电路原理 清华大学课件 20-7 一阶电路

1、7.1 动态电路概述动态电路概述 7.2 电路中起始条件的确定电路中起始条件的确定 7.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 本章重点本章重点 7.7 脉冲序列作用下的脉冲序列作用下的RC电路电路 7.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 7.5 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 7.6 求解一阶电路的三要素法求解一阶电路的三要素法 稳态分量稳态分量 暂态分量暂态分量 本章重点本章重点 零输入响应零输入响应 初始值的确定初始值的确定 零状态响应零状态响应 全响应全响应 返回目录返回目录 S未动作前（稳态）未动作前（稳态） S接通电源后很长时间（新稳态）接通电源后很长时间（新稳态

2、） i = 0 , uC = 0 i = 0 , uC= US 一、电路的过渡过程一、电路的过渡过程 7.1 7.1 动态电路概述动态电路概述 + uCUS R C i 动态电路（动态电路（dynamic circuit）: 用微分方程描述的电路用微分方程描述的电路 S uCUS R C i + 初始状态初始状态 过渡状态过渡状态 新稳态新稳态 t1 US uC t 0 ? 过渡过程（过渡过程（transient process）： 电路由一个稳态过电路由一个稳态过 渡到另一个稳态需要经历的过程。渡到另一个稳态需要经历的过程。 过渡状态过渡状态（瞬态、暂态）（瞬态、暂态） 二、过渡过程产生的原

3、因二、过渡过程产生的原因 能量不能跃变能量不能跃变 t w p d d 1. 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L ，M ， C。 S uCUS R C i + 2. 电路结构发生变化。电路结构发生变化。 三、分析方法三、分析方法 时域分析法时域分析法 复频域分析法复频域分析法 时域分析法时域分析法 经典法经典法 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 状态变量法状态变量法 四、一阶电路四、一阶电路（First-order Circuit） 由一个独立储能元件组成的电路由一个独立储能元件组成的电路, 描述电路的方描述电路的方 程是一阶微分方程。程是一阶微分方程。 开关闭合开关闭合 开关断开开关断

4、开 参数变化参数变化 换路换路 + - uS R1 R2R3 S 思考：思考： 有无过渡过程？有无过渡过程？ 返回目录返回目录 一、一、 t = 0+与与 t = 0-的概念的概念 换路在换路在 t=0 时刻进行时刻进行 0- t = 0 的前一瞬间的前一瞬间 0+ t = 0 的后一瞬间的后一瞬间 7.2 7.2 电路中起始条件的确定电路中起始条件的确定 )(lim)0( 0 0 tff t t )(lim)0( 0 0 tff t t 初始条件（初始条件（initial condition）为）为 t = 0+时时u ，i 及其各及其各 阶导数的值。阶导数的值。 0-0+0 t f(t)

5、二、换路定则（二、换路定则（switching law） d)( 1 t C i C u d)( 1 d)( 1 0 0 t i C i C d)( 1 )0( 0 t C i C u q=C uC d)()0( 0 t iqq 当当t = 0+时时 d)( 1 )0()0( 0 0 i C uu CC i( )为有限值时为有限值时 0d)( 0 0 i q (0+) = q (0- )+ 0d)( 0 0 i i uC C + - 1. 电容电容 q (0+) = q (0-) uC (0+) = uC (0-) 结论结论 ： 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电换路瞬间，若电容电流保

6、持为有限值，则电容电 压（电荷）换路前后保持不变。压（电荷）换路前后保持不变。 电荷守恒电荷守恒 t i Lu L d d d)( 1 t L u L i d )( 1 d)( 1 0 0 t L u L u L i du L i t L )( 1 )0( 0 当当u为有限值时为有限值时 d)()0( 0 t u L Li L (0+)= L (0- -) iL(0+)= iL(0- -) 磁链守恒磁链守恒 i u L + - L 2. 电感电感 (0+)= (0- -) iL(0+)= iL(0- -) q (0+) = q (0- -) uC (0+) = uC (0- -) 结论：结论：

7、 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电 感电流（磁链）换路前后保持不变。感电流（磁链）换路前后保持不变。 小结：小结： 换路定则换路定则 换路定则换路定则成立的条件。成立的条件。 注意注意 L (0+)= L (0- -) iL(0+)= iL(0- -) 磁链守恒磁链守恒 三、电路起始条件（三、电路起始条件（initial condition）的确定）的确定 由换路定则由换路定则 uC (0+) = uC (0- -) V8 4010 4010 )0( C u 画画0+电路，求电路，求iC(0+) mA2 . 0 10 810 )0( C i 求求 u

