数字信号处理程佩青第三版课件_第三章_离散傅里叶变换

1、第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 (DFT) Discrete Fourier Transformation 第一节第一节 引引 言言 一、序列分类一、序列分类 对一个序列长度未加以任何限制，则一个序 列可分为： 无限长序列：n=-或n=0或n=- 0 有限长序列：0nN-1 有限长序列在数字信号处理是很重要的一种 序列。由于计算机容量的限制，只能对过程 进行逐段分析。 二、二、DFT的的引入引入 由于有限长序列，引入DFT (离散傅里叶变换)。 DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有 用工具。 DFT变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表 示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算

2、机DFT的有效快速算法-FFT, 因而使离散傅里 叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各种数字 信号处理的算法中起着核心的作用。 三、本章主要讨论三、本章主要讨论 离散傅里叶变换的推导 离散傅里叶变换的有关性质 离散傅里叶变换逼近连续时间信号的问题 第二节 傅里叶变换的几种形式 傅 里 叶 变 换 ： 建 立 以 时 间 t 为 自 变 量 的 “ 信 号 ” 与 以 频 率 f 为 自 变 量 的 “ 频 率 函 数 ”(频 谱) 之 间 的 某 种 变 换 关 系 . 所以“时间”或“频率”取连续还是离散值, 就形 成各种 不 同 形 式 的 傅 里 叶 变 换 对 。 在 深 入 讨

3、论 离 散 傅 里 叶 变 换 D F T 之 前 , 先 概 述 四种 不 同 形式 的 傅 里 叶 变 换 对 . 一、四种不同傅里叶变换对 傅 里 叶 级 数(FS): 连 续 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。 连 续 傅 里 叶 变 换(FT): 连 续 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。 序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT):离 散 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换. 离 散 傅 里 叶 变 换(DFT): 离 散 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换 1.傅 里 叶 级 数(FS) 周期连续时间信号 非

4、周期离散频谱密 度函数。 周期为Tp的周期性连续时间函数 x(t) 可展 成傅里叶级数X (jkW0) ,是离散非周期性频 谱 , 表 示为: FS 例子 通过以下 变 换 对 可 以 看 出 时 域 的 连 续 函 数 造 成 频 域 是 非 周 期 的 频 谱 函 数 , 而 频 域 的 离 散 频 谱 就 与 时 域 的 周 期 时 间 函 数 对 应 . (频域采样，时域周期延 拓) 2.连 续 傅 里 叶 变 换 (FT) 非周期连续时间信号通过连续傅里叶变换 (FT) 得到非周期连续频谱密度函数。 例子 从以下变换对可以看出时域 连 续 函 数 造成频 域是非周期的谱 , 而是时域

5、的非周期造成频域 是连续的谱 . 3.序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT) 非周期离散的时间信号DTFT (经过单位园 上的z变换) 得到周期性连续的频率函数。 例子 同样可看出,时域的离散造成频域的周期延拓 ,而 时域的非周期对应于频域的连续 . 4.离 散 傅 里 叶 变 换(DFT) 上面讨论的三种傅里叶变换对 ,都不适用在计算 机上运算 , 因为至少在一个域 ( 时 域 或 频 域 ) 中 , 函 数 是 连 续 的 . 因 为 从 数 字 计 算 角 度 , 我 们 感 兴 趣 的 是 时 域 及 频 域 都 是 离 散 的 情 况 , 这 就 是 我 们 这 里 要 谈 到

6、的 离 散 傅 里 叶 变 换 . 周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。 DFT的变换 总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期 延拓。 二、四种傅里叶变换形式的归纳 第三节 离散傅里叶级数(DFS) 我 们 首先 从 周 期 性 序 列 的 离 散 傅 里 叶 级 数(DFS) 开 始 讨 论 , 然 后 再 讨 论 可 作 为 周 期 函 数 一 个 周 期 的 有 限 长 序 列 的 离 散 傅 里 叶 变 换 (DFT). 一、DFS定义 设 为周 期 为 N 的 周 期

7、 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : 正 变 换 反变换 其中: )( nx 1 0 1 0 2 )( )( )( )( N n nk N N n nk N j WnxenxnxDFSkX 1 0 1 0 2 )( )( 1 )( )( N k nk N N k nk N j WkxekX N kXIDFSnx N j N eW 2 二、DFS离散傅里级数的推导 意义 用数字计算机对信号进行频谱分析时， 要求信号必须以离散值作为输入，而且 上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对 数字信号处理有实用价值。 但如果将前三种形式要么在时域上采样， 要么在

