2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第八节解三角形的综合应用教案理（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精第八节 解三角形的综合应用1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角（如图(a）2方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如b点的方位角为。(如图(b)）3方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南)偏东（西)度小题体验1如图，设a,b两点在河的两岸，一测量者在a的同侧，选定一点c，测出ac的距离为50 m,acb45，cab105,则a，b两点的距离为_ m.答案:502海面上有a,b，c三个灯塔，ab10 n mile，从a望c和b成60

2、视角，从b望c和a成75视角，则bc_ n mile.答案:5易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角小题纠偏1在某次测量中，在a处测得同一半平面方向的b点的仰角是60，c点的俯角是70，则bac_。答案：1302若点a在点c的北偏东30,点b在点c的南偏东60，且acbc，则点a在点b的_方向上解析：如图所示，acb90，又acbc，所以cba45，而30,所以90453015.所以点a在点b的北偏西15。答案:北偏西15典例引领（2019昆山模拟)如图，为了测量河对岸的塔高ab，选与塔底b在同一水平面内的两

3、个测量点c和d，现测得acb45,adb30，bcd60,cd20 m，则塔高ab_m.解析：设塔高abh,在rtabc中，acb45，bcabh，在rtabd中，adb30，bdh，在bcd中，bcd60，cd20,由余弦定理，得bd2cd2bc22cdbccos 60，即3h2400h220h,解得h10.答案：10由题悟法求解高度问题应注意的3个问题(1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）、方向(位)角（它是在水平面上所成的角)是关键（2）在实际问题中,可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形,一个平面图形，这样处理起来既

4、清楚又不容易搞错（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题即时应用为了测量某新建的信号发射塔ab的高度，先取与发射塔底部b在同一水平面内的两个观测点c，d，测得bdc60，bcd75，cd40 m,并在点c的正上方e处观测发射塔顶部a的仰角为30，且ce1 m,则发射塔高ab_m。解析:如图，过点e作efab，垂足为f，则efbc，bfce1，aef30。在bcd中，由正弦定理得，bc20。所以ef20,在rtafe中，afeftanaef2020，所以abafbf（201)m。答案：201锁定考向研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题

5、转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达 题点全练角度一:两点都不可到达1（2019苏州调研)要测量河对岸两个建筑物a，b之间的距离，选取相距 km的c，d两点，并测得acb75，bcd45，adc30，adb45，则a，b之间的距离为_km。解析：在acd中，acdacbbcd120，adc30,cad30，accd.在bcd中，bdcadbadc75，bcd45，cbd60,由正弦定理，,解得bc。在abc中，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccosacb325，ab。答案

6、:角度二：两点不相通的距离2如图所示,要测量一水塘两侧a，b两点间的距离，其方法先选定适当的位置c,用经纬仪测出角，再分别测出ac，bc的长b,a，则可求出a,b两点间的距离即ab。若测得ca400 m，cb600 m，acb60，则a,b两点的距离为_m.解析:在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccosacb，所以ab2400260022400600cos 60280 000.所以ab200 （m)即a，b两点间的距离为200 m.答案:200 角度三：两点间可视但有一点不可到达3如图所示，a，b两点在一条河的两岸，测量者在a的同侧，且b点不可到达，要测出a，b的距离，其方法

7、在a所在的岸边选定一点c，可以测出a，c的距离m，再借助仪器,测出acb，cab，在abc中，运用正弦定理就可以求出ab。若测出ac60 m，bac75，bca45，则a，b两点间的距离为_m.解析：abc180754560，所以由正弦定理得,所以ab20(m)即a，b两点间的距离为20 m。答案：20通法在握求距离问题的2个注意事项（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用，就选择更便于计算的定理演练冲关1（2019如东中学测试)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角

8、为120的扇形aob，c是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于ao的小路cd.已知某人从o沿od走到d用了2分钟，从d沿dc走到c用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50 m,则该扇形的半径为_m.解析:连结oc（图略)，在ocd中,od100，cd150，cdo60。由余弦定理得oc2100215022100150cos 6017 500，解得oc50。答案：502(2018常州调研）一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔m在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达b处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_ km。解析:如图所示，依题意有ab15460，d

