数值分析第二章 插值法

1、Ch2 插值法插值法 /* Interpolation */ 插值就是利用邻近点上已知函数值的加权平插值就是利用邻近点上已知函数值的加权平 均来估计未知函数值均来估计未知函数值 当精确函数当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一非常复杂或未知时，在一 系列节点系列节点 x0 xn 处测得函数值处测得函数值 y0 = f(x0), yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函，由此构造一个简单易算的近似函 数数 P(x) f(x)，满足条件，满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, n)。这里的。这里的 P(x) 称为称为f(x) 的的插值函数插值函数。最常。最常 用

2、的插值函数是用的插值函数是 ? 多项式多项式 x0 x1x2x3x4x P(x) f(x) 1 拉格朗日多项式拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */ niyxP iin ,., 0,)(= = = 求求 n 次多项式次多项式 使得使得 n nn xaxaaxP = = 10 )( 条件：条件：无重合节点，即无重合节点，即 ji xx ji n = 1 已知已知 (x0 , y0);( x1 , y1) ，求，求 xaaxP 101 )( = =使得使得 111001 )(,)(yxPyxP= = = 几何意义几何意义: P1(x) 是过是过 ( x0 , y0 )

3、和和 ( x1, y1 ) 两点的直线。两点的直线。 此时为线性插值此时为线性插值 1 拉格朗日多项式拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */ niyxP iin ,., 0,)(= = = 求求 n 次多项式次多项式 使得使得 n nn xaxaaxP = = 10 )( 条件：条件：无重合节点，即无重合节点，即 ji xx ji n = 1 已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求，求xaaxP 101 )( = =使得使得 111001 )(,)(yxPyxP= = = 可见可见 P1(x) 是过是过 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 )

4、 两点的直线。两点的直线。 )()( 0 01 01 01 xx xx yy yxP- - - - - - = = 10 1 xx xx - - - - 01 0 xx xx - - - - = y0 + y1 l0(x)l1(x) = = = = 1 0 )( i ii yxl 称为称为拉氏基函数拉氏基函数 /* Lagrange Basis */， 满足条件满足条件 li(xj)= ij /* Kronecker Delta */ 1 拉格朗日多项式拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */ )cos()(0.0,1.2 xxfy=上的曲线考虑 例例1 1 )(2

5、. 10 . 0 (a) 110 xPxx构造线性插值多项式和利用节点= )(0 . 12 . 0 (b) 110 xQxx构造线性插值多项式和利用节点= 例例2 2 1.3010,1g201,lg10 =已知 的近似值利用插值一次多项式求lg12 1 拉格朗日多项式拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */ n = 2 已知已知 (xk-1 , yk-1)、 (xk , yk)和和(xk+1 , yk+1) ，求，求 2 2102 )(xaxaaxP= 使得使得 几何意义几何意义: P2(x) 是过已知三点是过已知三点 (xk-1 , yk-1)、 (xk , yk)

6、和和 (xk+1 , yk+1) 的抛物线的抛物线 P2 (xk-1)=yk-1， P2 (xk)= yk和和 P2(xk+1)=yk+1 1 Lagrange Polynomial n 1 希望找到希望找到li(x)，i = 0, , n 使得使得 li(xj)= ij ；然后令；然后令 = = = = n i i in yxlxP 0 )()( ，则显然有，则显然有Pn(xi) = yi 。 li(x) 每个每个 li 有有 n 个根个根 x0 xi xn = = - -= =- - - -= = n j j i jiniii xxCxxxxxxCxl 0 0 )().().()( - -

7、 = = = j i ji iii xx Cxl )( 1 1)( = = - - - - = = n j ij ji j i xx xx xl 0 )( )( )( = = = = n i iin yxlxL 0 )()( Lagrange Polynomial 与与 有关，而与有关，而与 无关无关 节点节点f 1 Lagrange Polynomial 定理定理 (唯一性唯一性) 满足满足 的的 n 阶插值多阶插值多 项式是唯一存在的。项式是唯一存在的。 niyxL ii ,., 0,)(= 证明：证明： 反证：若不唯一，则除了反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一外还有另一 n 阶

