第16章分式复习

1、 n进一步理解分式、有理式、最简分式、最简公进一步理解分式、有理式、最简分式、最简公 分母的概念分母的概念 n熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则；准熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则；准 确熟练地进行分式的运算确熟练地进行分式的运算 n通过对例题的学习，进一步理解数学的整体思通过对例题的学习，进一步理解数学的整体思 想想 分式 分式有意义 分式的值为0 同分母相加减 异分母相加减 概念 A B 的形式 B中含有字母B0 分式的加减 分式的乘除 通分 约分 最简分式 解分式方程 去分母 解整式方程验根 分式方程应用 同分母相加减 1.分式的定义分式的定义: 2.分式分式有有意义的条件意义的条

2、件:B0 分式分式无无意义的条件意义的条件: B = 0 3.分式值为分式值为 0 的条件的条件: A=0且且 B 0 A0 ,B0 或或 A0, B0 ,B0 或或 A0 分式分式 0 的条件的条件: A B A B 形如形如 ,其中其中 A ,B 都是整式都是整式, 且且 B 中含有字母中含有字母. 考点一： 【例1】下列代数式中：，是分式的有： x yx yx yx yx ba ba yx x x 5 41 22 ,2 1 , 2 1 , 【例2】当有何值时，下列分式有意义 n（1） n（2） n（3） n（4） n（5） 2 3 2 x x 4 4 x x 1 2 2 x 3| 6 x

3、 x x x 1 1 x -4 x 为一切实数 x1 x3 x1，0 【例3】当取何值时，下列分式的值为0. n(1) n(2) n(3) 3 1 x x 4 2| 2 x x 65 32 2 2 xx xx x -3 无无 X=3 【例4】（1）当为何值时，分式 为正； （2）当为何值时，分式 为负； （3）当为何值时，分式 为非负数. x8 4 2 ) 1(3 5 x x 3 2 x x X5 X=2 或或x1 8.当当x 时时,分式分式 的值是负数的值是负数. X2+1 X+2 9.当当x 时时,分式分式 的值是非负数的值是非负数. X-7 X2+1 10.当当x 时时,分式分式 的值为

4、正的值为正. X+1 X2-2x+3 -1 1.分式的基本性质分式的基本性质: 分式的分子与分母同乘以分式的分子与分母同乘以(或除以或除以) 分式的值分式的值 用式子表示用式子表示: (其中其中M为为 的整式的整式) A B A X M ( ) A B A M ( ) = = 2.分式的符号法则分式的符号法则: A B = B ( ) = A ( ) = - A ( ) -A -B = A ( ) = B ( ) = -A ( ) 一个不为一个不为0的整式的整式不变不变 B X MBM 不为不为0 -A -B -B B -A B 考点二 【例1】不改变分式的值，把分子、分 母的系数化为整数.

5、(1) (2) yx yx 4 1 3 1 3 2 2 1 ba ba 04. 0 03. 02 . 0 X12 X12 X100 X100 【例2】不改变分式的值，把下列分式 的分子、分母的首项的符号变为正号. (1) (2) (3) yx yx ba a b a yx yx ba a b a 练习：1不改变分式的值，把下列分式的 分子、分母的系数化为整数. （1） （2） yx yx 5 . 008. 0 2 . 003. 0 ba ba 10 1 4 1 5 3 4 . 0 X100 X100 X20 X20 2. 如果把分式中的如果把分式中的x和和y的值都扩大倍，的值都扩大倍， 则分式

6、的值（）则分式的值（） 扩大倍不变缩小缩小扩大倍不变缩小缩小 x xy 3. 如果把分式中的如果把分式中的x和和y的值都扩大倍，的值都扩大倍， 则分式的值（）则分式的值（） 扩大倍不变缩小缩小扩大倍不变缩小缩小 xy xy B A 1. 若将分式 中的x、y的值都扩大3倍，则分式的 值（） yx yx 32 4 22 A、扩大2倍 B、不变 C、扩大3倍 D、扩大4倍 2： （1）如果把分式 x+2y x 中的x 和y 都扩大5 倍，那么分式 的值（ ） A、扩大10 倍 B、缩小5 倍 C、扩大5 倍 D、不变 变式训练变式训练 把分母不相同的几个分式化成分母相把分母不相同的几个分式化成分母

7、相 同的分式。同的分式。 关键是找关键是找最简公分母最简公分母:各分各分 母所有因式的最高次幂的积母所有因式的最高次幂的积. 1.约分：约分： 2.通分通分: 把分子、分母的最大公因式把分子、分母的最大公因式(数数)约去。约去。 考点三 1.约分约分 (1) (2) (3) -6x2y 27xy2 -2(a-b)2 -8(b-a)3 m2+4m+4 m2 - 4 2.通分通分 (1) (2) x 6a2b 与与 y 9ab2c a-1 a2+2a+1 与 6 a2-1 约分与通分的约分与通分的依据依据都是都是: 分式的基本性质分式的基本性质 关键找出分子和 分母的公因式 关键找出分母的 最简公