9、ac60，cbm15，所以mab30，amb45。在amb中,由正弦定理,得，解得bm30。答案：30典例引领在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在c处追上蓝方的小艇，则ac14x,bc10x,abc120.根据余弦定理得(14x）2122(10x)2240xcos 120，解得x2。故ac28，bc

10、20.根据正弦定理得，解得sin 。所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角的正弦值为。由题悟法解决测量角度问题的3个注意事项（1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义（2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点即时应用如图，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线cb前往b处救援,求cos 的值解：在abc

11、中,ab40，ac20,bac120,由余弦定理得,bc2ab2ac22abaccos 1202 800，解得bc20.由正弦定理，得sinacbsinbac。由bac 120,知acb为锐角，则cosacb.由acb30，得cos cos(acb30）cos acb cos 30sinacbsin 30。一抓基础，多练小题做到眼疾手快1如图，两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等，灯塔a在观察站南偏西40，灯塔b在观察站南偏东60,则灯塔a在灯塔b的_方向上解析:由条件及图可知,ab40，又bcd60，所以cbd30,所以 dba10，因此灯塔a在灯塔b南偏西80.答案：南偏西802(201

12、9扬州调研）如图，勘探队员朝一座山行进,在前后a，b两处观察山顶c的仰角分别是30和45，两个观察点a，b之间的距离是100 m，则此山cd的高度为_m。解析：设山高cd为x，在rtbcd中有:bdcdx，在rtacd中有：ac2x，adx.而abadbd(1）x100.解得x50(1）答案：50（1) 3。（2019南通模拟）2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛a出发，沿南偏东70的方向航行40海里后到达海岛b,然后再从海岛b出发，沿北偏东35的方向航行40 海里后到达海岛c.如果巡逻舰直接从海岛a出发到海岛c，则航行的路程为_海里解析：根据

13、题意画出图形，如图所示在abc中,abc7035105，ab40，bc40。根据余弦定理，得ac2ab2bc22abbccosabc402(40)224040400(84)400(）2,ac20(）故所求航行的路程为20(）海里答案：20(）4已知a船在灯塔c北偏东80处，且a到c的距离为2 km,b船在灯塔c北偏西40，a，b两船的距离为3 km，则b到c的距离为_ km。解析：由条件知，acb8040120，设bcx km则由余弦定理知9x244xcos 120，因为x0，所以x1。答案:15。某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点a处测得电视塔s在电动车的北偏东3

14、0方向上，15 min后到点b处，测得电视塔s在电动车的北偏东75方向上，则点b与电视塔的距离是_km。解析：如题图，由题意知ab246，在abs中，bas30，ab6,abs18075105，所以asb45，由正弦定理知，所以bs3(km)答案：36（2018天一中学检测）线段ab外有一点c，abc60,ab200 km，汽车以80 km/h的速度由a向b行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由b向c行驶，则运动开始_h后，两车的距离最小解析:如图所示，设过x h后两车距离为y，则bd20080x，be50x,所以y2（20080x)2（50x)22(20080x）50xcos 60整理得y

15、212 900x242 000x40 000（0x2。5)，所以当x时y2最小答案：二保高考，全练题型做到高考达标1一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么b，c两点间的距离是_海里解析:如图所示，易知，在abc中,ab20海里，cab30，acb45,根据正弦定理得，解得bc10（海里）答案：102如图，一条河的两岸平行,河的宽度d0。6 km，一艘客船从码头a出发匀速驶往河对岸的码头b。已知ab1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头a驶

16、到码头b所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为_km/h.解析：设ab与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ,从而cos ,所以由余弦定理得2212221，解得v6。答案：63（2018启东二模)如图所示，为了测量a，b两处岛屿的距离,小明在d处观测，a，b分别在d处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至c处，观测b在c处的正北方向,a在c处的北偏西60方向，则a，b两处岛屿的距离为_海里解析：由题意可知cd40,adb60，acb60，bcd90，acd30，adc105，cad45.在acd中，由正弦定理，得，ad20，在rt

17、bcd中,bdc45,bdcd40。在abd中，由余弦定理,得ab 20。故a，b两处岛屿的距离为20海里答案：204一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.解析：设水柱高度是h m，水柱底端为c，则在abc中，a60,ach，ab100，bch，根据余弦定理得，（h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即（h50)（h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m。答案:505（2018镇江模