8、多项阶多项 式式 Pn(x) 满足满足 Pn(xi) = yi 。 考察考察 则则 Qn 的阶数的阶数, )()()(xLxPxQ nnn -= n 而而 Qn 有有 个不同的根个不同的根n + 1x0 xn 一个次数小于等于一个次数小于等于n的多项式的多项式Qn(x)至多有至多有n个根个根 1 Lagrange Polynomial 定理定理 (唯一性唯一性) 满足满足 的的 n 阶插值多阶插值多 项式是唯一存在的。项式是唯一存在的。 niyxL ii ,., 0,)(= 证明：证明： 注：注：若不将多项式次数限制为若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式，则插值多项式不唯一不唯一。 例如

9、例如 也是一个插值也是一个插值 多项式，其中多项式，其中 可以是任意多项式。可以是任意多项式。 = = - - = = n i in xxxpxLxP 0 )()()()( )(xp 推论推论 1 Lagrange Polynomial 插值余项插值余项 /* Remainder */ 设节点设节点 )1( n f 在在a , b内存在内存在, 考察截断误差考察截断误差)()()(xLxfxR nn - -= = 上连续在,)( )( baxf n bxxxa n 10 定理定理 ,)(,)( )()( ）内内存存在在在在（上上连连续续，在在设设baxfbaxf nn1 的的是是满满足足条条件

10、件节节点点 jjnnn yxLxLbxxxa=)()(, 10 插插值值余余项项则则对对任任何何插插值值多多项项式式,bax )( )!1( )( )()()( 1 )1( x n f xLxfxR n n nn =-= ,),(xba且且依依赖赖于于这这里里)()()( 101nn xxxxxxx-= 1 Lagrange Polynomial 插值余项插值余项 /* Remainder */ 设节点设节点 )1( n f 在在a , b内存在内存在, 考察截断误差考察截断误差)()()(xLxfxR nn - -= = 上连续在,)( )( baxf n bxxxa n 10 Rolles

11、 Theorem: 若若 充分光滑，充分光滑， ，则，则 存在存在 使得使得 。 )(x 0)()( 10 = = =xx ),( 10 xx 0)(= = 推广：推广：若若0)()()( 210 = = = =xxx ),(),( 211100 xxxx 使得使得0)()( 10 = = = = ),( 10 使得使得0)(= = ),(, 0)( )( ba xx n =0)()( 0 = = = = n xx 1 Lagrange Polynomial Rn(x) 至少有至少有 个根个根n+1 = = - -= = n i in xxxKxR 0 )()()( 任意固定任意固定 x xi

12、 (i = 0, , n), 考察考察 = = - - -= = n i i xtxKtRnt 0 )()()()( (x)有有 n+2 个不同的根个不同的根 x0 xn x),(, 0)( )1( ba xx n = = !)1()()( )1( - nxKR x n n 注意这里是对注意这里是对 t 求导求导 = = - - - !)1)()()( )1()1( nxKLf x n nx n !)1( )( )( )1( = = n f xK x n = = - - = = n i i x n n xx n f xR 0 )1( )( ! ) 1( )( )( 1 Lagrange Pol

13、ynomial 注：注： 通常不能确定通常不能确定 x , 而是估计而是估计 , x (a,b) 将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。 1 )1( )( n n Mxf = = - - n i i n xx n M 0 1 | )!1( 当当 f(x) 为任一个次数为任一个次数 n 的的多项式多项式时，时， , 可知可知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项多项 式是式是精确精确的。的。 0)( )1( xf n 0)( xRn 1 Lagrange Polynomial 例：例：已知已知 2 3 3 sin, 2 1 4 sin, 2 1 6 sin= = = =

14、 分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。 解：解： 0 x 1 x 2 x 18 5 50 0 = n = 1分别利用分别利用x0, x1 以及以及 x1, x2 计算计算 4 , 6 10 =xx利用利用 2 1 6/4/ 6/ 2 1 4/6/ 4/ )( 1 - - - - - - - - = = xx xL 这里这里) 3 , 6 (,sin)(,sin)( )2( - -= = = xxx fxxf 而而) 4 )( 6 ( !2 )( )(, 2 3 sin 2 1 )2( 1 - - -= =

