数列典范题目整编答案解析

1、数列经典题目集锦、构造法证明等差、等比 类型一：按已有目标构造1、 数列a n，bn，c n满足：bn = an 2an + 1 , Cn = an + 1 + 2an +2 2 , n N*.(1) 若数列an是等差数列，求证：数列bn是等差数列；(2) 若数列bn, Cn都是等差数列，求证：数列an从第二项起为等差数列；(3) 若数列bn是等差数列，试判断当 b1 + a3 = 0时， 数列an是否成等差数列？证明你的结论.类型二：整体构造2、 设各项均为正数的数列 an的前n项和为Sn,已知a1= 1，且(Sn +1 + X)an= (Sn + 1)an+1对一切n N 都成立.(1)

2、若A= 1，求数列an的通项公式；(2) 求泊勺值，使数列an是等差数列.二、两次作差法证明等差数列3、 设数列an的前n项和为Sn，已知a1 1, a2 6, a3 11 ,且(5n 8)Sn 1 (5n 2)SnAn B,n N*,(其中 A,B 为常数).(1)求A与B的值；(2)求数列an为通项公式；三、数列的单调性4.已知常数0 ,设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足：ai1 ,Sn1葩 Sn3n1an 1( n N* )an(1 )若0，求数列 an的通项公式；1（2 ）若an 1丄外对一切n N*恒成立，求实数的取值范围.248.这三项经适当排序3 2n 1 4n 6

3、,5设数列an是各项均为正数的等比数列，其前 n项和为Sn,若a5 64，S5 S3（1）求数列an的通项公式；（2）对于正整数 k,m,l （ k m l），求证：“ m k 1且 I k 3 ”是“ 5ak,am,ai 后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列bn满足：对任意的正整数n，都有abazbn1asbn2川anb且集合Mn|bn,n N 中有且仅有3个兀素，求的取值范围an四、隔项（分段）数列问题6.已知数列an中，a1 = 1 , an+1 =_an + n3（n为奇数）an 3n (n为偶数)（1）是否存在实数 入使数列a2n 片是等比数列？若存在,求出泊勺值；若不存在

4、，请说明理由;若Sn是数列an的前n项的和，求满足Sn 0的所有正整数n.“隔项等差”数列.7.若bn满足：对于n N，都有bn 2 bn d （d为常数），则称数列bn是公差为d的（I）若G 3,0 17 , Cn是公差为8的“隔项等差”数列，求Cn的前15项之和;（H）设数列 an满足：a a，对于n N，都有a. a. 1 2n .求证：数列 an为“隔项等差”数列，并求其通项公式;设数列an的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得S2k、S?k 1、S?k 2成等比数列(k N*)? 若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.五、数阵问题8.已知等差数列an、等比数列bn满足a

5、i + a2 = a3, bib2 = b3，且a3, a2 + bi, ai + b2成等差数列，ai, a2, b2成等比数列.(1) 求数列an和数列bn的通项公式；(2) 按如下方法从数列an和数列bn中取项：第1次从数列an中取ai,第2次从数列bn中取bi, b2,第3次从数列an中取a2, a3, a4,第4次从数列bn中取b3, b4 , b5 , b6 ,第2n i次从数列an中继续依次取2n i个项,第2n次从数列bn中继续依次取2n个项，由此构造数歹U6:ai, bi , b2 ,a2 ,a3 ,a4 , b3 , b4 , b5 , b6 ,a5,a6 ,a7 , a8

6、 ,a9 ,b7 , b8 , b9 ,b i0 ,bii , bi2 ,，记数列Cn的前n项和为Sn.求满足Sn2)是公差为一d 的等差数列.(14分)bn = an 2an+1,令 n = 1, a1 2a2 = a3, 即卩 a1 2a2 + a3 = 0 ,数列an是公差为一d 的等差数列.(16分)(证法 2) - bn = an 2an +1, b 1 + a3 = 0,令 n = 1 , a1 2a2= a3,即卩 a1 2a2 + a3= 0, (12 分)-bn+1 an+ 1 2an+2 , bn + 2an+2 2an+ 3,-2bn +1 bn bn+ 2 = (2an