8、频域上采样，变成离散函数，就 可以在计算机上应用。所以我们要先了 解如何从以上三种形式推出DFS. 1.由非周期连续时间信号推出DFS 连续信号x(t)经过抽样为x(nT), 对离散 的时间信号进行DTFT得到周期连续频 谱密度函数。再经过抽样，得到周期 性离散频谱密度函数即为DFS. x(t) t 取样 x(t) t D T F T X(ejT) 采样 X(ejw) w 2.周期性连续时间信号函数 周期性连续时间信号函数经采样后，得 到周期性的离散时间函数(DFS)。 x(t) X(ejw) t w 采样 3.非周期离散时间信号 非周期离散时间信号经过序列傅里叶变换(即 单位园上的z变换)D

9、TFT, 得到周期连续谱密度 函数，再经采样为周期离散频谱密度函数 (DFS)。 x(t) t X(ejT) w X(ejw) DTFT 采 样 三、推导DFS正变换 以下由第三种傅里叶级数形式为例推导出离散付 里叶级数变换。 非周期信号x(n),其DTFT(单位园上z变换)为 其为周期连续频谱密度函数，对其进行采样，使 其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样 N个点，则两采样点间距为： n jnwjw enxeX)()( N 2 推导DFS正变换续 得到频间距为： 代入DTFT式子中得： k N w 2 12, 1 ,0Nk 1 0 2 2 )( )( )( N n k N jn k N

10、 w jw enxeXkX 12, 1 ,0Nk 四、DFS的反变换 即证： 证明： 已知 两边同乘以 ,并对一个周期求和 )( )( nxkX IDFT 1 0 2 )( )( N n k N jn enxkX 12, 1 , 0Nk kr N j e 2 DFS的反变换续 )( ) 1 )( )( ()( 1 0 )( 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 rxN e N nxN eenxekX N k nrk N j N n rk N j N k nk N j N n kr N j N k 根据正 交定理 nr nr 0 1 用n置换r得： 1 0 2 )( 1 )( N n

11、kn N j ekX N nx 12 , 1 ,0Nn 回顾DFS 设 x(n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : 正 变 换 反变换 1 0 1 0 2 )( )( )( )( N n nk N N n nk N j WnxenxnxDFSkX 2 1 0 1 0 1 ( ) ( )( ) ( ) N jnk N k N nk N k x nIDFS X kX k e N x k W N j N eW 2 其中: 五、离散傅里叶级数性质 可以由抽样z变换来解析DFS，它的许多性 质与z变换性质类似。 它们与z变换主要区

12、别为： (1) 与 两者具有周期性，与Z变 换不同。 (2)DFS在时域和频域之间具有严格的对偶 关系。 它们主要性质分为：线性、序列移位(循环 移位)、调制性、周期卷积和 )( nx)( kX (1)线性 )( )( )( )( 2121 kXbkXanxbnxaDFS (2)序列移位(循环、移位) 时域 频域 )( )( kXWmnxDFS mk N )( )( nxWlkXIDFS nl N (3)调制性 )( )( lkXnxWDFS nl N (4)时域卷积 周期卷积和与以前卷积不同，它的卷积 过程限在一个周期内称为周期卷积。 时域卷积等于频域相乘。 频域 ： )( )( )( 21

13、 kXkXkY 1 12 0 1 21 0 ( ) ( )( )() ( )() N m N m y nIDFS Y kx m x nm x m x nm (5)频域卷积 )( )( )( 21 nxnxny 1 0 12 1 0 21 )( )( 1 )( )( 1 )( )( N m N l mnXmX N lkXlX N nyDFSkY 时域： 第四节 离散傅里叶变换DFT 一、由DFS引出DFT的定义 周期序列实际上只有有限个序列值才有意义, 因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长 序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换 (DFT). 具 体 而 言, 我 们 把 (1) 时域

14、周期序列看作是有限长序列 x(n) 的周期 延拓; (2) 把频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期 延拓. 由DFS引出DFT的定义-续 (3) 这 样 我 们 只 要 把 DFS 的 定 义 式 两 边 取 主 值 区 间, 就 得 到 关 于 有 限 长 序 列 的 时 频 域 的 对 应 变 换 对. 这 就 是 数 字 信 号 处 理 课 程 里 最 重 要 的 变 换 - 离 散 傅 里 叶 变 换 (DFT). 二、DFT定义 正变换 反变换 X(k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对， 已知其中一个序列就能确定另一个序列。 1 0 1 0 2 )()()()( N n

15、 nk N N n nk N j WnxenxnxDFTkX 2 11 00 1 ( ) ( )( )( ) NN jnk nk N N kk x nIDFT X kX k ex k W N 注意 在 离 散 傅 里 叶 变 换 关 系 中 , 有 限 长 序 列 都 作 为 周 期 序 列 的 一 个 周 期 来 表 示 , 都 隐 含 有 周 期 性 意 义 . 三、DFT涉及的基本概念 1. 主 值(主值区间、主值序列) 2. 移 位(线性移位、圆周移位) 3. 卷 积(线性卷积、圆周卷积) 4. 对 称(序列的对称性、序列的对称分量) 5. 相 关(线性相关、圆周相关) 1. 主 值(