18、拟）在不等边三角形abc中,角a，b，c所对的边分别为a，b,c，其中a为最大边，如果sin2（bc）sin2bsin2c，则角a的取值范围为_解析：由题意得sin2asin2bsin2c，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20。则cos a0，因为0a，所以0a。又a为最大边，所以a。因此角a的取值范围是.答案：6. （2019通州中学高三测试)甲船在湖中b岛的正南a处,ab3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自b岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15 min时，两船间的距离是_km。解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min时，甲船到达

19、m点，乙船到达n点，由题意知am82（km)，bn123（km）,mbabam321（km)，由余弦定理得mn2mb2bn22mbbncos 1201921313，所以mn（km）答案：7(2018南京模拟）校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为50 s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗解析:依题意可知aec45，ace1806015105，所以eac1804510530。由正弦定理可知，所以acsincea

20、20 m。所以在rtabc中，abacsinacb2030 m。因为国歌时长为50 s，所以升旗速度为0.6 m/s.答案：0。68如图所示，在坡度一定的山坡a处测得山顶上一建筑物cd的顶端c对于山坡的斜度为15,沿山坡向山顶前进100 m到达b处，又测得c对于山坡的斜度为45,若cd50 m，山坡的坡角为，则cos _.解析：在abc中，由正弦定理可知bc50()（m)在bcd中,由正弦定理可知sinbdc1。由题图知cos sinadesinbdc1.答案：19(2018镇江期末)如图，某公园有三条观光大道ab,bc,ac围成直角三角形，其中直角边bc200 m，斜边ab400 m现有甲、

21、乙、丙三位小朋友分别在ab,bc，ac大道上嬉戏,所在位置分别记为点d，e,f。（1）若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点b出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2） 设cef，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且def,请将甲、乙之间的距离y表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离解：（1）依题意得bd300，be100.在abc中，cos b，所以b.在bde中，由余弦定理得de2bd2be22bdbecos b30021002230010070 000，所以de100.答：甲、乙两人之间的距离为100 m.

22、(2)由题意得ef2de2y,bdecef.在rtcef中，ceefcoscef2ycos .在bde中，由正弦定理得，即,所以y,0，所以当时,y有最小值50.答：甲、乙之间的最小距离为50 m.10（2019淮安模拟）如图，某军舰艇位于岛a的正西方c处，且与岛a相距12海里经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛a出发沿北偏东30方向逃窜,同时，该军舰艇从c处出发沿北偏东90的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在b处追上(1)求该军舰艇的速度；(2）求sin 的值解：（1)依题意知，cab120,ab10220，ac12，acb，在abc中,由余弦定理，得bc2ab2ac22a

23、baccoscab20212222012cos 120784，解得bc28，所以该军舰艇的速度为14海里/小时（2）在abc中,由正弦定理,得，即sin .三上台阶,自主选做志在冲刺名校1如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15,经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m（取1.4，1。7)解析：如图,作cd垂直于ab的延长线于点d，由题意知a15，dbc45，所以acb30，ab5042021 000(m）又在abc中，所以bcsin 1510 500(）因为cdad，所以cdb

24、csindbc10 500（)10 500(1)7 350。故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)答案：2 6502（2019南京调研）某市有一中心公园，平面图如图所示,公园的两条观光路为l1,l2，公园管理中心位于点o正南方2 km l1上的a处,现计划在l2即点o北偏东45方向，观光路l2路旁b处修建一公园服务中心（1）若为方便管理，使ab两点之间的直线距离不大于2 km，求ob长度的取值范围；(2)为了方便市民活动，拟在l1,l2上分别选点m，n，修建一条小路mn。因环境需要,以o为圆心， km为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定m,n的位置，使

25、m,n之间的距离最短解:（1)在abo中，oa2，obx，aob135，根据余弦定理得，ab2oa2ob22oaobcos 135，22x22x2(2）2，即x22x160，解得4x2，x0，0x2，故ob长度的取值范围为0，2 （2）依题意得,直线mn必与圆o相切设切点为c，连结oc，则ocmn。设oma,onb，mnc,在omn中,mnocomonsin 135,cab,即cab,由余弦定理得，c2a2b22abcos 135a2b2ab（2）ab（2)c，解得c2，当且仅当ab时，c取得最小值2。m，n与点o的距离均为 km时，m，n之间的距离最短,最短距离为(2）km.命题点一简单的三

