平面向量的加法及其几何意义

1、 1 向量向量：既有：既有 又有又有 的量叫向量的量叫向量 2 相等向量相等向量：长度：长度 且方向且方向 的向量的向量 叫相等向量。叫相等向量。 1 向量的关键特征是大小和方向向量的关键特征是大小和方向 一：复习一：复习 大小大小方向方向 相等相等相同相同 回忆回忆 说明说明： 2 向量可以平移到平面内的任一位置向量可以平移到平面内的任一位置 1 引例引例： 如图，某对象从如图，某对象从A点经点经B点到点到C点，两次位移点，两次位移 AB，BC的结果，与的结果，与A点直接到点直接到C点的位移点的位移AC . 二：新授二：新授 A B C 相同相同 =AB + BC AC 如图表示橡皮条在两个

2、力作用下，沿着如图表示橡皮条在两个力作用下，沿着GC的方向的方向 伸长了伸长了EO。 撤去力撤去力F1和和F2，用一个力，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条作用在橡皮条上，使橡皮条 沿着沿着相同的方向相同的方向伸长伸长相同的长度相同的长度。 问：力问：力F对橡皮条产生的效果，与力对橡皮条产生的效果，与力F1与与F2共同作用的共同作用的 效果效果 . 相同相同 改变力改变力F1和和F2的大小和方向，重复以上实验，观察的大小和方向，重复以上实验，观察F 与与F1，F2关系关系 . 结论：结论：F F1+F2= 2 加法的定义：加法的定义： 如图，已知如图，已知非零非零向量向量a、b在平面内在平面内

3、任取任取一点一点A，作，作AB=a， BC=b，则向量，则向量AC叫做叫做a与与b的和，记作的和，记作a+b，即，即 a+b=AB+BC=AC. 求两个向量和的运算，叫做求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法. 这种求向量和的这种求向量和的 方法称为方法称为向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则. 向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则： 如图以同一点如图以同一点O为起点的两个已知向量为起点的两个已知向量a,b为邻边为邻边 作作 OACB，则以，则以O为起点的对角线为起点的对角线OC就是就是a与与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做的和。我们把这种作两个向量和的方法叫

4、做向量向量 加法的平行四边形法则加法的平行四边形法则。 说明：说明： 1：用三角形法则作图要求：用三角形法则作图要求首尾相连首尾相连 AB C OA BC 说明：说明： 1：用三角形法则作图要求：用三角形法则作图要求首尾相连首尾相连 AB C OA BC AB C B ? 说明：说明： 1：用三角形法则作图要求：用三角形法则作图要求首尾相连首尾相连 AB C OA BC A B C B C B C B C B C B C B C B C B C B C B C B C B 说明：说明： 1：用三角形法则作图要求：用三角形法则作图要求首尾相连首尾相连 2：用平行四边形法则作图要求向量有：用平行四

5、边形法则作图要求向量有共同的起点共同的起点 规定：规定： a+00+ aa= = 3：三角形法则与平行四边形法则本质上是一致的：三角形法则与平行四边形法则本质上是一致的 说明：此规定是对向量加法定义的补充说明：此规定是对向量加法定义的补充 4: 实数相加结果是实数相加结果是数数，而向量相加结果是，而向量相加结果是向量向量. AB C OA BC a b O. A B O. A BC 3 3 . .例例1 1 已知向量已知向量a、b，求作向量，求作向量a+b. 作法作法1： 在平面内任取一点在平面内任取一点O， 作法作法2： 在平面内任取一点在平面内任取一点O， 作作OA= a， AB=b，则则

6、OB=a+b. 作作OA= a， OB=b， 连结连结OC，则，则OC=OA+OB=a+b. 以以OA、OB为为 邻边做邻边做 OACB， 练习练习1 已知向量已知向量a、b，用向量加法的三角形法则作向量，用向量加法的三角形法则作向量a+b. a b a b a b a b （1）（2）（3）（4） a b a+b （1） A B C a b a+b （2） AB C a+b a b （3） A B C a+b a b （4） A B C 用三角形法则作图的关键是首尾相连，结果由起点指向终点用三角形法则作图的关键是首尾相连，结果由起点指向终点 练习练习2 已知向量已知向量a、b，用向量加法的平

