第2章 平面汇交力系与平面力偶系

1、第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 与平面力偶系与平面力偶系 主要内容主要内容 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的几何法系的合成与平衡的几何法 2.2 2.2 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的解析法系的合成与平衡的解析法 2.3 2.3 力对点之矩力对点之矩 2.4 2.4 平面力偶系平面力偶系 1.1.力的多边形法则力的多边形法则 O O应用力三角形法则应用力三角形法则 F1 F2 F3 F4 R1 R2 F1 F4 F3 F2 R i RF 结论：结论：1).1).平面汇交力系可以合成为一个合力的平面汇交力系可以合成为一个合力的 作用线通过汇交点。作用线通过汇交点

2、。 2). 2).合力矢等于力系中各力矢的矢量和。合力矢等于力系中各力矢的矢量和。 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的几何法系的合成与平衡的几何法 2.2.平衡的几何条件平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充分必要条件是平面汇交力系平衡的充分必要条件是 该力系的合力等于零，即：该力系的合力等于零，即：0 i RF 此时力多边形的封闭边等于零，即力此时力多边形的封闭边等于零，即力 的多边形自行封闭，这是的多边形自行封闭，这是平衡的几何平衡的几何 条件条件。 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的几何法系的合成与平衡的几何法 图图a所示是汽车制动机构所示是汽车制动机构

3、 的一部分。司机踩到制动蹬上的一部分。司机踩到制动蹬上 的力的力F=212 N，方向与水平面方向与水平面 成成a = 45角。当平衡时，角。当平衡时，DA 铅直，铅直，BC水平，试求拉杆水平，试求拉杆BC 所受的力。已知所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点点E在铅直线在铅直线DA上上 ，又又B ，C ，D都是光滑铰都是光滑铰 链，机构的链，机构的自重不计。自重不计。 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的几何法系的合成与平衡的几何法 24 cmOEEA 6 tan 24 DE OE 1 arctan14.01 4 sin 180 750 N sin B FF 2.1

4、 2.1 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的几何法系的合成与平衡的几何法 水平梁水平梁AB中点中点C作用着力作用着力F，其大小等于其大小等于2 kN， 方向与梁的轴线成方向与梁的轴线成60 角角，支承情况如图支承情况如图a 所示所示，试求固试求固 定铰链支座定铰链支座A和活动铰链支座和活动铰链支座B的约束力的约束力。梁的自重不梁的自重不 计。计。 60 30 aa (a) 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的几何法系的合成与平衡的几何法 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的几何法系的合成与平衡的几何法 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的几何法

5、系的合成与平衡的几何法 F cos 0.866 30 Rh R sin cos B AB FF FFG 10 kN, sin B F F cos11.34 kN AB FGF 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的几何法系的合成与平衡的几何法 F tan11.5 kNFG 23.09 kN cos B G F min sin10kNFG 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的几何法系的合成与平衡的几何法 1.1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解 2.2 2.2 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的解析法系的合成与平衡的解析法 x y

6、F Fx Fy X Y 力沿力沿x x轴向的分量是个矢量轴向的分量是个矢量 力向力向x x轴的投影是个代数量轴的投影是个代数量A A 力的分解力的分解 力的投影力的投影 已知力求投影cos( , ) x FFF i cos( , ) y FFF j xy FF iF j 解析式 已知投影求力 22 xy FFF cos( , ) x F F i F cos( , ) y F F j F 2.2.合成的解析法合成的解析法 平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等于各分平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等于各分 在同一轴上投影的代数和。在同一轴上投影的代数和。 合力投影定理合力投影定理: : 2.2

7、2.2 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的解析法系的合成与平衡的解析法 12 ,., n F FF O点处作用一平面共点力系 (1,2,.) iixiy FF iF jin , ()()() iixiyixiy RFF iF jF iFj xix RF yiy RF 3.3.平衡的解析条件平衡的解析条件 平面汇交力系平衡的充分必要条件是平面汇交力系平衡的充分必要条件是 0 xix RF 0 yiy RF 这就是平面汇交力系的平衡方程，即平面汇交力系平这就是平面汇交力系的平衡方程，即平面汇交力系平 衡的衡的充分必要条件充分必要条件： 力系中所有各力在两个相互垂直的力系中所有各力在两个相互垂直的

8、 坐标轴上的投影的代数和均等于零。坐标轴上的投影的代数和均等于零。 2.2 2.2 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的解析法系的合成与平衡的解析法 22 ()() ixiY RFF cos( , ) x R R i R cos( , ) y R R j R 利用铰车绕过定滑轮利用铰车绕过定滑轮B的的 绳子吊起一货物重绳子吊起一货物重G = 20 kN， 滑轮由两端铰接的水平刚杆滑轮由两端铰接的水平刚杆 AB和斜刚杆和斜刚杆BC支持于点支持于点B 。 不计铰车的自重，试求杆不计铰车的自重，试求杆AB 和和BC所受的力。所受的力。G 2.2 2.2 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的解析法系的

9、合成与平衡的解析法 0, 0, x y F F cos30sin300 BCAB FFF cos60cos300 BC FGF 5.45 kN AB F 74.5 kN BC F 2.2 2.2 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的解析法系的合成与平衡的解析法 解析法的符号法则解析法的符号法则：当由平衡方程：当由平衡方程 求得某一未知力的值为负时，表示求得某一未知力的值为负时，表示 原先假定的该力指向和实际指向相原先假定的该力指向和实际指向相 反。反。 约束力约束力F FAB AB为负值，说明该力实际指向与图 为负值，说明该力实际指向与图 上假定指向相反。即杆上假定指向相反。即杆ABAB实际上