16、主值区间、主值序列) 主 值 区 间：设 有 限 长 序 列 x(n), 0nN-1 , 将 其 延 拓 为 周 期 序 列 , 周 期 序 列 长 度为N, 则它的 第 一 个 周 期 n = 0 到 n = N-1 的 区 间 称 为 主 值 区 间. 主 值 序 列: 设 有 限 长 序 列 x(n) , 0nN-1 , 将 其 延 拓 为 周 期 序 列 , 周 期 为 N , 则 主 值 区 间 内 的 序 列 x(n)= ,0nN-1 , 即 为 主 值 序列。 )( nx )( nx )( nx )( nx 2.移位 线线 性性 移移 位：位：序 列 沿 坐 标 轴 的 平 移

17、. 圆周移位：圆周移位：将 有 限 长 序 列 x(n) 以 长 度 N 为 周 期 延 拓 为 周 期 序 列, 并 加 以 线 性 移 位 后, 再 取 它 的 主 值 区 间 上 的 序 列 值, m 点 圆 周 移 位 记 作: 其 中(.)N 表 示 N 点 周 期 延 拓. )()()(nRmnxnx NNm (1)有 限 长 序 列 圆 周 移 位 的 实 现 步 骤 (2)例子1 2 1 3 1 0.5 (1)周期延拓：N=5时 n x(n) 2 1 3 1 x(n) 0.5 2 1 3 1 0.5 1 1 2 0.5 n (2)周期延拓：N=6时，补零加长 2 1 3 1 x

18、(n) 0.5 2 1 3 1 0.5 1 1 2 3 n 3 (2)例子 2 1 3 1 0.5 n x(n) (3)M=1时，左移(取主值) 1 3 1 x(n) 0.5 2 (4)M=-2时，右移(取主值) 2 1 3 1 n x(n) 0.5 n 3.卷 积 卷积在此我们主要介绍： (1)线性卷积 (2)圆周卷积 (3)圆周卷积与线性卷积的性质对比 (1)线性卷积 线 性 卷 积 定 义：有 限 长 序 列 x1(n), 0nN1-1; x2(n), 0nN2-1 则 线 性 卷 积 为 注意:线 性 卷 积 结 果 长 度 变 为 N1+N2-1 . m m mnxmx mnxmxn

19、xnxny )()( )()()(*)()( 12 2121 (2)圆周卷积 令 则圆 周 卷 积 结 果 长 度 不 变, 为 N. 11 1 1 ()01 () 01 xnnN xn NnN 22 2 2 ( )01 ( ) 01 xnnN xn NnN 1 0 12 1 0 21 21 )()()()( )()()( N m N N m N mnxmxmnxmx nxnxny 圆 周 卷 积 的 实 现 步 骤 例子线性卷积与圆周卷积步骤比较1 2 3 1 x(n) 54 n 0 N1=5 2 1 3 h(n) n0 N2=3 线性卷积： 圆周卷积：(N=7)补零加长 2 3 1 x(k

20、) 54 k 0 N1=5 2 3 1 x(k) 54 0 N=7 k 例子线性卷积与圆周卷积步骤比较2 2 3 1 h(k) 0 k (2)线卷积无需周期延拓， 而圆周卷积需进行周期延拓： 线卷积的反折： 圆卷积的反折(并取主值区间）： 2 3 1 2 3 1 2 3 1 h(-k) k 0 2 3 1 h(-k) k0 例子线性卷积与圆周卷积步骤比较3 (3)平移 2 3 1 h(1-k) k 0 2 3 1 h(1-k) k 0 （4）相乘 x(k)h(-k)=51=5 x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14 x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26 2 3 1 x(k)

21、54 k 0 2 3 1 x(k) 54 0 N=7 k x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14 x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8 x(k)h(6-k)=1*3=3 例子线性卷积与圆周卷积步骤比较4 (5)相加 得到线性卷积的示意图 相加 得到圆周卷积的示意图 14 26 5 n y(n) 2014 8 3 0 14 26 5 n y(n) 2014 8 3 0 可见可见,线性卷积与圆周卷积相同线性卷积与圆周卷积相同(当当 NN1(5)+N2(3)-1=7时时) 例子线性卷积与圆周卷积步骤比较5 若圆周卷积取长度为N=5,

22、则求圆周卷积 2 3 1 x(k) 54 0 N=5 k 2 3 1 h(-k) k 0 求得圆周卷积 x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13 x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17 x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26 x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14 看出圆卷积与线卷积不同. 17 13 26 y(n) n0 20 14 作业 求：(1)x(n)*x(n)的线卷积。 (2) ,N=4(不加长) (3) ,N=6(补零加长) (4) ,N=7(补零加长) (5) ,N=8(补零加长) 1