8、分母 【例1】已知： ，求 的值. 整体代入， 转化出 代入化简. 5 11 yxyxyx yxyx 2 232 xyyx5 5 11 yx 整体代入法化简思想： =1 【例1】已知： ，求 的值. 5 11 yx 【例1】已知： ，求 的值. 5 11 yx 1.已知已知 ,试求试求 的值的值. x 2 = y 3 = Z 4 x+y-z x+y+z 2.已知已知 ,求求 的值的值. 1 x + 1 y =5 2x-3xy+2y -x+2xy-y =k 设 则x=2k,y=3k,z=4k 代入换元 =1/9 =-7/3 3.已知已知 x + =3 , 求求 x2 + 的值的值. 1 x 1

9、x2 变变: 已知已知 x2 3x+1=0 ,求求 x2+ 的值的值. 1 x2 变变:已知已知 x+ =3 ,求求 的值的值. 1 x x2 x4+x2+1 （ ） 22 92 1 2 2 x x x x /x2 /x2 1 1 1 2 2 x x bd ac d c b a 两个分式相除，把两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置除式的分子和分母颠倒位置 后再与被除式相乘。后再与被除式相乘。 bc ad c d b a d c b a 用符号语言表达：用符号语言表达： 考点四 3 23 4 ) 1 ( x y y x cd ba c ab 4 5 2 )2( 22 2 3 2 22 441

10、 (3) 214 aaa aaa 先乘再约分 先把除转 化为乘 先因式分解 2/3x2-2bd/5ac a-2/a2+a-2 2 23 (5) 53259 53 xx xxx 22 22 255 (6) 343 m np qmnp pqmnq 2 3 x2 1/2n2 （7 7） 2 2 2 2 4 44 4 3 16 69 x xx x x x xx 2 2 2 2 4 44 4 3 16 69 x xx x x x xx 解：解： )2)(2( )2( 3 4 )4)(4( )3( 22 xx x x x xx x )2)(4( )2)(3( xx xx 82 6 2 2 xx xx 注意

11、：注意： 乘法和除法运算时，结果要化为乘法和除法运算时，结果要化为 最简分式最简分式 。 分式的加减分式的加减 同分母相加同分母相加 异分母相加异分母相加 A CB A C A B AD ACBD AD CA AD BD D C A B 通分通分 n在分式有关的运算中，一般总是先把分子、在分式有关的运算中，一般总是先把分子、 分母分解因式；分母分解因式； n注意：过程中，分子、分母一般保持分解因注意：过程中，分子、分母一般保持分解因 式的形式。式的形式。 考点五考点五 aa 34 ) 1 ( x x x x 1 12 1 1 )2( a 1 1 23x x （3 3）计算）计算： xyx y

12、yx x x yx 2 2 解：解： xyx y yx x x yx 2 2 )()()( )( 22 yxx y yxx x yxx yxyx xyx yxyx 2 2222 0 1 12 1 1 )4( 2 x x x x 1 12 2)5( x x x 1 222 2 2 x xx 1x 1 2 xx （6 6）当当 x = 200 x = 200 时，求时，求 的值的值. . xxx x x x1 3 6 3 2 解解: : xxx x x x1 3 6 3 2 )3( 3 )3( 6 )3( 2 xx x xx x xx x )3( 9 2 xx x )3( )3)(3( xx xx

13、 x x3 当当 x = 200 x = 200 时时, ,原式原式= = 200 3200 200 203 整数指数幂有以下运算性质：整数指数幂有以下运算性质： （2）(am)n=amn (a0) （3）(ab)n=anbn (a,b0) （4）aman=am-n (a0) （5） （b0） n n n b a b a )( 当当a0时，时，a0=1。（6） (7)n是正整数时是正整数时, a-n属于分式。属于分式。 并且并且 n a n a 1 (a0) 4.(210-3)2(210-2)-3= 2. 0.000000879用科学计数法表示为用科学计数法表示为 . 3.如果（如果（2x-1

14、）-4有意义，则有意义，则 。 5.（an+1bm）-2anb=a-5b-3，则，则m= ，n=_. 1:下列等式是否正确下列等式是否正确?为什么为什么? (1)aman= am.a-n; (2) nnn ba b a )( 7 1079.8 2 1 x 2 1 11 6、某种感冒病毒的直径是、某种感冒病毒的直径是0.00000012米，米， 用科学记数法表示为用科学记数法表示为 。 2 22 0 3 32 210 2 _;3_;( 1)_; 3 3_,( 2)_; 1 ( 4 10 ) (10 )_; 2 1 ( 1)( )4(2009)_; 2 x 计算 23 22 1 (6). a bb

15、 a abaab 2 b a 2.解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤 1 1、 在方程的两边都乘以在方程的两边都乘以最简公分母最简公分母，约去分母，约去分母， 化成化成整式方程整式方程. . 2 2、解这个整式方程、解这个整式方程. . 3 3、 把整式方程的根代入把整式方程的根代入最简公分母最简公分母，看结果是不，看结果是不 是为零，使是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根最简公分母为零的根是原方程的增根，必，必 须舍去须舍去. . 4 4、写出原方程的根、写出原方程的根. . 1.解分式方程的思路是：解分式方程的思路是： 分式分式 方程方程 整式整式 方程方程 去分母去分母 考点