10、受拉力。实际上受拉力。 2.2 2.2 平面汇交力平面汇交力系的合成与平衡的解析法系的合成与平衡的解析法 一、力对点的矩一、力对点的矩 O O F F h h 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定，力使物体绕与力臂的乘积，它的正负可按下法确定，力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为负。矩心逆时针转向时为正，反之为负。 1 1.定义定义： 2.3 2.3 力矩的概念和计算力矩的概念和计算 力的效应：移动效应和转动效应 OABFhFmO2)( O矩心，h 力臂 2 2.力力矩等于矩等于0的条件的条件 ：

11、（1）力的大小等于）力的大小等于0 （2）力的作用线通过矩心点）力的作用线通过矩心点 单位N.m或kN.m 2.2.平面汇交力系的合力矩定理平面汇交力系的合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩 等于力系中诸力对同一点的矩的代数和，即：等于力系中诸力对同一点的矩的代数和，即： ( )() ooi m Rm F 3.3.力矩的解析表达式力矩的解析表达式 2.32.3力矩的概念和计算力矩的概念和计算 其作用点其作用点A A的坐标为的坐标为 00 ,xy 00 00 ( )()() OOxOyxy xy xy MFMFMFy Fx F FF (1,2,

12、., ) iixiy FFFin 00 ( )() OOi ixiy xy MRMF FF A A B B A P B P R C C A l B l 1.1.两个同向平行力的合成两个同向平行力的合成 两个同向平行力可以合成为一个两个同向平行力可以合成为一个 合力，合力的大小等于两个分力合力，合力的大小等于两个分力 大小的和，其方向与这两个分力大小的和，其方向与这两个分力 的方向相同，其作用线在这两个的方向相同，其作用线在这两个 分力的作用线之间，且到分力的分力的作用线之间，且到分力的 作用线的距离与这两个分力的大作用线的距离与这两个分力的大 小成反比。小成反比。 AB RPP AB RPP

13、AB BA PlBC PlAC 2.4 2.4 两平行力的合成两平行力的合成 2.2.两个不等反向平行力的合成两个不等反向平行力的合成 两个大小不等的反向平行力可以合成为一个合力，其大两个大小不等的反向平行力可以合成为一个合力，其大 小等于两个分力的大小差，且与较大的分力同向，合力小等于两个分力的大小差，且与较大的分力同向，合力 的作用线在较大的分力的作用线的外侧，且到分力作用的作用线在较大的分力的作用线的外侧，且到分力作用 线的距离与分力的大小成反比。线的距离与分力的大小成反比。 A A B B C C A l B l A P B P R BA RPP BA RPP AB BA PlBC P

14、lAC A B PBC PABBC A BA P BCAB PP 2.4 2.4 两平行力的合成两平行力的合成 3.3.平衡条件平衡条件 可列一个平衡方程，求解一个未知量可列一个平衡方程，求解一个未知量 一、力偶与力偶矩一、力偶与力偶矩 由两个等值反向不共线的的平行力组成由两个等值反向不共线的的平行力组成 的力系称为力偶，用的力系称为力偶，用( ,)F F 表示。表示。 1 1.力偶的定义力偶的定义 A A B B h h F F 力偶臂：力偶中两个力的作用线之间的垂直距力偶臂：力偶中两个力的作用线之间的垂直距 离离h称为该力偶的力偶臂。称为该力偶的力偶臂。 力偶的作用面：力偶所在的平面称为力

15、偶的作用面。力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。 m 力偶矩：力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小力偶矩：力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小 与力偶臂的乘积，正负号表示力偶矩的方向，一般逆时与力偶臂的乘积，正负号表示力偶矩的方向，一般逆时 针转向为正，反之为负。表示为：针转向为正，反之为负。表示为： 2 ABC mFdS C C 2.5 2.5 平面力偶系平面力偶系 2 2.力偶矩力偶矩 单位：单位：Nm 3 3.同平面内力偶等效的定理同平面内力偶等效的定理 2 2.力偶的基本特性力偶的基本特性 不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个不能合成一个合力，本身不能平衡，也

16、不能被一个 力平衡，它只能由力偶来平衡。力平衡，它只能由力偶来平衡。 对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即 只能原地转动。只能原地转动。 力偶矩只与力的大小和力偶臂的乘积有关，与矩心无关。力偶矩只与力的大小和力偶臂的乘积有关，与矩心无关。 力偶矩是力偶使物体转动效应的度量，并且是唯一的度量力偶矩是力偶使物体转动效应的度量，并且是唯一的度量 力偶可以在其作用面内任意移动，而不改变它对力偶可以在其作用面内任意移动，而不改变它对 刚体的作用效应刚体的作用效应 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和

17、大小和 力偶臂的长短而不改变力偶对刚体的作用效果力偶臂的长短而不改变力偶对刚体的作用效果 2.5 2.5 平面力偶系平面力偶系 定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶等效定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶等效 三、平面力偶系的合成与平衡三、平面力偶系的合成与平衡 1 1.合成定理合成定理 平面力偶系可以合成一个合力偶，合力偶矩等于力偶系平面力偶系可以合成一个合力偶，合力偶矩等于力偶系 中各力偶矩的代数和，即中各力偶矩的代数和，即 1 n i i mm 2 2.平衡平衡 平面力偶系平衡的充分必要条件：力偶系中各力偶矩的平面力偶系平衡的充分必要条件：力偶系中各力偶矩的 代数和等于零，即代数和等于零，即 1 0 n i i m 2.5 2.5 平面力偶系平面力偶系 45 2.3 2.3 平面力偶系平面力偶系 45 0,cos450 A