15、 xx f xR x x 00762. 0) 18 5 (01319. 0 1 - - - - R sin 50 = 0.7660444 ) 18 5 (50sin 1 0 L0.77614 外推外推 /* extrapolation */ 的实际误差的实际误差 - -0.010010.01001 3 , 4 21 = = =xx利用利用 sin 50 0.76008, 00660. 0 18 5 00538. 0 1 R 内插内插 /* interpolation */ 的实际误差的实际误差 0.005960.00596 内插通常优于外推。选择内插通常优于外推。选择 要计算的要计算的 x 所

16、在的区间的所在的区间的 端点，插值效果较好。端点，插值效果较好。 1 Lagrange Polynomial n = 2 2 3 )( )( 2 1 )( )( 2 1 )( )( )( 4363 46 3464 36 3646 34 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - = = xxxxxx xL ) 18 5 (50sin 2 0 L0.76543 2 3 cos 2 1 ;) 3 )( 4 )( 6 ( !3 cos )( 2 - - - - - - = = x x xxxxR 00077. 0 18 5 00044. 0 2 R sin 50 =

17、0.7660444 2次插值的实际误差次插值的实际误差 0.000610.00061 高次插值通常优于高次插值通常优于 低次插值低次插值 但绝对不是次数越但绝对不是次数越 高就越好，嘿高就越好，嘿 嘿嘿 课堂作业课堂作业 1.的的二二次次插插值值多多项项式式求求时时当当)(, 4 , 3, 0)(2 , 1, 1xfxfx-=-=, 2. 构构造造出出的的和和已已知知由由数数据据)2 , 2()3 , 1 (), 5 . 0(),0 , 0(y yxxP试试确确定定数数据据的的系系数数是是的的三三次次插插值值多多项项式式6, 3 3 )( 3.i ki kx x n i n ik k = =

18、- - = 00 )(:证明证明 牛顿插值牛顿插值 2 牛顿插值牛顿插值 /* Newtons Interpolation */ Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数全部基函数 li(x) 都需重新算过。都需重新算过。 的形式，希望每加一个节点时，的形式，希望每加一个节点时， 将将 Ln(x) 改写成改写成 .)()( 102010 - - - - - xxxxaxxaa ).( 10- - - - - nn xxxxa 只附加一项只附加一项上去即可。上去即可。 ? ? 差商差商( (亦称均差亦称均差) ) /* divided

19、 difference */ ),( )()( , ji ji ji ji xxji xx xfxf xxf - - - - = = 1阶差商阶差商 /* the 1st divided difference of f w.r.t. xi and xj */ )( , ,ki xx xxfxxf xxxf ki kjji kji - - - - = =2阶差商阶差商 2 Newtons Interpolation 1 1020 0 110 0 ,.,., ,.,., ,., - - - - - - - - - = = - - - - = = kk kkk k kK-1K-1 k xx xxfx

20、xxf xx xxxfxxxf xxf (k)阶差商：阶差商： = = = = k i ik i k x xf xxf 0 1 0 )( )( ,., 事实上事实上 其中其中,)()( 0 1 = = - -= = k i ik xxx = = - -= = k ij j jiik xxx 0 1 )()( Warning: my head is exploding What is the point of this formula? 差商的值与差商的值与 xi 的顺序无关！的顺序无关！ 2 Newtons Interpolation 牛顿插值牛顿插值 /* Newtons Interpola

21、tion */ ,)()()( 000 xxfxxxfxf- - = = ,)(, 101100 xxxfxxxxfxxf- - = = ,.,)(,.,., 0010nnnn xxxfxxxxfxxxf- - = = - - ).(.)()()( 10102010- - - - - - - - - - = = nnn xxxxaxxxxaxxaaxN 1 2 n- -1 1+ (x - - x0) 2+ + (x - - x0)(x - - xn- -1) n- -1 .)(,)(,)()( 102100100 - - - - - = =xxxxxxxfxxxxfxfxf ).(,., 10

22、0- - - - - nn xxxxxxf )().(,., 100nnn xxxxxxxxxf- - - - - - Nn(x) Rn(x) ai = f x0, , xi 2 Newtons Interpolation 注：注： 由由唯一性可知唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其只是算法不同，故其 余项也相同，即余项也相同，即 )( !)1( )( )(,., 1 )1( 10 x n f xxxxf k x n kn = = ),(, ! )( ,., maxmin )( 0 xx k f xxf k k = = 实际计算过程为实际计算过程为 f (x0) f (x1