8、C (0+) 和和 iC (0+) t = 0时打开开关时打开开关S 0)0()0( CC ii ？ 解解 由换路前电路得由换路前电路得 例例1 + - 10V i iC S 10k 40k uC - + + - 10V i iC + 8V - 10k t = 0时闭合开关时闭合开关S，求，求uL(0+)。 对对否否？ 0)0( 0)0( LL uu iL(0+)= iL(0 ) = 2A V842)0( L u 需由需由0+电路求电路求uL(0+)。 0+电路为电路为 iL(0+) + uL(0+) - L10V 1 4 解解 例例2 iL + uL - L10V S 1 4 求起始值的一般

9、步骤求起始值的一般步骤: （1）由换路前电路（一般为稳定状态）求）由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-) 和和 iL(0-)。 （2） 由换路定则得由换路定则得 uC(0+) 和和 iL(0+)。 （3） 画画0+等值电路。等值电路。 （4） 由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。 b. t=0+时刻时刻电容电压电容电压（电感电流电感电流）用）用电压源电压源（电流源电流源） 替代。方向同原假定的电容电压、替代。方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。电感电流方向。 a. 换路后的电路换路后的电路 c. 独立源取独立源取t=0+时刻值。时刻值。 )30sin( m t

10、L E iL L E t L E i t L 2 )30sin()0( m 0 m 解解 由换路定则得由换路定则得 L E ii LL 2 )0()0( m L E I L j 60 m m 对开关对开关S打开前的电路，用相量法计算：打开前的电路，用相量法计算： 计算计算t = 0 时 时iL的值的值 V)60sin( mS tEu 。和和求求：)0()0(, )0( RLL uui 已知：已知： 例例3 iL + uL - LS R + - uS 由由 0+电路求电路求uR(0+)和和uL(0+)。 + uL(0+) - R + - 2 3 m E L E 2 m L RE Riu LR 2

11、 )0()0( m L REE u m L 22 3 )0( m L REEm 22 3 m 返回目录返回目录 7.3 7.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 零输入响应零输入响应（Zero-input response）：激励（电源）为零，）：激励（电源）为零， 由初始储能引起的响应。由初始储能引起的响应。 一、一、 RC放电电路放电电路 解解 t u Ci C d d 0 )0( 0 d d Uu u t u RC C C C uC = uR= Ri 设设 pt C Aue 0e d )ed( pt pt A t A RC 一阶齐次常微分方程一阶齐次常微分方程 已知已知 uC (

12、0- -)=U0 ，求，求 uC ，i 。 i S(t=0) + uRC + uC R RC p 1 特征根特征根（characteristic root）为）为 t RC A 1 e 特征方程特征方程（characteristic equation）为）为 RCp+1=0 pt C Aue 则则 起始值起始值 uC (0+) = uC(0- -)=U0 A=U0 0 1 0 e t t RC AU 0ee ptpt ARCAp 由起始值定待定系数由起始值定待定系数 令令 =RC , 称称 为一阶电路的为一阶电路的时间常数（时间常数（time constant）。）。 t U0 uC 0 0

13、0 ee(0) tt C RCRC uU iIt RR 0e (0) t RC C uUt 秒秒 伏伏 安安秒秒 欧欧 伏伏 库库 欧欧法法欧欧 RC I0 t i 0 时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。的大小反映了电路过渡过程时间的长短。 = RC 11 RC p 大大 过渡过程时间的过渡过程时间的长长 小小 过渡过程时间的过渡过程时间的短短 定性讨论（设电压初值一定）：定性讨论（设电压初值一定）： R 大大（ C不变）不变） i = u/R 放电电流小放电电流小 放电时间放电时间长长 U0 t uC 0 小小 大大 C 大大（R不变）不变） w = 0.5Cu2 储能大

14、储能大 工程上认为，工程上认为，经过经过 3 5 的时间过渡过程结束。的时间过渡过程结束。 U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 ：电容电压：电容电压衰减到衰减到原来电压原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。 t 0 2 3 5 t C Uu 0e U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于 )( 1 e d d 1 0 11 tu U t u Ct t t C U0 t uC 0 t1t2 按此速率，经过按此速率，经过 秒后秒后uC减为零。减为零。 )(368. 0)( 12 tut

