2020版高考数学一轮复习第九章解析几何第二节两条直线的位置关系教案理（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精第二节 两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定（1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2）两条直线垂直:如果两条直线l1,l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时，l1l2。2两条直线的交点的求法直线l1：a1xb1yc10，l2:a2xb2yc20,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式p1(x1，y1)，p2(x2，y2）两点之间的距离p1p2点p0(x0，y0)到直线

2、l：axbyc0的距离d平行线axbyc10与axbyc20间距离d小题体验1已知过点a(2，m）和b（m,4)的直线与直线2xy10平行，则实数m的值为_解析:由kab2，得m8.答案:82已知点（a,2）(a0）到直线l：xy30的距离为1，则a_.解析：由题意知1，所以|a1，又a0,所以a1.答案：13若直线ax2y10与直线2x3y10垂直，则a的值为_解析：直线ax2y10的斜率k1，直线2x3y10的斜率k2，因为两直线垂直，所以1，即a3。答案：31在判断两条直线的位置关系时,易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断,若无斜率，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公

3、式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错小题纠偏1已知直线l1:（t2)x（1t)y1与l2：（t1）x（2t3）y20互相垂直，则t的值为_解析：若l1的斜率不存在,此时t1,l1的方程为x，l2的方程为y，显然l1l2，符合条件；若l2的斜率不存在,此时t，易知l1与l2不垂直当l1，l2的斜率都存在时，直线l1的斜率k1，直线l2的斜率k2，因为l1l2，所以k1k21，即1，所以t1.综上可知t1或t1。答案：1或12已知直线3x4y30与直线6xmy140平行,则它们之间的距离是_解析:因为，所以m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距

4、离d2.答案:2（基础送分型考点自主练透)题组练透1(2019沭阳月考）若直线ymx1与直线y4x8垂直，则m_.解析:由直线ymx1与直线y4x8垂直,得m41，解得m。答案:2(2018苏州模拟）过点(1,0）且与直线x2y20平行的直线方程是_解析：依题意，设所求的直线方程为x2ya0，由于点(1,0）在所求直线上，则1a0，即a1，则所求的直线方程为x2y10。答案：x2y103（2019启东调研)已知直线l1:（a1）xyb0，l2：axby40，求满足下列条件的a,b的值（1)l1l2，且l1过点(1,1）；（2）l1l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.解:（

5、1)因为l1l2,所以a(a1）b0。又l1过点(1，1），所以ab0.由，解得或当a0，b0时不合题意，舍去所以a2，b2.（2)因为l1l2，所以ab(a1）0，由题意，知a0，b0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为，.则2，得ab4，由，得a2,b2。谨记通法1已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法（1）两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1。提醒当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况2由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：a1xb1yc10(ab0） l2:a2xb2yc20(ab0）l1与l2垂直的充要条件a1a

6、2b1b20l1与l2平行的充分条件（a2b2c20）l1与l2相交的充分条件(a2b20)l1与l2重合的充分条件(a2b2c20）提醒在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住,在解答填空题时,建议多用比例式来解答典例引领已知a（4，3），b(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点p，使papb，且点p到直线l的距离为2。解：设点p的坐标为（a，b）因为a（4，3)，b(2，1），所以线段ab的中点m的坐标为(3，2)而ab的斜率kab1，所以线段ab的垂直平分线方程为y2x3,即xy50.因为点p(a，b)在直线xy50上，所以ab50。又点p(a,b）到直线l:4x3

7、y20的距离为2，所以2，即4a3b210，由联立可得或所以所求点p的坐标为(1，4）或。由题悟法距离问题的常见题型及解题策略(1）求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等（2）解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题即时应用1(2019阜宁中学检测)在坐标轴上，与点a(1,5)，b(2，4）等距离的点的坐标是_解析：线段ab的垂直平分线方

8、程为y，令x0,可得y3;令y0,可得x3，在坐标轴上，与点a（1,5）,b（2，4)等距离的点的坐标是（0,3)或(3，0)答案：(0,3）或（3，0）2（2018南通中学测试）已知点m是直线xy2上的一个动点，且点p（,1),则pm的最小值为_解析：pm的最小值即为点p(,1)到直线xy2的距离，又d1，故pm的最小值为1.答案:13已知直线l1与l2：xy10平行,且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_解析：因为l1与l2：xy10平行，所以可设l1的方程为xyb0（b1）又因为l1与l2的距离是,所以,解得b1或b3，即l1的方程为xy10或xy30。答案：xy10或xy30锁定考