23、 2 x(n) 1 2 0 n )()(nxnx )()(nxnx )()(nxnx )()(nxnx (3)圆 周 卷 积 与 线 性 卷 积 的 性 质 对 比 4.对称性质 对称分为： (1)序列的对称性 (2)序列的对称分量 (1)序列的对称性 奇 对 称(序 列) 和 偶 对 称(序 列) 圆 周 奇 对 称(序 列) 和 圆 周 偶 对 称(序 列) 共 轭 对 称(序列) 和 共 轭 反 对 称 (序 列) 圆 周 共 轭 对 称(序列) 和 圆 周 共 轭 反 对 称 (序 列) a) 奇 对 称(序 列) 和 偶 对 称(序 列) 称x(n)与-x(-n)互为奇对称。 满足x

24、o(n)=-xo(-n)的序列xo(n)称为奇对称 序列。 称x(n) 与 x(-n) 互 为 偶 对 称 ; 满 足xe(n) = xe(-n) 的 序 列 xe(n) 称 为 偶 对 称 序 列 例子 0 xe(n) n 0 x(n) n0 x(-n) n 互为偶对称 为偶对称序列 0 x(n) n 0 x(-n) n 互为奇 对称 0 xo(n) n 为奇对称 序列 (b)圆 周 奇 对 称(序 列) 和 圆 周 偶 对 称(序 列) 长 度 为N的 有 限 长 序 列 x(n) 与-x(-n)NRN(n) 互 为 圆 周 奇 对 称. 长 度 为 N 的 有 限 长 序 列xo(n),

25、 若 满 足 xo(n)=-xo(-n)NRN(n) , 则xo(n) 是 圆 周 奇 对 称 序 列. 长度为 N 的有限长序列 x(n)与x(-n)NRN(n)互为 圆周偶对称. 长度为 N 的有限长序列 xe(n), 若满足 xe(n) = -xe(- n)NRN(n) 则是圆周偶对称序列. (c)共 轭 对 称(序列) 和 共 轭 反 对 称 (序 列) 序 列 x(n) 与 x*(-n) 互 为 共共 轭轭 对对 称称. 共 轭 对 称 序 列 是 满 足xe(n) = x*e(-n) 的 序 列 xe(n), 对 于 实 序 列 来 说, 这 一 条 件 变 成 xe(n)=xe(

26、-n) , 即 为 偶 对 称 序 列. 序列 x(n) 与-x*(-n) 互 为 共共 轭轭 反反 对对 称称. 共 轭 反 对 称 序 列 是 满 足xo(n)=-x*o(-n) 的 序 列 , 对 于 实 序 列 来 说 , 即 为 xo(n) = xo(-n) 奇 对 称 序 列. (d)圆圆 周周 共共 轭轭 对对 称称(序列序列) 和 圆 周 共 轭 反 对 称 (序 列) N点有限长序列 x(n) 与x*(-n)NRN(n) 互为圆周圆周 共轭对称共轭对称. 圆周共轭对称序列是满足 xep(n) = xep*(- n)NRN(n)的序列即 xep(n)的 模是 圆 周 偶 对 称

27、, 相 角是 圆 周 奇 对 称 (或 说 实 部 圆 周 偶 对 称, 虚 部 圆 周 奇 对 称). 即把xep(n)看成 分布在 N等分的圆上, 在 n = 0 的左半圆与右 半 圆上, 序列是共轭对称的。 圆圆 周周 共共 轭轭 对对 称称(序列序列)的例子的例子 虚部虚部 实部实部 实实 部部 圆圆 周周 偶偶 对对 称称, 虚虚 部部 圆圆 周周 奇奇 对对 称称 圆 周 共 轭 反 对 称 (序 列) 圆 周 共 轭 反对 称 序 列 是 满 足 xop(n) =-xop*(-n)NRN(n)的 序 列 即 xop(n)的 模 是 圆 周 奇 对 称, 相 角是 圆 周 偶 对

28、称 (或 说 实 部 圆 周 奇 对 称, 虚 部 圆 周 偶 对 称). 即把xop(n)看成分布在 N等分的 圆上, 在 n = 0 的左半圆与右半 圆上, 序列 是共轭反对称的。 圆 周 共 轭 反 对 称 (序 列)例子 实部实部 虚虚 部部 实实 部部 圆圆 周周 奇奇 对对 称称, 虚虚 部部 圆圆 周周 偶偶 对对 称称 (2) 序列的对称分量 奇 对 称 分 量 和 偶 对 称 分 量 圆 周 奇 对 称 分 量 和 圆 周 偶 对 称 分 量 共 轭 对 称 分 量 和 共 轭 反 对 称 分 量 圆 周 共 轭 对 称 分 量 和 圆 周 共 轭 反 对 称 分 量 a)奇