15、u CC 次切距的长度次切距的长度 t2-t1 = 分析：分析： 能量关系能量关系: tRiWRd 0 2 电容电容C不断释放能量被不断释放能量被R 吸收，直到全部消耗完毕。吸收，直到全部消耗完毕。 设设uC(0+)=U0 电容放出能量电容放出能量 2 0 2 1 CU 电阻吸收能量电阻吸收能量 tR R U RC t d)e( 2 0 0 2 0 2 1 CU t R U RC t de 2 0 2 0 uCR + - - C 二二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应 特征方程特征方程 Lp+R=0 L R 特征根特征根 p = 由初始值由初始值 i(0+)= I0 定待定系数定待定系数A

16、 A= i(0+)= I0 i (0+) = i (0- -) = 0 1 I RR U S d 0(0) d i LRit t pt Atie)( 00 ( )ee(0) R t pt L i tIIt 得得 i S(t=0) USL + uL RR1 RiuL 令令 = L/R , 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 / 0e (0) t L R RIt t L R Ii 0e / 0e (0) t L R It 设设i(0)一定：一定： L大大 起始能量大起始能量大 R小小 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小 放电慢放电慢 大大 I0 t i 0 秒秒 欧欧安安 秒秒伏伏 欧

17、欧安安 韦韦 欧欧 亨亨 R L 工程上认为，工程上认为，经过经过 3 5 的时间的时间过渡过程结束。过渡过程结束。 -RI0 uL t 0 定性讨论定性讨论R、L对过渡过程的影响。对过渡过程的影响。 iL (0+) = iL(0 ) = 1 A uV (0+)= - - 10000V 造成造成 V 损坏。损坏。 / e(0) t L it t=0时时 打开开关打开开关S， 电压表坏了电压表坏了,试分析其原因。试分析其原因。 电压表量程为电压表量程为50V / VV 10000e(0) t L uR it 分析分析 改进措施改进措施 例例 iLS(t=0) + uV L=0.4H R=10 V

18、 RV 10k 10V iL S(t=0) L=0.4H R=10 10V 续流续流 二极管二极管 4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比。一阶电路的零输入响应和初始值成正比。 1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的 响应，都是一个指数衰减函数。响应，都是一个指数衰减函数。 2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 = RC RL电路电路 = L/R 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 小结小结 返回目录返回目录 零状态响应（零状态响应（zero-state r

19、esponse）：储能元件初始能量为零，）：储能元件初始能量为零， 在激励（电源）作用下产生的响应。在激励（电源）作用下产生的响应。 一、直流激励下的零状态响应一、直流激励下的零状态响应 列方程列方程 7.4 7.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 一阶非齐次线性常微分方程一阶非齐次线性常微分方程 。 解答形式为：解答形式为： CCC uuu 通解通解 特解特解 S d d Uu t u RC C C i S(t=0) US +- uR C + - uC R uC (0-)=0 1. RC电路的零状态响应电路的零状态响应 与输入激励的变化规律有关，某些激励时与输入激励的变化规律有关，

20、某些激励时强制分量强制分量为为 电路的稳态解，此时强制分量称为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量稳态分量 RC t C Au e 全解全解 uC (0+)=A+US= 0 A= - - US 由起始条件由起始条件 uC (0+)=0 定定积分常数积分常数 A 齐次方程齐次方程 的解的解 0 d d C C u t u RC ：特解（强制分量）特解（强制分量） C u = US C u ：通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量） C u RC t CCC AUuuu e S i t R US 0 S d e (0) d t C RC uU iCt tR US C u 稳态分量稳态

21、分量 -US C u 暂态分量暂态分量 uC t 0 全解全解 )0( )e1(e S SS tUUUu RC t RC t C 强制分量强制分量(稳态稳态) 自由分量自由分量(暂态暂态) 能量关系：能量关系：电源提供能量一部分消耗在电阻上，电源提供能量一部分消耗在电阻上， 一部分储存在电容中，且一部分储存在电容中，且wC = wR 充电效率为充电效率为50% tR R U tRiw RC t R d)e(d 2 00 S 2 0 2 2 S e 2 RC t R URC C w CU 2 2 S R C 开关开关S 在在t=0时闭合，时闭合， 求求uC 的零状态响应。的零状态响应。 解法解法

22、1： t u C iu i C d d 1 2 C C u t u Cu ui d d 12 整理得整理得 64 d d 5 C C u t u C 64 d d 4 C C u t u 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程 通解通解 特解特解 解答形式为解答形式为 CCC uuu + - 4/5F i 1 1 1 2V 例例 + - 2i S + - - uC u V5 . 13 A5 . 024 iu ii C t C Au e5 . 1 则则 由初始值定系数由初始值定系数 A= 1.5 1.51.5eV(0) t C ut t C Au e 通通解解 特征根特征根 p= 1 044

