a2，则该几何体的体积vva1b1c1.a2b2cvc。abb2a2222(12)226。(2）在abc中，ab，bc，ac2.则sabc2.二、专项培优练(一）易错专练不丢怨枉分1三棱柱abc。a1b1c1的底面是边长为的正三角形，侧棱aa1底面abc，若球o与三棱柱abc.a1b1c1各侧面、底面均相切，则侧棱aa1的长为（)a。 b.c1 d。解析:选c因为球o与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱aa1的长等于球的直径设球的半径为r，则球心在底面上的射影是底面正三角形abc的中心，如图所示因为ac,所以adac。因为tan ,所以球的半径rmdadtan，所以aa12r21。

8、2（2018洛阳联考）已知球o与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球o的体积为()a。 b.c. d。解析：选a将正四面体补成正方体,则正四面体的棱为正方体面上的对角线,因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2。因为球o与正四面体的各棱都相切，所以球o为正方体的内切球，即球o的直径为正方体的棱长2，则球o的体积vr3.3。如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点p处若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于_ m.解析:把圆锥侧面沿过点p的母线展开，其图象为如图所示的扇形，由题意op4,pp4，则cospo

9、p，所以pop。设底面圆的半径为r，则2r4,所以r.答案:（二)交汇专练-融会巧迁移4与数学文化交汇鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为_（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）解析：该球形容器最小时，两个正四棱柱组成的四棱柱与球内接,此时球的直径2r等于四棱柱的体对角线，即2r,故球形容器的表面积为4r230。答案：305与线面角交汇（2018全国卷）已知圆锥的顶点为s

10、,母线sa，sb所成角的余弦值为，sa与圆锥底面所成角为45,若sab的面积为5，则该圆锥的侧面积为_解析:如图，sa与底面成45角,sao为等腰直角三角形设oar,则sor，sasbr.在sab中，cos asb,sin asb,ssabsasbsin asb（r)25，解得r2,sar4,即母线长l4，s圆锥侧rl2440。答案：406与折叠问题交汇在边长为4的正方形abcd内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分所示），将剩下的部分折叠成底面边长为的正四棱锥s。efgh(如图2所示）,则正四棱锥sefgh的体积为_解析:设图1中bef的高为h1，则bd2h1，在四棱锥s.efgh中，

11、斜高为h1,设四棱锥s。efgh的高为h2,由bd42h1，h1，h2 2，vs。efghs四边形efghh222.答案:7与函数交汇有一矩形abcd硬纸板材料（厚度忽略不计）,边ab的长为6分米，其邻边足够长现从中截取矩形efhg(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，剩下的部分恰好能折成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）,其中oemf是以o为圆心、eof120为圆心角的扇形，且弧，分别与边bc,ad相切于点m，n.（1)当be的长为1分米时，求折成的包装盒的容积;(2)当be的长是多少分米时，折成的包装盒的容积最大？解：(1）在题图甲中，连接mo交ef于点t.设oeofomr分米，在rtoet中,因为eoteof60，所以ot，则mtomot.从而bemt，即r2be2。故所得柱体的底面积ss扇形oefsoefr2r2sin 120平方分米又柱体的高eg4分米,所以vseg立方分米故当be长为1分米时，折成的包装盒的容积为立方分米(2)设bex分米,则r2x分米，所以所得柱体的底面积ss扇形oefsoefr2r2sin 1