23、) f (x2) f (xn- -1) f (xn) f x0, x1 f x1, x2 f xn- -1, xn f x0, x1 , x2 f xn- -2, xn- -1, xnf x0, , xn f (xn+1) f xn, xn+1 f xn- -1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1 课堂作业课堂作业 1. 构造出的和已知由数据)2 , 2()3 , 1 (), 5 . 0(),0 , 0(y yxxP试确定数据的系数是的三次插值多项式6, 3 3 )( 2. 数值表给出xxfln)(= 0.40.50.60.70.8 -0.916291-0.

24、693147-0.510826-0.356675-0.223144 x xln 的近似值算线性插值和二次插值计利用54. 0lnNewton 等距节点插值等距节点插值 2 Newtons Interpolation 等距节点公式等距节点公式 /* Formulae with Equal Spacing */ 向前差分向前差分 /* forward difference */ iii fff- -= = 1 i k i k i k i k ffff 1 1 11 )( - - - - - - - = = = = 向后差分向后差分 /* backward difference */ 1 11 -

25、- - - - - - = = i k i k i k fff i- -1ii fff- -= = 中心差分中心差分 /* centered difference */ 2 1 2 1 11 - - - - - - - -= = i k i k i k fff 其中其中 )( 2 2 1 h i i xff = = 当节点当节点等距等距分布时分布时: ),.,0( 0 nihixxi= = = = 2 Newtons Interpolation 差分的重要性质：差分的重要性质： 线性：例如 线性：例如gbfaxgbxfa = = )()( 若 若 f (x)是是 m 次多项式，则次多项式，则

26、是是 次多项次多项 式，而式，而 )0()(mkxf k km - )(0)(mkxf k = = 差分值可由函数值算出： 差分值可由函数值算出： = = - - - -= = n j jkn j k n f j n f 0 )1( = = - - - - - -= = n j njk jn k n f j n f 0 ) 1( ! )1).(1( j jnnn j n - - - = = 其中其中 /* binomial coefficients */ k k k hk f xxf ! ,., 0 0 = = k n k knnn hk f xxxf ! ,., 1 = = - - - k

27、k k h f f 0 )( )( = = 由由 Rn 表达式表达式 2 Newtons Interpolation 牛顿公式牛顿公式 ).(,.,.)(,)()( 1000100- - - - - - - = = nnn xxxxxxfxxxxfxfxN 牛顿前差公式牛顿前差公式 /* Newtons forward-difference formula */ 牛顿后差公式牛顿后差公式 /* Newtons backward-difference formula */ 将节点顺序倒置：将节点顺序倒置： ).(,.,.)(,)()( 101 xxxxxxfxxxxfxfxN nnnnnnn -

28、 - - - - = = - - 设设htxx = = 0 ，则，则 )()()( 0 0 0 xf k t htxNxN k n k nn = = = = = = ),(,).(1( )!1( )( )( 0 1 )1( n n n n xxhnttt n f xR - - - = = 设设htxx n = =，则，则)() 1()()( 0 n k n k k nnn xf k t htxNxN - - - -= = = = = = 注：注：一般当一般当 x 靠近靠近 x0 时用前插，靠近时用前插，靠近 xn 时用后插，故两时用后插，故两 种公式亦称为种公式亦称为表初公式表初公式和和表末公

29、式表末公式。 课堂作业课堂作业 1.给给出出数数据据表表如如下下 0.20.40.60.81.01.2 212523202124 x )(xf 的的近近似似值值用用三三次次插插值值多多项项式式计计算算)7 . 0() 1 (f 的的近近似似值值用用二二次次插插值值多多项项式式计计算算). 0()2(95f 4 分段低次插值分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */ 问题提出：问题提出： 随着插值节点数增加，插值多项式的次数也相应增随着插值节点数增加，插值多项式的次数也相应增 加，而对于高次插值容易带来剧烈震荡，带来数值加，而对于高次插值容易带