9、向对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型常见的命题角度有:(1)点关于点对称；（2）点关于线对称；(3)线关于线对称 题点全练角度一：点关于点对称1(2019丹阳高级中学检测）点a（2，3)关于点p(0,5）对称的点的坐标为_解析：设a(2，3）关于点p（0，5）对称的点的坐标为（x0，y0)，由中点坐标公式，得0，5，则x02，y07.点a（2,3)关于点p(0,5）对称的点的坐标为（2，7)答案:(2,7)角度二:点关于线对称2(2018无锡模拟）已知abc的两个顶点a(1，5）和b（0，1),若c的平分线所在的直线方程为2x3y60,则bc边所在的直线方程为_解析

10、：设点a关于直线2x3y60的对称点为a（x,y),则即解得即a,由题意知，点a在直线bc上所以直线bc的方程为yx1,整理得12x31y310。答案：12x31y310角度三：线关于线对称3直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_解析:设所求直线上任意一点p(x，y），则p关于xy20的对称点为p(x0，y0),由得由点p(x0，y0)在直线2xy30上，所以2（y2）(x2）30，即x2y30。答案：x2y30通法在握1中心对称问题的2个类型及求解方法（1)点关于点对称：若点m（x1，y1）及n（x,y）关于p（a，b）对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称，主要求

11、解方法是：在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的2个类型及求解方法（1)点关于直线的对称：若两点p1(x1，y1)与p2(x2,y2)关于直线l：axbyc0对称,由方程组可得到点p1关于l对称的点p2的坐标(x2，y2)(其中b0，x1x2)(2)直线关于直线的对称:一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行演练冲关1(2019沭阳期中)已知点a(1，2）关于直线xay20的对称点为b(m,2)，则实数a的值

12、为_解析:由对称的特点可知，ab的中点在对称轴上，直线ab垂直于对称轴，则a20，1,解得m3,a2。答案:22(2018启东期末)已知直线l1:2xy20和直线l2：x2y10关于直线l对称，则直线l的斜率为_解析：设p（a，b)是直线l上任意一点，则点p到直线l1:2xy20和直线l2：x2y10的距离相等，即，整理得a3b10或3ab30,直线l的斜率为或3.答案：或33已知入射光线经过点m(3，4）,被直线l：xy30反射,反射光线经过点n（2，6），则反射光线所在直线的方程为_解析:设点m(3,4）关于直线l：xy30的对称点为m(a，b)，则反射光线所在直线过点m,所以解得a1，b

13、0.又反射光线经过点n(2,6）,所以所求直线的方程为，即6xy60。答案:6xy60一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019苏州调研)已知点a(1,3）关于直线l的对称点为b(5,1)，则直线l的方程为_解析:已知点a（1,3)关于直线l的对称点为b(5,1)，故直线l为线段ab的中垂线求得ab的中点为(2,2），ab的斜率为，故直线l的斜率为3，故直线l的方程为 y23（x2)，即3xy40.答案：3xy402(2018宿迁模拟)过点(1，0）且与直线x2y20垂直的直线方程是_解析：因为直线x2y20的斜率为,所以所求直线的斜率k2。所以所求直线的方程为y02(x1)，即2xy20.答

14、案：2xy203直线y3x3关于直线l：xy20对称的直线方程为_解析：取直线y3x3上一点a（0，3），设a关于直线l：xy20对称的点为a（a，b)，则有解得a5，b2.a（5，2）联立解得x,y.令m,直线y3x3关于直线l对称的直线过a，m两点，所求直线方程为，即x3y110.答案：x3y1104（2018启东中学测试)已知直线l1的斜率为2，l1l2,直线l2过点（1，1)且与y轴交于点p，则点p的坐标为_解析：因为l1l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率为2。又直线l2过点(1,1），所以直线l2的方程为y12（x1)，整理得y2x3.令x0,得y3,所以点p的坐标为(0，3）