7、行四边形法则作向量，用向量加法的平行四边形法则作向量a+b. a b a b（1） （2） a+b a b （1） a+b a b （2） O A B C O A B C 用平行四边形法则作图的关键是将两向量平移到共同的起点用平行四边形法则作图的关键是将两向量平移到共同的起点 思考思考：当两个向量共线时，它们的加法与数的加法关系如何？当两个向量共线时，它们的加法与数的加法关系如何？ 结论：结论： a b a b （1） （2） 4. 1 两向量同向时，和的模等于模的和，两向量同向时，和的模等于模的和， 且方向与两向量的方向相同且方向与两向量的方向相同. 2 两向量异向时，和的模等于模的差的绝对

8、值，两向量异向时，和的模等于模的差的绝对值， 方向与模较大的向量的方向相同方向与模较大的向量的方向相同. A a+b B C a+b A BC （1） （2） a b a b 5探究：探究： 1 当当a、b不共线时，不共线时， |a+b|a|+|b| 2 当当a、b同向时，同向时， |a+b|a|+|b| = 3 当当a、b异向时，异向时， |a+b| |a|-|b| | = a+b A B C ab a+b A B C a b a+b A BC | |a|-|b| | 结论：结论：|a+b|a|+|b| |a|-|b| | AB C a b D a b a+b 6探究：探究： 数的加法满足交

9、换律与结合律，任意向量数的加法满足交换律与结合律，任意向量a、b的加法是否也的加法是否也 满足交换律与结合律？满足交换律与结合律？ 结论：结论： 交换律交换律：a+b=b+a a+b AB C D a b a b a+b 6探究：探究： 数的加法满足交换律与结合律，任意向量数的加法满足交换律与结合律，任意向量a、b的加法是否也的加法是否也 满足交换律与结合律？满足交换律与结合律？ 结论：结论： 交换律交换律：a+b=b+a A B C a b D ca+b+c a+b 结合律结合律：(a+b)+c=a+(b+c) AB C D a b a b a+b 6探究：探究： 数的加法满足交换律与结合律

10、，任意向量数的加法满足交换律与结合律，任意向量a、b的加法是否也的加法是否也 满足交换律与结合律？满足交换律与结合律？ 结论：结论： 交换律交换律：a+b=b+a A a B C D b ca+b+c b+c 结合律结合律：(a+b)+c=a+(b+c) a+b 练习练习3. 根据图示填空：根据图示填空： (1)a+d= ; (2)c+b= . 练习练习4. 根据图示填空：根据图示填空： (1)a+b= ; (2)c+d= . (3)a+b+d= ; (4)e+c+d= . AB C D a b c O d 第第3题图题图 A B C D a b c E d e f g 第第4题图题图 DA

11、CB c f f g d+a= e+(c+d)=(c+d)+e= 7.例例2 应应 用用 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如 图所示，一艘船从长江南岸图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以5km/h的速度向垂直的速度向垂直 于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. 7.例例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如 图所示，一艘船从长江南岸图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以5km/h的速度向垂

12、直的速度向垂直 于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. 应应 用用 B C A D 解解： ： （ （1）如图所示，如图所示，AD表示船速，表示船速，AB表示表示 水速，以水速，以AD、AB为邻边作为邻边作 ABCD，则，则 AC表示船实际航行的速度表示船实际航行的速度 . 例例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如 图所示，一艘船从长江南岸图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以5km/h的速度向垂直的速度向垂直 于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东于对岸的方向行驶

13、，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （保留两个有效数字）；（保留两个有效数字）； （2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到度）夹角表示，精确到度） . 答：船实际航行速度的大小约为答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h， 方向与水的流速间的夹角约为方向与水的流速间的夹角约为68 。 。 tanCAB= , 由计算器得由计算器得 CAB68 5 2 例例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如 长江两岸之

14、间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如 图所示，一艘船从长江南岸图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以5km/h的速度向垂直的速度向垂直 于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （保留两个有效数字）；（保留两个有效数字）； （2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到度）夹角表示，精确到度） . B C A D （2）在在Rt ABC中，中，|AB|=2，|BC|=5， |AC|= |AB|2+|BC| 2 = 2 2 +5 2 = 29 5.4 小结小结 1.向量加法的定义。向量加法的定义。 2.向量加法的几何意义，包括向量加法的几何意义，包括三角形法则三角形法则和和 3.对任意向量对任