23、p特征方程特征方程 特解特解(稳态分量稳态分量) 2V + - i 1 1 1 + - 2i + - - C u 稳态电路稳态电路 由稳态电路得由稳态电路得 1.51.5e V (0) t C ut s1 RC 解法解法2： （先对开关左边电路进行戴维南等效）（先对开关左边电路进行戴维南等效） + - 4/5F i 1 1 1 2V+ - 2i S + - - uC u + - 4/5F 1/4 1 1.5V + - uC 2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应 S d d UiR t i L L L S (1e)(0) R t L L U it R S d e(0) d R t L L

24、L i uLUt t 解解 iL(0 )=0求求: 电感电流电感电流iL(t)。 已知已知 LLL iii uL US t 0 t iL R US 0 R U AiL S 0)0( t L R A R U e S iL S(t=0) US + uR L + uL R 二、正弦电源激励下的二、正弦电源激励下的零状态响应零状态响应 Sm ( )sin() u u tUt )sin( d d mu tU t i LRi 强制分量（稳态分量）强制分量（稳态分量） 自由分量（暂态分量）自由分量（暂态分量） t Ai e R L u t uS 接入相位角接入相位角 iii 一阶齐次常微分方程一阶齐次常微分

25、方程 解答形式为解答形式为 iL(0 )=0 uS + - iL S(t=0) L + uL R 用相量法计算稳态分量用相量法计算稳态分量 i 22 m m )( LR U I R L arctg )sin( m u tIi t u AtIiii m e)sin( 定系数定系数 AIi u )sin(0)0( m )sin( m u IA u I LR U I m S j jXL L I + - R S U 相量模型相量模型 0 0 m 0 e)sin( t t t u t AtIi t uu ItIi mm e )sin()sin( 解答为解答为 讨论几种情况：讨论几种情况： （1） u =

26、0 即合闸时即合闸时 u = 合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。 （2） u- = /2 即即 u = /2 A = 0 无暂态分量无暂态分量 )sin( m u tIi m IA t Ii me t u ItIi mm e)sin( t u ItIi mm e)sin( 当当 u= + /2时时 mmax 2Ii i -Im Im i /2 i t 0 i 波形为波形为 t ItIi mm e)2/sin( 小结：小结： 1. 一阶电路的零状态响应是储能元件无初始储能时一阶电路的零状态响应是储能元件无初始储能时 由输入激励引起的响应。由输入激

27、励引起的响应。 2. 时间常数与激励源无关。时间常数与激励源无关。 3. 线性一阶电路的零状态响应与激励成正比。线性一阶电路的零状态响应与激励成正比。 返回目录返回目录 7.5 7.5 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 全响应全响应（complete response）：非零起始状态的电路受到）：非零起始状态的电路受到 外加外加 激励所引起的响应。激励所引起的响应。 S d d Uu t u RC C C 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程 = RC t C AUu S e 暂态解暂态解 t C Au e 解答形式为解答形式为 CCC uuu 稳态解稳态解 S UuC i S(t=0)

28、US + uR C + uC R uC (0-)=U0 强制分量强制分量(稳态分量稳态分量) 自由分量自由分量(暂态分量暂态分量) S0S ()e(0) t C uUUUt （1） 全响应全响应 = 强制分量（稳态分量）强制分量（稳态分量）+自由分量（暂态分量）自由分量（暂态分量） uC (0+) = A+US=U0A = U0 US 由起始值定由起始值定A： U0 uC 全响应全响应 t uC 0 稳态分量稳态分量 US C u USU0 暂态分量暂态分量 C u 一、一阶电路的全响应及其两种分解方式一、一阶电路的全响应及其两种分解方式 （2） 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输

29、入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应 S0 (1e)e(0) tt C uUUt S0S ()e(0) t C uUUUt 可表示为可表示为 = + i S(t=0) USC + uC R uC (0-)=U0 i S(t=0) USC + uC R uC (0-)=0 uC (0-)=U0 i S(t=0) C + uC R t uC 0 US 零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应 U0 零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应 S0 (1e)e(0) tt C uUUt 全响应全响应 S 10,2H,12V,RLU 已已知知例例 如图所示电路中如图所示电路中