16、六 1、（98西安）解方程西安）解方程： 1 2 2 4 4 2 1 2 xx x x 解：原方程可化为解：原方程可化为 1 2 2 ) 2)(2( 4 2 1 xxx x x 两边都乘以两边都乘以) 2)(2( xx ，并整理得；并整理得； 023 2 xx 解得解得2, 1 21 xx 检验：检验：x=1是原方程的根，是原方程的根，x=2是增根是增根 原方程的根是原方程的根是x=1 例例1 51 1.0 31 xx xx -+ -= - 解方程：解方程： 2x 2 28 2.1 24 x xx - -= +- 0 x 关于增根的问题： 方程无解原方程的整式方程无解； 或原方程的整式方程有解

17、，但解 都是增根。 注：注：方程有增根，则方程有增根，则原方程的整式方程一定有原方程的整式方程一定有 解但分式方程不一定无解解但分式方程不一定无解。 1.若方程若方程 有增根，则增根有增根，则增根 应是应是 1 2 2 42 3 xx 2.2.解关于解关于x x的方程的方程 产生增根，则常数产生增根，则常数a=a= 。 2 23 242 ax xxx X=-2 X=-4或6 列分式方程解应用题的一般步骤列分式方程解应用题的一般步骤 1.审审:分析题意分析题意,找出研究对象，建立等量关系找出研究对象，建立等量关系. 2.设设:选择恰当的未知数选择恰当的未知数,注意单位注意单位. 3.列列:根据等

18、量关系正确列出方程根据等量关系正确列出方程. 4.解解:认真仔细认真仔细. 5.验验:不要忘记检验不要忘记检验. 6.答答:不要忘记写不要忘记写. 考点七考点七 例例1 1： 一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰 好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3 3天，现在由天，现在由 甲、乙两队合作甲、乙两队合作2 2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定 日期内完成，日期内完成， 问规定日期是几天？问规定日期是几天？ . 1 3 2 x x x 解解:设规定日期为设规定日

19、期为x天，根据题意列方程天，根据题意列方程 请完成下面的过程请完成下面的过程 例例2. 已知轮船在静水中每小时行已知轮船在静水中每小时行20千米，千米， 如果此船在某江中顺流航行如果此船在某江中顺流航行72千米所用千米所用 的时间与逆流航行的时间与逆流航行48千米所用的时间相千米所用的时间相 同，那么此江水每小时的流速是多少千同，那么此江水每小时的流速是多少千 米米? 解解:设设江水每小时的流速是江水每小时的流速是x千米千米，根据，根据 题意列方程题意列方程 xx 20 48 20 72 请完成下面的过程请完成下面的过程 36千米 路程速度时间 甲 乙 211850.x 50 2118 . x

20、 x 18 x18 50 2118 . x x 18 = ba 11 ab 1 ba 1 ba ab 1. 1.水池装有两个进水管，单独开甲管需水池装有两个进水管，单独开甲管需a a小时注小时注 满空池满空池, ,单独开乙管需单独开乙管需b b小时注满空池，若同时打小时注满空池，若同时打 开两管，那么注满空池的时间是（开两管，那么注满空池的时间是（ ）小时）小时 A、 B、 C、 D、 学以致用 B 2.甲加工甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已个零件，已 知甲每小时比乙少加工知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零个零件，求两人每小

21、时各加工的零 件个数件个数. 甲：甲：15 乙：乙：20 解：设甲每小时加工解：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（个零件，则乙每小时加工（x+5)个零件，个零件， 依题意得：依题意得： x 180 5 240 x = 请完成下面的过程请完成下面的过程 32 20082010 2 22 222222 6,3,2, 53 2.2 135 3.2|3| 0, 42 2 1.已知求： 计算： 求的值。 mnqmn q aaaa xy xyxxyy xyxyx yx yxy 4 34 21 2123 222 222 736 1. 1 525710 2. 61268 化简： 1. 解方程 n nn

22、abb bca ca xxxxx xxx xxxxxx 51 1.0 31 xx xx -+ -= - 2 28 2.1 24 x xx - -= +- 31 3.2 44 x xx - += - 2533 4.3 22 yy yy - =- - 解方程 2x 0 x 无解无解4y (1)一件工作甲单独做要一件工作甲单独做要m小时完成，乙单小时完成，乙单 独做要独做要n小时完成，如果两人合做，完成这小时完成，如果两人合做，完成这 件工作的时间是件工作的时间是 小时；小时； (2)某食堂有米某食堂有米m公斤，原计划每天用粮公斤，原计划每天用粮a公斤，公斤， 现在每天节约用粮现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划公斤，则可以比原计划 多用天数是多用天数是 ; nm mn baa bm 1.某单位将沿街的一部分房屋出租某单位将沿街的一