15、答案：(0，3) 5若直线2xy10，yx1,yax2交于一点，则a的值为_解析：解方程组可得所以直线2xy10与yx1的交点坐标为（9，8），代入yax2，得8a（9）2，所以a.答案：6(2019苏州检测）已知直线l1:mx2y40与直线l2：x（m1）y20平行，则l1与l2间的距离为_解析：直线l1:mx2y40与直线l2：x（m1)y20平行，当m1时，显然不合题意;当m1时，有，解得m1，l1与l2间的距离d。答案：二保高考,全练题型做到高考达标1已知直线l1:(m1）x2y2m20,l2：2x(m2）y20，若直线l1l2，则m_.解析：由题意知，当m2时，l1:3x2y20,l

16、2：x10，不合题意；当m2时，若直线l1l2，则，解得m2或m3（舍去)答案：22若直线l1：xay60与l2：（a2）x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为_解析：因为l1l2，所以，解得a1，所以l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2的距离d.答案：3（2019张家港模拟)过点p(1，2)作一直线l，使直线l与点m（2,3)和点n(4,5）的距离相等，则直线l的方程为_解析：易知直线l的斜率存在，直线l过点p（1,2），设l的方程为y2k（x1),即kxyk20。又直线l与点m（2，3）和点n(4，5)的距离相等,，解得k4或k,l的方程为4xy60或3x

17、2y70。答案:4xy60或3x2y704若直线l1:yk（x4）与直线l2关于点（2，1)对称，则直线l2恒过定点_解析:由于直线l1：yk(x4)恒过定点(4，0),其关于点（2，1)对称的点为(0，2),又由于直线l1：yk（x4)与直线l2关于点（2,1）对称,所以直线l2恒过定点(0,2)答案:(0，2）5已知点p(0，1),点q在直线xy10上，若直线pq垂直于直线x2y50，则点q的坐标是_解析：设q(x0，y0)，因为点q在直线xy10上，所以x0y010.又直线x2y50的斜率k，直线pq的斜率kpq,所以由直线pq垂直于直线x2y50，得1.由解得x02,y03，即点q的坐

18、标是（2,3)答案：(2,3）6(2019苏州一模)设m，nr,若直线l:mxny10与x轴相交于点a，与y轴相交于点b，且坐标原点o到直线l的距离为,则aob的面积s的最小值为_解析:由坐标原点o到直线l的距离为,可得，化简得m2n2.对直线l：mxny10，令x0，可得y；令y0,可得x,故aob的面积s3，当且仅当m|n|时，取等号故aob的面积s的最小值为3。答案:37设mr，过定点a的动直线xmy0和过定点b的动直线mxym30交于点p（x，y),则papb的最大值是_解析：易求定点a(0,0)，b（1,3)当p与a和b均不重合时,因为p为直线xmy0与mxym30的交点，且易知两直

19、线垂直，则papb，所以pa2pb2ab210，所以papb5(当且仅当papb时，等号成立），当p与a或b重合时,papb0,故papb的最大值是5。答案：58将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点a（0,2)与点b(4，0)重合若此时点c(7,3)与点d（m，n）也重合，则mn的值是_解析：由题意知，折痕既是a，b的对称轴，也是 c，d的对称轴因为ab的斜率kab，ab的中点为（2，1），所以图纸的折痕所在的直线方程为y12（x2)，所以kcd，因为cd的中点为，所以12。由解得m，n，所以mn.答案:9已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.（1)当l1l2时，求

20、a的值；（2)当l1l2时，求a的值解：（1）法一：当a1时,l1:x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10,l1不平行于l2；当a1且a0时,两直线方程可化为l1：yx3,l2：yx(a1)，由l1l2可得解得a1.综上可知，a1。法二：由l1l2知即a1。（2)法一：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不符合；当a1时，l1：yx3,l2：yx(a1），由l1l2，得1a.法二：因为l1l2,所以a1a2b1b20，即a2(a1）0，得a.10已知abc的顶点a（5，1），ab边上的中线cm所在直线方程为2xy50，ac边上的高bh所在直线方程为x2y50，求直线bc的方程解：依题意知：kac2，a(5,1),所以lac的方程为2xy110，联立得c（4,3)设b(x0，y0）,则ab的中点m，代入2xy50，得2x0y010，联立得b（1，3)，所以kbc，所以直线bc的方