30、来剧烈震荡，带来数值 的不稳定性。的不稳定性。 既要增加插值节点，减小插值区间，又要不增加插值多项式既要增加插值节点，减小插值区间，又要不增加插值多项式 的次数以减小误差的次数以减小误差 分段插值分段插值 4 Piecewise Polynomial Approximation 分段线性插值分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */ 在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式 (直线直线) 逼近逼近 f (x): , 1 ii xx 1 11 1 1 )()( - - - - - - - - = = i ii i i ii i y xx x

31、x y xx xx xPxf ,for 1 ii xxx 记记 ，易证：当，易证：当 时，时，|max 1ii xxh- -= = 0h )()( 1 xfxP h 一致一致 失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。 1.,5 , 0 1 1 )( 2 上取等距插值节点在区间已知函数 x xfy = )5 . 4(f它求出线性插值函数，并利用如下表。求区间上分段 的近似值 012345 10.50.20.10.058820.03846 x )(xf 5 三次样条三次样条 /* Cubic Spline */ 高次插值函数计算量大高次插值函数计算量大,有剧烈震荡，带来数值的不有剧烈震荡，带来

32、数值的不 稳定性。分段线性插值在分段点上仅连续而不光滑。稳定性。分段线性插值在分段点上仅连续而不光滑。 样条函数样条函数 bxxxxanba n = 210 1,个个插插值值节节点点，上上取取在在 ，则则在在个个点点的的函函数数值值为为在在这这已已知知函函数数)(1)( kk xfynxfy= 满满足足次次样样条条插插值值函函数数的的上上函函数数)()(,xSmxfyba= 阶阶导导数数连连续续；上上直直到到在在）（1),()(1-mbaxS ；nkyxS kk , 1 , 0,)()2(= 次次多多项项式式。是是上上，在在区区间间mxSnkxx kk )() 1, 1 , 0(,)3( 1

33、-= 5 三次样条三次样条 /* Cubic Spline */ 定义定义 设设 。三次样条函数三次样条函数 , 且在每个且在每个 上为上为三次多项式三次多项式 /* cubic polynomial */。若它同。若它同 时还满足时还满足 ，则称为，则称为 f 的的三次样条插值函三次样条插值函 数数 /* cubic spline interpolant */. bxxxa n = = = =. 10 ,)( 2 baCxS , 1 ii xx ),., 0(),()(nixfxS ii = = = f(x) H(x) S(x) 5 Cubic Spline 构造三次样条插值函数的构造三次样

34、条插值函数的三弯矩法三弯矩法 /* method of bending moment */ 在在 上，记上，记, 1jj xx - - , 1- - - -= = jjj xxh ,for )()( 1 jj j xxxxSxS - - = = 对每个对每个j, 此为此为3次多项式次多项式 则则 Sj”(x) 为为 次多项式，需次多项式，需 个点的值确定之。个点的值确定之。12 设设 Sj”(xj- -1) = Mj- -1， Sj”(xj) = Mj 对应力学中的对应力学中的梁弯矩梁弯矩，故名，故名 对于对于x xj- -1, xj 可可得到得到 Sj”(x) = j j j j j j h

35、 xx M h xx M 1 1 - - - - - - - - 积分积分2次，可得次，可得 Sj(x) 和和 Sj(x) ： j j j j j j j A h xx M h xx M - - - - - - - - - - - 2 )( 2 )( 2 1 1 2 1 Sj(x) = jj j j j j j j BxA h xx M h xx M - - - - - - - - 6 )( 6 )( 3 1 3 1 Sj(x) = 利用已知利用已知 Sj(xj- -1) = yj- -1 Sj(xj) = yj 可解可解 5 Cubic Spline j jj j jj j h MM h y

36、y A 6 11- - - - - - - - - = = j j j j j j j j j jjj h xx h M y h xx h M yBxA 1221 1 ) 6 () 6 ( - - - - - - - - - - - - -= = 下面解决下面解决 Mj ： 利用利用S 在在 xj 的的连续性连续性 xj- -1, xj : Sj(x) = j jj jj j j j j j j h MM xxf h xx M h xx M 6 , 2 )( 2 )( 1 1 2 1 2 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 1 1 2 1 1 2