29、 对 称 分 量 和 偶 对 称 分 量 x(n)为任一序列 (实 或 纯 虚 序 列), x(n) 总能 表示成一个奇对称序列 xo(n)和 一个偶对称序 列xe(n) 之和,即x(n) = xo(n) + xe(n). 其中, xo(n)奇对称序列称为x(n) 的 奇 对 称 分 量; xe(n)偶 对 称 序 列 称 为 x(n) 的 偶 对 称 分 量. )()( 2 1 )( )()( 2 1 )( nxnxnx nxnxnx e o 看出这样得到的xo(n) 和xe(n) 分 别 满 足 奇对称和偶对称的条件, 且二者之和为 x(n)。 说明 若 x(n) 为 有 限 长 序 列

30、且0nN-1 , 则 与 的点 数 均 为 (2N-1). 区 别 于 奇 对 称(序列) 和 偶 对 称 (序 列). b)圆周奇对称分量和圆周偶对称分 量 设 x(n) 是 一 长 度 为 N 的 有 限 长 序 列 , 总 能 表 示 成 一 个 圆 周 奇 对 称 序 列 xop(n) 和 一 个 圆 周 偶 对 称 序 列xep(n) 之 和，即 x(n) = xep(n) + xop(n). 其 中 xop(n) 称 为 x(n) 的 圆 周 奇 对 称 分 量; xep(n)称 为 x(n) 的 圆 周 偶 对 称 分 量. 看 出 满 足 圆 周 奇 对 称 和 圆 周 偶 对

31、 称 的 条 件, 且 二 者 之 和 为 x(n). )()()( 2 1 )( )()()( 2 1 )( nRnNxnxnx nRnNxnxnx NNop NNNep c)共轭对称分量和共轭反对称分量 任 一 序 列 x(n) 总能表示成一个共轭对称序列 xo(n)和 一个共轭反对称序 列xe(n) 之和,即x(n)= xo(n)+ xe(n). 其中, xo(n)共轭反对称序列称为x(n) 的 共轭反 对 称 分 量; xe(n)共轭 对 称 序 列 称 为 x(n) 的 共轭 对 称 分 量. 看出xo(n) 和xe(n) 分 别 满 足 奇 对 称 和 偶 对 称 的 条 件, 且

32、 二 者 之 和 为 x(n)。 * * ()(1 / 2 )()() ()(1 / 2 )()() o e xnxnxn xnxnxn d)圆 周 共 轭 对 称 分 量 和 圆 周 共 轭 反 对 称 分 量 设 x(n) 是 一 长 度 为 N 的 有 限 长 序 列 , 总 能 表 示 成 一 个 圆 周 共轭反 对 称 序 列xop(n) 和 一 个 圆 周 共轭 对 称 序 列 xep(n) 之 和，即 x(n) = xep(n) + xop(n). 其 中 xop(n) 称 为 x(n) 的 圆 周共轭反 对 称 分 量; xep(n) 称 为 x(n) 的 圆 周 共轭 对 称

33、 分 量. 看 出 满 足 圆 周 奇 对 称 和 圆 周 偶 对 称 的 条 件, 且 二 者 之 和 为 x(n). )()()( 2 1 )( )()()( 2 1 )( * * nRnNxnxnx nRnNxnxnx NNop NNNep 4.相关 (1)线性相关 (2)圆周相关 (1)线性相关 设有限长序列 则线性相关定义为 线性相关结果长度变成N1+N2-1 11 22 ( ),01 ( ),01 xnnN xnnN 12 * 12 * 21 ()()() ()() NN m rmxnxnm xnxnm (2)圆周相关 设有限长序列 则x1(n)与x2(n)N点圆周相关定义为 注：

34、圆周相关结果长度不变为N。相关通信 中很重要。 11 22 ( ),01 ( ),01 xnnN xnnN 12 * 12 * 21 ()( )()( ) ( )()() N NNN n NN n rmx n xnmRn xn xnmRm 第五节 离散傅里叶变换 的性质 一、引入 在由DFS引出DFT的过程中我们知道， DFT本质上是和周期序列的DFS概念紧密 相关的，因而它们在性质上有着极大的 相似，并由DFT隐含周期性（对应于DFS 的显式周期性）所保证。 假定x1(n), x2(n)都是列长为N的有限序列， 它们的离散傅里叶变换分别为： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx

35、2(n) 二、DFT的性质和定理分类 线性 时间移位 频率移位 圆周卷积定理 圆周相关定理 对称性质 DFT形式的帕赛瓦尔定理能量计算公式 DFT的奇, 偶, 虚, 实关系 三、假设条件 设x1(n)，x2(n)都是两个有限列长为N的有 限序列,它们的离散傅里叶变换分别为： )(1)(1nxDFTkX )(2)(2nxDFTkX 四、性质 1）线性 则x1(n), x2(n)的线性组合有： 其中a, b为任一常数，本性质可由定义直接证明。 证： 1212 ( )( )( )( )DFT ax nbxnaXkbXk 2 1 0 22 11 12 00 12 1( )2( )1( )2( ) (

