2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元小结练习-1

1、学必求其心得，业必贵于专精第二章 圆锥曲线与方程单元小结 核心速填1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数（大于f1f2|）的点的轨迹平面内与两个定点f1,f2的距离的差的绝对值等于常数（小于|f1f2）的点的轨迹平面内与一个定点f和一条定直线l（l不经过点f)距离相等的点的轨迹标准方程1或1（ab0)1或1（a0，b0）y22px或y22px或x22py或x22py（p0）关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展,但有渐近线yx或yx无限延展,没有渐近线变量范围|x|a，|yb或ya，xbx|a或y|ax0或x

2、0或y0或y0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e，且00,b0)的渐近线方程为0（a0，b0)，即yx；双曲线1(a0,b0）的渐近线方程为0(a0，b0),即yx。（2)如果双曲线的渐近线为0时，它的双曲线方程可设为(0）3抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点f的弦长|ab|的一个重要结论（1)y22px(p0）中，|abx1x2p。（2)y22px(p0）中，|ab|x1x2p.（3）x22py（p0)中,aby1y2p。（4）x22py（p0）中，ab|y1y2p.体系构建题型探究类型一、圆锥曲线的定义及应用例1、（1）已知动点m的坐标满足方程53x4y

3、12|,则动点m的轨迹是()a椭圆b双曲线c抛物线d以上都不对（2)在平面直角坐标系xoy中,椭圆c的中心为原点,焦点f1，f2在x轴上,离心率为.过f1的直线l交c于a，b两点,且abf2的周长为16，那么c的方程为_. 【答案】(1）c(2）1【解析】（1）把轨迹方程53x4y12|写成。动点m到原点的距离与它到直线3x4y120的距离相等点m的轨迹是以原点为焦点，直线3x4y120为准线的抛物线(2)设椭圆方程为1（ab0），因为ab过f1且a，b在椭圆上，如图所示,则abf2的周长为|ab|af2|bf2af1|af2|bf1|bf24a16，a4。又离心率e,c2,b2a2c28，椭

4、圆c的方程为1.规律方法 “回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程;应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形,利用几何意义去解决提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件跟踪训练1点p是抛物线y28x上的任意一点，f是抛物线的焦点，点m的坐标是（2,3），求|pm|pf的最小值，并求出此时点p的坐标【答案】抛物线y28x的准线方程是x2,那么点p到焦点f的距离等

5、于它到准线x2的距离，过点p作pd垂直于准线x2，垂足为d，那么|pm|pf|pm|pd|。如图所示，根据平面几何知识,当m，p，d三点共线时，|pm|pf的值最小，且最小值为|md|2（2)4，所以|pm|pf|的最小值是4。此时点p的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点p的坐标是.类型二、圆锥曲线的方程例2、（1)已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f（1，0),离心率等于，则c的方程是（）a1b1c1 d1(2)已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_【答案】（1)d(2）x21【解析】（1)由题意得，解得，则b2a2c23，故椭圆方

6、程为1。（2)由题意得，解得，则b2c2a23,因此双曲线方程为x21。规律方法 求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量的步骤(1）定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式-根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m0，n0）(3）定量由题设中的条件找到“式中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小跟踪训练2（1)以x轴为对称轴,通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是（）ay28xby28xcy28x或y28xdx28y或x28y【答案】c由题意知2p8，故选

7、c(2)焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(）a1by21c1dx21【答案】a依题意，得a2，ac3,故c1，b，故所求椭圆的标准方程是1。类型三、圆锥曲线的几何性质例3、（1）如图2。1所示,f1，f2是椭圆c1:y21与双曲线c2的公共焦点,a，b分别是c1，c2在第二、四象限的公共点若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是()图2。1ab c d（2)已知ab0，椭圆c1的方程为1，双曲线c2的方程为1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为_思路探究（1)由椭圆可求出af1af2|,由矩形求出af1|2af2|2，再求出|af2

8、|af1即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率(2）根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出，再求渐近线方程【答案】（1）d（2)xy0【解析】（1）由椭圆可知|af1|af2|4,f1f22。因为四边形af1bf2为矩形，所以af1|2|af22f1f2212,所以2|af1|af2|（af1af2）2(af1|2|af2|2)16124，所以（af2|af1)2af12af222af1|af21248，所以|af2|af1|2，因此对于双曲线有a，c，所以c2的离心率e.（2）设椭圆c1和双曲线c2的离心率分别为e1和e2,则e1,e2.因为e1e2，所以，即,所以.故双曲线的

9、渐近线方程为yxx，即xy0。规律方法 求解离心率的三种方法（1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆（双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数，这是基本且常用的方法(2）方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.（3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观。跟踪训练3已知椭圆1(ab0)的半焦距是c,a，b分别是长轴、短轴的

10、一个端点，o为原点，若abo的面积是c2，则这一椭圆的离心率是（) a b cd【答案】aabc2,即a2（a2c2）12c4,所以(a23c2)（a24c2)0，所以a24c2，a2c，故e。类型四、直线与圆锥曲线的位置关系例4、已知椭圆1(ab0）经过点（0,),离心率为，左、右焦点分别为f1（c,0），f2(c，0）（1）求椭圆的方程；（2)若直线l:yxm与椭圆交于a，b两点，与以f1f2为直径的圆交于c,d两点,且满足，求直线l的方程思路探究（1）利用定义解题(2）利用勾股定理和弦长公式来解【答案】(1)由题设知解得a2,b,c1，椭圆的方程为1.（2）由（1）知,以f1f2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件.(2)相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切.（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。跟踪训练4已知椭圆e:1(ab0)，其焦点为f1，f2，离心率为，直线l:x2y20与x轴，y轴分别交于点a，b（1)若点a是椭圆e的一个顶点,求椭圆的方程；（2）若线段ab上存在点p满足|pf1pf2