37、 1 6 , 2 )( 2 )( - - - - - - - - - - j jj jj j j j j j jh MM xxf h xx M h xx M xj , xj+1: Sj+1(x) = 利用利用Sj(xj) = Sj+1(xj)，合并关于，合并关于Mj- -1、 Mj、 Mj+1的同类项，并的同类项，并 记记 , , , 整理整理 后得到：后得到： 1 1 jj j j hh h =l l 1 jj -=l lm m),( 6 11 1 jjjj jj j xxfxxf hh g - - = 2 11 gMMM jjjjjj = - l lm m j 1n- -1 即：有即：有

38、个未知数，个未知数， 个方程。个方程。 n- -1n+1 = = - - - -1 1 0 11 11 2 2 n n nn g g M M l lm m l lm m 还需还需2个个边界条件边界条件 /* boundary conditions */ 5 Cubic Spline 第第1类边条件类边条件 /* clamped boundary */： S(a) = y0， S(b) = yn a , x1 : S1(x) = 1 01 10 1 2 1 1 2 1 0 6 , 2 )( 2 )( h MM xxf h ax M h xx M - - - - - - - - - - 010 1

39、 10 ),( 6 2g y0 xxf h MM= =- -= = nnn n nn gxxfyn h MM = =- -= = - - - ),( 6 2 11 类似地利用类似地利用 xn- -1, b 上的上的 Sn(x) 第第2类边条件：类边条件： S”(a) = y0” = M0， S”(b) = yn” = Mn 这时：这时： nnn ygyg = = = = = =2,0;2,0 000 m ml l 特别地，特别地，M0 = Mn = 0 称为称为自由边界自由边界 /* free boundary */，对应的对应的 样条函数称为样条函数称为自然样条自然样条 /* Natural

40、 Spline */。 第第3类边条件类边条件 /* periodic boundary */ ： 当当 f 为为周期函数周期函数时，时， yn = y0 ， S(a+) = S(b- -) M0 = Mn = = - - - nnnn nn g g M M 11 11 22 11 2 2 2 2 m ml l l lm m l lm m m ml l 5 Cubic Spline 注：注：另有另有三转角法三转角法得到样条函数，即设得到样条函数，即设 Sj(xj) = mj，则，则 易知易知xj- -1, xj 上的上的Sj(x) 就是就是Hermite函数函数。再利用。再利用S” 的连续性，

41、可导出关于的连续性，可导出关于mj 的方程组，加上边界条件的方程组，加上边界条件 即可解。即可解。 Cubic Spline 由由boundary conditions 唯一唯一确定。确定。 收敛性：收敛性：若若 ，且，且 ，则，则,baCf C h h i i min max 一致一致 S(x) f(x)0max i has 即即:提高精度只须提高精度只须增加节点增加节点, 而无须提高样条阶数。而无须提高样条阶数。 稳定性：稳定性：只要边条件保证只要边条件保证 | m m0 |, | l l0 |, | m mn |, | l l n | 2， 则方程组系数阵为则方程组系数阵为SDD阵阵，保

42、证数值稳定。保证数值稳定。 HW: p.131 #4 #5 5 Cubic Spline Sketch of the Algorithm: Cubic Spline 计算 计算 m mj , l l j , gj ; 计算 计算 Mj (追赶法等追赶法等) ; 找到 找到 x 所在区间所在区间 ( 即找到相应的即找到相应的 j ) ; 由该区间上的 由该区间上的 Sj(x) 算出算出 f(x) 的近似值。的近似值。 插值法小结插值法小结 Lagrange : 给出给出 y0 yn，选基函数，选基函数 li(x)，其次数为，其次数为 节点数节点数 1。 Newton Ln(x)，只是形式不同；节点等距或渐增节点只是形式不同；节点等距或渐增节点 时方便处理。时方便处理。 Spline：分段低次：分段低次, 自身光滑自身光滑, f 的导数只在边界给出。的导数只在边界给出。 课堂作业课堂作业 1.给给出出数数据据表表如如下下 0.250.300.390.450.53 0.50000.54770.62450.67080.7280 x )(xf ，并并满满足足条条件件：试试求求三三次次样样条条插插值值)(xS 6868. 0)53. 0(,0000. 1)25. 0() 1 (=SS 0)53. 0()25. 0()2(= = SS l定义：定