36、)( ) ( )( ) N jnk N n NN jnkjnk NN nn DFT ax nbxnax nbxn e ax n ebx n e aX kbXk 线性说明 如果x1(n)和x2(n)长度皆为N, 即0nN-1范围有 值, 则aX1(k)+bX2(k)的长度也是N; 若x1(n)和x2(n)长度不等, 设x1(n)长度为N1,x2(n) 长度为N2, 则ax1(n) + bx2(n)的长度应为 N=maxN1, N2, 故DFT必须按长度N计算。若 N1频域相乘 频域卷积-时域相乘 )()()()( 2121 kXkXnxnxDFT )()()()( 1 2121 nxnxDFTk

37、XkX N （4）圆 周 卷 积 定 理-2-说明 时 域 卷 积 对 应 于 频 域 相 乘, 而 时 域 相 乘 对 应 于 频 域 卷 积. 这 与 我 们 曾 学 过 的 其 他 变 换 （FT/L/Z)的 卷 积 定 理 是 相 似 的. 但 注 意, 由 于 DFT 隐 含 的 周 期 性, 卷 积 必 须 是 圆圆 周周 卷卷 积积 才 有 此 性 质. 注 意 第 二 个 关 系 中 的 系 数, 不 要 忽 略。 （4）圆周卷积定理-3 线卷积和圆卷积步骤比较 线卷积：反折、平移、相乘、积分（或相 加） 圆卷积：反折、周期化周期化、平移、相乘、相 加 （5）圆 周 相 关 定

38、 理 设x1(n)对x2(n)的互相关系数为RN1N2(m), 则 有： 请 不 要 弄 错 关 系 式 中x1(n), x2(n)及X1(k), X2(k)的顺序. 相 关 定 理 不 满 足 交 换 律, 这 点 和 卷 积 定 理 不 同 ! 有限长序列的相关运算可分为圆相关（循 环相关)与线相关两种形式通常可借助于圆 相关求线相关。 )()()( 2 * 21 1 kXkXmRDFT NN （复习)卷积 离散线卷积： 离散圆卷积： 离散线相关： 离散圆相关： 卷积与相关不同：y是共轭且y中为n - m, 卷 积与次序无关而相关与次序有关。 m mnymxnynx)()()(*)( m

39、N mnymxnynx)()()()( m xy nmymxnR)()()( * 1 0 * )()()()( N m NNxy nRnmymxnR 五、对 称 性 质 DFT 的对称性质较为复杂, 归为以下三类: 1. 共轭与圆周共轭对称在时频域的对应关系; 2. 实(虚) 部与圆周共轭对 称 (反对称) 分量在 时、频 域 的 对 应 关 系; 3. 时域为实序列时对应 DFT 特征 ; 另外, 在以上对称性质的基础上, 可归纳总 结出 x(n) 与 X(k) 的 奇, 偶 , 虚 , 实关系, 利 用 这 些 关 系, 可 减 少 计 算 DFT 时 的 运 算 量. 。 1.共轭与圆周

40、共轭对称 在时频域 的 对 应 关 系 设 x(n) 为 N 点 有 限 长 序 列, 0nN-1 则有： 如下关系1，关系2 和关系3. )()(Im)(Re)(kXnxjnxDFTnxDFT （1）关系1 时 域 x(n) 取 共 轭 , 对 应 于 频 域 X(k) 取 圆 周 共 轭 对 称. 若 x(n) 本 身 是 实 序 列, 对 应 于 频 域 X(k) 就 是 圆 周 共 轭 对 称 序 列 ; 反 之 亦 然 . )()()( )()()( * * kNXkRkNX kRkXnxDFT NN NN 证明 )( )()( )()( * 1 0 * 1 0 * kNX kXWn

41、x WnxnxDFT N n nk N N n nk N （2）关系2 时 域 x(n) 取 圆圆 周周 偶偶 对对 称称, 对 应 于 频 域 X(k) 也 取 圆圆 周周 偶偶 对对 称称. 若 x(n) 本 身 是 圆 周 偶 对 称 序 列, 对 应 频 域 X(k) 也 是 圆 周 偶 对 称 序 列; 反 之 亦 然. )()(kNXnNxDFT )()()()(kRkNXnRnNxDFT NNNN 证明 解释：设有限长N序列为y(n)=ye(n)+xo(n) 已知时 域 x(n) =ye(n)取圆周偶对称取圆周偶对称, 则有：对 应 于 频 域 X(k) 也 取 圆圆 周周 偶偶

42、 对对 称称. 如果y(n)是圆周偶对称序列，即只有ye(n) 分量，则X(k)当然也是圆周偶对称序列。 )()()(kRkYkX NNe （3）关系3 此 关 系 与 关 系1成 对 偶关系. 频 域 X(k) 取 共 轭, 对 应 于 时 域 x(n) 取 圆 周 共 轭 对 称. 若 X(k) 是 实 序 列, 则 对 应 时 域 x(n) 是 圆 周 共 轭 对 称 序 列; 反 之 亦 然 . )()( * kXnNxDFT )()()( * kXnRnNxDFT NN 2.实(虚 )部与圆周共轭对称(反对称) 分量 在 时 频 域 的 对 应关系 设x(n)为N点有限长序列0nN-