26、角恒等变换1（2018全国卷）已知tan,则tan _。解析：tantan，解得tan 。答案:2（2015江苏高考)已知tan 2，tan（)，则tan 的值为_解析：tan tan()3。答案：33（2017江苏高考）若tan,则tan _.解析：tan tan。答案：4（2018全国卷)已知sin cos 1,cos sin 0，则sin（)_。解析：sin cos 1,cos sin 0，22得12（sin cos cos sin ）11，sin cos cos sin ,sin（).答案:5（2018全国卷改编)若sin ，则cos 2_。解析：sin ,cos 212sin2122

27、。答案：6（2016江苏高考）在abc中，ac6,cos b，c。(1)求ab的长；(2）求cos的值解：（1)因为cos b，0b，所以sin b .由正弦定理知,所以ab5。（2）在abc中，abc，所以a（bc），于是cos acos(bc）coscos bcossin bsin.又cos b,sin b，故cos a.因为0a，所以sin a。因此，coscos acossin asin .7(2018江苏高考）已知，为锐角，tan ,cos（）。(1)求cos 2的值；(2)求tan(）的值解：(1)因为tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，所以cos

28、 22cos21。(2）因为， 为锐角,所以（0，）又因为cos(），所以sin()，所以tan()2。因为tan ,所以 tan 2。所以tan(）tan2（）。命题点二解三角形1（2018江苏高考)在abc中,角a,b，c所对的边分别为a，b，c，abc120,abc的平分线交ac于点d，且bd1,则4ac的最小值为_解析:如图，sabcsabdsbcd,acsin 120c1sin 60a1sin 60,acac。1。4ac(4ac）52 59，当且仅当，即c2a时取等号故4ac的最小值为9.答案：92(2018浙江高考)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c。若a，b2，a6

29、0，则sin b_,c_.解析：由正弦定理，得sin bsin a。由余弦定理a2b2c22bccos a，得74c24ccos 60，即c22c30，解得c3或c1(舍去）答案：33（2018全国卷）abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知bsin ccsin b4asin bsin c，b2c2a28,则abc的面积为_解析：bsin ccsin b4asin bsin c，由正弦定理得sin bsin csin csin b4sin asin bsin c.又sin bsin c0,sin a。由余弦定理得cos a0，cos a,bc，sabcbcsin a.答案：4（201

30、8北京高考)在abc中,a7,b8，cos b。(1）求a；（2)求ac边上的高解：(1）在abc中，因为cos b，所以sin b 。由正弦定理得sin a.由题设知b,所以0a.所以a.（2)在abc中，因为sin csin（ab)sin acos bcos asin b，所以ac边上的高为asin c7.5（2015江苏高考）在abc中,已知ab2,ac3,a60(1）求bc的长；（2)求sin 2c的值解：（1)由余弦定理知，bc2ab2ac22abaccos a492237，所以bc.（2)由正弦定理知，所以sin csin a。因为abbc，所以c为锐角,则cos c 。因此sin

31、 2c2sin ccos c2.6（2018天津高考)在abc中,内角a,b，c所对的边分别为a，b,c.已知bsin aacos。(1）求角b的大小；(2)设a2，c3，求b和sin（2ab）的值解:（1）在abc中,由正弦定理,可得bsin aasin b。又因为bsin aacos，所以asin bacos，即sin bcos bsin b,所以tan b。因为b(0,),所以b。（2）在abc中，由余弦定理及a2，c3，b，得b2a2c22accos b7，故b.由bsin aacos，可得sin a .因为ac，所以cos a 。所以sin 2a2sin acos a，cos 2a2

32、cos2a1.所以sin(2ab）sin 2acos bcos 2asin b。7(2013江苏高考）如图,游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径一种是从a沿直线步行到c,另一种是先从a沿索道乘缆车到b，然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山，甲沿ac匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从a乘缆车到b,在b处停留1 min后，再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路ac长为1 260 m，经测量,cos a，cos c。(1)求索道ab的长；（2）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短？(3）为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在abc中，因为cos a，cos c，所以sin a，sin c。从而sin bsin(ac）sin（ac）sin acos ccos