7、 + 1 an an + 2) 一 2(2 an + 2一 an + 1 an + 3).T 数列bn是等差数列，2bn +1 b n b n + 2 = 0 ,-2an +1 an an + 2 = 2(2 an+ 2一 an +1 an + 3). (14 分)a 1 2a2 + a3 = 0， 2an+1 an an+2 = 0,数列an是等差数列.(16分)2.解析：(1)若入=1，则(Sn +1 + 1)an = (Sn + 1)an+1 , a1 = S1 = 1.Sn + 1 + 1a n+ 1 an 0 , Sn 0 , =, (2 分)Sn 十 IanS2 + 1 S3 +

8、1Sn+ 1 + 1 a2 a3an+ 1S1+ 1 S2 + 1 Sn + 1a 1 a2an 化简，得 Sn + 1 + 1 = 2an + 1.(4 分) 当 n2 时，Sn + 1 = 2an.an +1一，得 an+1 = 2an, = 2(n2). (6 分)an/当n= 1时，a2 = 2 , n = 1时上式也成立，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an = 2n- 1(n N*). (8分)(2)令 n = 1，得 a2 =入 +1.令 n = 2，得 a3=(入 + 1)2.(10 分)要使数列an是等差数列，必须有 2a2 = a1 + a3,解得X= 0.(11分

9、)当入=0 时，Sn+ 1an = (Sn + 1)an + 1，且 a2 = a1 = 1.当 Fl 2 时，Sn + 1 (Sn 一 Sn- 1) = (Sn + 1)( Sn +1 一 Sn),Sn + 1Sn + 1整理，得 Sn + Sn = Sn +1 Sn -1 + Sn+ 1 ,=, (13 分)Sn 1 + 1SnS2 + 1 S3 + 1 Sn + 1S3 S4Sn + 1从而 = ,S1+ 1 S2 + 1Sn 1+ 1S2 S3Sn 化简，得 Sn + 1 = Sn + 1 , an + 1 = 1.(15 分)综上所述，an = 1(n N ),入=0时，数列an是等

10、差数列.(16分)3.解析：(1)由 a11, a26, a311，得 S11, S27, S318 .把n 1,2分别代入（5n 8）Sn 1(5n2)SnAnB,A B 28得，解得，A 20,B8 .2A B 48(2)由知，5n (Sn1 Sn) 8Sn12Sn20n8即 5nan 1 8Sn 1 2Sn20n8,又 5(n 1)an 2 8Sn 2 2Sn 120( n1) 8-得，5(n1)an 2 5nan 18an 22an 120,即(5n 3)an 2(5n 2)an 120 .又(5n2)an 3(5n7)an 220.-得，(5n2)(an 3 2a. 2 an 1)0

11、,0 ,5n 2A0 ,- an 3 2an 2 an 1又 a3a25，所以 a3 2a2 at因此，数列an是首项为1，公差为5的等差数列.故an15(n1) 5n 4.4.解析：（1）0 时,Sn 1an 1anSnan 1SnSnn-Snan an 1an， 5 1an 1 (an3a1Sn得1an3n323n323n1 3Sn相加,则Sn- Sn则邑a2aa113n- an1 an一, anan.Sn1an 1Snan3n 1S3as32anan3n 1an 13n 1n2anS2a2321,Sn，0；& 1an3n 1 1 n 2ll|3n该式对3n 321也成立,an3n 32a

12、n11an对一切n2N*恒成立,3n1(3n123 n）对一切nN*恒成立.对一切n3n 3N*恒成立.记bn昇，则 bn bn 1 3n33332n 23n 1 34n 2 3n 63n 33n11 时，bn bn 10 ；n 2时,bnbn 1 b|b21是bn中的最大项.3综上所述，的取值范围是2a364a5.解析：（1）:数列 n是各项均为正数的等比数列，2 又-S5 & 48 ,a4 a5 8q 8q5ak, am, al这三项经适当排序后能构成等差数列， ai，则 10 2k 2m 21 ,10 2m km k 148,ana38n 38 22n (2) (i)必要性:若2 5ak

13、?m k 12l k 1am21 k,1 21 k 1, 若2am 若2ai综合，（ii）充分性：5a k5ak得 m kai ,am ,则 2 2m 5 2k 212m 1 k 21 k同理也不成立，1,l k 3，所以必要性成立.1, l k 3,5，左边为偶数,等式不成立,10分因为 a1bna2bn 1a3bn 2IIan bi3 2n 14n 6即 21bn22bn 123bn 2II2nbi3 2n 14n 6 ,(*)1当n 2时，2bn1 22bn223bn3 Hl1.- j2 b13 24n2 , (*)则（*）式两边冋乘以2,得 2 bn 123bn 224bn3III2n