43、1 则有关系1，关系2，关系3： )()(Im)(Re )( kXnxjnxDFT nxDFT 关系1 时 域 x(n) 取 实 部, 对 应 频 域 取 X(k) 的 圆 周 共 轭 对 称 分 量. 若 x(n) 本 身 是 实 序 列 , 那 么 由 于 因 而 对 应 频 域 X(k) 是 圆 周 共 轭 对 称 序 列; 反 之 亦 然. )()()( )(Re kXepkXnxDFT nxDFT 关系2 时 域 x(n) 取 虚 部 并 加 权 j , 对 应 频 域 取 X(k) 的 圆 周 共 轭 反 对 称 分 量. 若x(n)本身是纯虚序列,那么X(k) )()()( 2

44、1 )( )(Im * kRkNXkXkX nxjDFT NNop )()()( )(Im kXkXnxDFT nxjDFT op 关系3 说明：（1）对时域x(n)取圆周共轭对称 分量(xep(n),即对频域X(k)取实部； 对时域x(n)取圆周共轭反对称分量 (xop(n),即对频域X(k)取虚部加权j； 若X(k)本身是实序列，则时域x(n)是圆周 共轭对称序列；若X(k)本身是纯虚序列， 则时域x(n)是圆周共轭反对称序列；反之 亦然。 )(Im)( )(Re)( kXjnXopDFT kXnXepDFT 3.时域是实序列时对应DFT特征 设x(n)为长度为N的有限长实序列, 0 nN

45、-1,DFTx(n)=X(k) 有以下几个特征：（5个） （1）特征1 X(k)=X*(N-k)NRN(k) 说明： （1）x(n)的DFT，即X(k)是圆周共轭对称序 列。 （2）是实（虚）部与圆周共轭对称（反对 称）分量在时域、频域的对应关系。 （2）特征2 ReX(k)=ReX(N-k)NRN(k) 说明： X(k)的实部是圆周偶对称序列。 （3）特征3 ImX(k)=-ImX(N-k)NRN(k) 说明： X(k)的虚部是圆周奇对称序列。 （4）特征4 |X(k)|=|X(N-k)N|RN(k) 说明： X(k)的模是圆周偶对称序列。 （5）特征5 argX(k)=-argX(N-k)

46、NRN(k) 说明： X(k)的相角是圆周奇对称序列。 4.序列及其DFT的奇偶虚实关系 由上对称性质基础上，可归纳总结出x(n) 与X(k)的奇、偶；虚、实关系，利用这 些关系，可以减少计算DFT的运算量。 下面总结归纳出有限长序列及其DFT的 奇、偶；虚、实关系。 这一关系清晰地展示了时域序列的奇、 偶；虚、实特性与频域序列的奇、偶； 虚、实特性是如何对应的。 (1)奇、偶；虚 、实的含义 所 谓 奇, 偶 , 虚 , 实 的 含 义 如 下 : 奇 - 指 序 列 是 圆 周 奇 对 称 序 列 偶 - 指 序 列 是 圆 周 偶 对 称 序 列 虚 - 指 序 列 是 纯 虚 序 列

47、实 - 指 序 列 是 实 序 列 (2)奇偶虚实关系表 六、DFT形式下的帕塞瓦尔定 理（Parsevals Theorem) 1 0 1 0 * )()( 1 )()( )()(),()( )()( N n N k kYkX N nynx kYnyDFTkXnxDFT Nnynx 则 点有限序列为、设 说明：（1）这是DFT形式下的帕塞瓦尔定理 (Parsevals,Theorem) (2)只需令y(n)=x(n),再两边取模，便得到明确物 理意义的能量计算公式。 证明Parseval定理 等的。与在频域计算能量是相 计算的能量表明：一个序列在时域 即： 则若令 （ 1 0 2 1 0 2

48、 1 0 * 1 0 * 1 0 * 1 0 1 0 * 1 0 1 0 * 1 0 * | )(| 1 | )(| )()( 1 )()( ),()( )()( 1 )()( 1 )( 1 )()()( N k N n N k N n N k N n kn N N k N n N k kn N N n kX N nx kXkX N nxnx nxny kYkX N WnxkY N WkY N nxnynx 七、DFT性质一览表1 七、DFT性质一览表2 第六节 采用DFT逼近连续连续时间信 号的傅里叶变换（级数） 采用DFT逼近连续时间信号的傅里 叶变换（级数） 我们知道DFT 的最初引入就