30、， 求求iL, uL的全响应、零输入响应、零状态响应。的全响应、零输入响应、零状态响应。 S 2A,(0)1A L Ii。 S R LUS iL + 12 IS 解解 换路后可利用叠加定理将换路后可利用叠加定理将iL, uL的求解分解为下面三个电路。的求解分解为下面三个电路。 2H R L iLf f(0) 1A L i (a) 10 + uLf R L US + (b) 2H 10 12V e(0) 0 L i eL i + eL u R LIS e(0) 0 L i (c) 2A eL i 2H 10 + eL u 2H R L iLf f(0) 1A L i (a) 10 + uLf R

31、 L US + (b) 2H 10 12V e(0) 0 L i eL i + eL u R LIS e(0) 0 L i (c) 2A eL i 2H 10 + eL u 各响应分量为各响应分量为 /5 f 5 f ee A 10e V tt L t L i u 5 e 5 e 1.2(1e) A 12eV t L t L i u 5 e 5 e 2(1e) A 20e V t L t L i u 零输入响应为零输入响应为 /5 f 5 f ee A 10e V tt L t L i u 零状态响应为零状态响应为 5 eee 5 eee 3.2(1e) A 32e V t LLL t LLL

32、 iii uuu 零输入响应零输入响应 /5 f 5 f ee A 10e V tt L t L i u 零状态响应零状态响应 5 eee 5 eee 3.2(1e) A 32e V t LLL t LLL iii uuu 全响应为全响应为 5 fe 5 fe 3.22.2eA 22e V t LLL t LLL iii uuu 返回目录返回目录 7.6 7.6 求解一阶电路的三要素法求解一阶电路的三要素法 0 ( )( ) (0 )( )e t r trrr ( ) (0 ) r r 稳稳态态解解 三三要要素素起起始始值值 时时间间常常数数 线性非时变一阶电路的时域数学描述是一阶微分方程线性

33、非时变一阶电路的时域数学描述是一阶微分方程 。 ( )()e t r trA 令令 t = 0+ 0 (0 )( )rrA 0 (0 )()Arr 对于换路后有稳态的情况，一阶电路响应的一般形式为对于换路后有稳态的情况，一阶电路响应的一般形式为 IS RaRb C 21 21 )( RR LRR CRR)( ba 例例1 求求 的简便方法：的简便方法： uS LR2 R1 例例2 R等 等L C R等 等 （1） 独立电源置零。独立电源置零。 等等 等等 电电路路：电电路路： R L RLCRRC （2） 从从L或或 C两端求入端等效电阻，则两端求入端等效电阻，则 思考：思考： + - - R

34、1 R2 C1 C2E (t) ？ )( 21 21 21 CC RR RR R1R2C1 C2 独立电源置零后电路独立电源置零后电路 则则 例例1 已知：已知： t=0时合开关时合开关S，求，求 换路后的换路后的uC(t) 。 V2)0()0( CC uu V 3 2 1 12 2 )( C u s23 3 2 CR等 等 0.5 0.6671.333eV(0) t C ut 解解 1A 2 1 3F + - - uC S t/s uC 2 /V 667. 0 0 已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t = 0 时合时合 S1 , t =0.2s时合时合S2 求两次换路后的电感电流求两

35、次换路后的电感电流i(t)。 解解 0 t 0.2s A2)( s2 . 0 0)0( 1 i i A5)( s5 . 0 A26. 1)2 . 0( 2 i i A26. 1e22)2 . 0( 2 . 05 i Ae74. 35)( )2 . 0(2 t ti 例例2 i 10V 1H S1(t=0) S2(t=0.2s) 3 2 Ae74. 35 )2 . 0(2 t i Ae22 5t i (0 t 0.2s) ( t 0.2s) i t/s 0.2 5 /A 1.26 2 0 例例3 求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t)。 10k 10k uS+ - iC 100 F uC(

36、0-)=0 0.5 10 t/s uS/V 0 0 t 0.5s s5 . 010510100 36 RC mA1 10000 10 )0( C i 0)( C i mA e 2t C i t = 0.5s 时第时第2次换路次换路 5 . 02 e)5 . 0()5 . 0( CC ii ? )5 . 0()5 . 0( CC uu 解解10k 10k uS+ - iC 100 F uC(0-)=0 用三要素法求用三要素法求iC 要先求出要先求出uC(0.5+)，画出，画出0.5+ 电路，再求电路，再求iC(0.5+) s5 . 0V5)(0)0( CC uu V e55 2t C u 0 t 0.5s s5 . 0 0)( C i mAe632.