14、b13 2n 1(*) _ ( * )得2bn4r2即 bn 2n 1(n2),又当n 1时，203 22102，即 01,适合bn2n1(n2),bn 2n 114分bn 2n 1bnbn12n 12n 35 2nan2n ，anan12n2n12n(3)bn 1则 5ak,am,ai 这三项为 5ak,ak 1,ak 3，即 5ak,2ak,8ak,调整顺序后易知2ak,5ak,8ak成等差数列，所以充分性也成立 综合（i）（i），原命题成立.8n 4 , ( *)2时,bnanan 10，即a2b. ai ；3 时，-an an 10，此时单调递减, anbi又a1712，a212 .b

15、2鸟 5a38，7_16，16分6.解析：(1)设 bn= a2n 入，b n+ 1因为肓1a2n +1 +( 2n + 1)入 a2n + 2 入 3a2n 一入a2n 一入1(a2n 6n ) + ( 2n + 1)入3a2n 一入1_a2n + 1 入3.(2 分)a2n 一入1a2n + 1 入若数列a2n 心是等比数列，则必须有3=q(常数),a2n 一入1即 3 q a2n+ (q 1)入 + 1 = 0,即313q=0(q 1 )入 +1 = 03(5分)3131此时b1=a2-厂孑1 +1-2 =-6勿，所以存在实数3& ，使数列a2n心是等比数列.(6分)(注：利用前几项，求

16、出曲勺值，并证明不扣分)1由(1)得bn是以一为首项，613为公比的等比数列，311 n -1 11 n11n 3故 bn = a2n 一=_ _ ,即 a2n =+ 一.(8 分)263=2323211 1 n-115由 a2n = a2n 1 + (2n 1)，得 a2n 1 = 3a2n 3(2 n 1) = 6n +, (10 分)32 3211 n -11 n1 n所以 a2n 1 + a2n =一 +6n + 9 = 2 6n + 9,233311 2 1 nS2n = (a1 + a2) + (a3+ a4)+ (a2n 1+ a2n)= 2+ 3 + 6(1 + 2 + + n

17、)+ 9n3331 1 n_1 一 _ 33 n (n + 1)1 n1 n=2 6 + 9n =一 一 1 3n2 + 6n =一 一3(n 1)2+ 2 , (12 分)12331 -3显然当n N*时，S2n单调递减.7又当 n= 1 时，S2 = - 0,38当 n = 2 时，S4=- -v 0,所以当 n 2 时，S2n0.综上，满足Sn 0的所有正整数n为1和2.(16分)4n7.解析：（I）易得数列Cn4n1,当n为奇数时；9,当n为偶数时.前15项之和2(17 65)7535(n) anan 12n ( n)(1 ),an 1an 22(n 1) (2)(1)(2 )得 an

18、 2an2 ( n N ).所以,an为公差为当n为偶数时，an当n为奇数时，an2的“隔项等差”数列.n 12an6分2(n1)2(n 1)当n为偶数时,Sn当n为奇数时，Sn故当n2k时,S2k由S2k2S2kS2k所以存在实数a2k2,n n2 22n 1 n211 2n21 n12 2212分S2k 1 2k2 2k22，则(2k 2k使得 Szk、S?k 1、S2k 22(k 1)2 ,2 2 2a) 2k 2(k 1)，解得 a 0.S2k 2成等比数列（k N ）16分8.解析：（1）设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,ai +( ai + d)= ai + 2d ,依题意，得bi (biq) = biq2,解得 ai = d = i , bi = q = 2. (ai + 2d ) + ( ai + biq) = 2 (ai + d ) + bi,(ai + d ) 2 = ai (biq ),故 an= n,bn = 2n.(6 分)将ai,bi,b2记为第 i 组，a2, a3, a4, b3, b4, b5, b6 记为第 2 组，a5, a6, a7, a8, a9, b7,b8, b9, bio,bii ,bi2记为第3组，以此类推，则第 n组中，有2n i项选取