49、是为了使数 字计算机能够帮助分析连续时间信号的 频谱。 DFT的快速算法快速傅里叶变换 (FFT) 的出现使得DFT这种分析方法具有 实用价值和重要性。 我们这里将简单的讨论逼近的方法和同 时产生的问题。 1、讨论内容 用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换。 用DFT逼近连续周期信号的傅里叶级数。 用DFT逼近有限长信号的傅里叶变换。 用DFT做傅里叶变换(级数)的逼近时所产生的 问题。 2、用DFT逼近连续非周期信号 的傅里叶变换 在信号与系统中详细讨论的连续非周期信 号的傅里叶变换是连续非周期性的频谱函 数，数字计算机难于处理的，因而我们采 用 DFT对其进行逼近。 (1) 分析 设：对

50、连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔 为 T (时域)；对其连续非周期性的频谱函数进行频 域抽样，频域抽样周期为 F (频域). 又因时域抽样，频域必然周期延拓；且延拓周期为 时域抽样的频率值，即频域周期 fs = 1/ T ; 从频域抽样理论知识可知：频域抽样后对应时域按 频域抽样间隔的倒数周期延拓，即 Tp = 1/F . 对限长的信号计算机是不能处理的，必须对时域与 频域做截断，若时域取N点，则频域至少也要取N 点。(参见频域抽样不失真条件)。 我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示： 连续时间非周期信号的傅里叶变换对 连续时间非周期信号x(t)的傅里叶变换为 (2) 时域的抽样与截

51、断 W W n nTj n n nTt TenTxjX Tdt nTTndtTdtnTt nTtnTxtxnTxnx )()( ) 1( , )()()()()( 于是其频谱为： 时域抽样： 再进行时域截断：截断后序列的长度内包含有N 个抽样点。 其频谱为： 可见：时域抽样，抽样频率为 fs = 1/T, 则频域产生以fs 为周期的周期延拓，如果频域限带信号，则有可能不产 生混叠，成为连续周期频谱序列，其频域周期为Fp = fs = 1/T. W W 1 0 )()( N n nTj TenTxjX (3) 频域的抽样与截断 (4) 由对连续非周期信号进行频 域抽样就推出DFT变换式 把后两式

52、进行从连续域到离散域的必要 的处理，如令T = 1 等，就得到了我们熟 悉的DFT变换对定义式。 1 0 2 1 0 2 )( 1 )( ()()( N k nk N j N k nk N j DFTekX N nx DFTenxkX 的反变换）（ 的正变换） (5) 用 DFT逼近连续非周期信号 的傅里叶变换结论1 从以上分析，特别是最后得出的两式，不 难看出 ： 如果用DFT定义式去计算一个非周期 的信号的傅里叶变换，则频谱的正常电平 幅度与用DFT算得的频谱幅度相差一个加 权系数 T. W W 1 0 2 1 0 )()( )()( N k nk N j N k nTj nxDFTTen

53、Tx TenTxjX 即： (6) 用DFT逼近连续非周期信 号 的傅里叶变换结论2 同理，用IDFT定义式去计算一个非周期信号 的傅里叶反变换，则需再加权一个 N * F = fs. 由于 fs = 1 / T, 所以一个时间信号从时域到 频域再到时域的整个变换过程中，电平幅度 并未受到影响。 (7) 用DFT逼近连续非周期信号 的傅里叶变换注意点 用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变 换过程中除了对幅度的线性加权外，由 于用到了抽样与截断的方法，因此也会 带来一些可能产生的问题（如：混叠效可能产生的问题（如：混叠效 应，频谱泄漏，栅栏效应等）。应，频谱泄漏，栅栏效应等）。 3. 用DFT做

54、傅里叶变换 (级数) 的 逼近时所产生的问题 为了能在数字计算机上分析连续信号的 频谱，常常用DFT来逼近连续时间信号 的傅里叶变换，但同时也产生以下问题： 混叠现象 频谱泄漏 栅栏效应 (1) 混 叠 现 象 利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为 避免混叠失真，要求满足抽样定理，即奈奎斯 特准则： fs 2 fh 其中fs为抽样频率, fh 为信号最高频率。但此条 件只规定出 fs 的下限为 fh , 其上限要受抽样间隔 F的约束。 抽样间隔 F 即频率分辨力，它是记录长度的倒 数，即 Tp = 1 / F 若抽样点数为 N, 则抽样间隔与 fs 的关系为 F = fs / N 2fh /N . 混叠现象的结论 由F = fs / N 2fh / N 看出： 在 N 给定时，为避免混叠失真而一味提高抽样频率 fs , 必然导致 F 增加，即频率分辨力下降；反之，若要提 高频率分辨力即减小F, 则导致减小fs , 最终必须减小 信号的高频容量。 以上两点结论都是在记录长度内抽样点数 N 给定的 条件下得到的。所以在高频容量 fh 与频率分辨力 F 参 数中，保持其中一个不变而使另一个性能得以提高的 唯一办法，就是增加记录长度内的点数 N,