北科自动化控制工程基础-第四章1

1、2021-6-181 第四章第四章 稳定性稳定性 4.1 4.1 线性系统稳定性的简介线性系统稳定性的简介 4.2 4.2 传递函数表示的系统稳定性判定传递函数表示的系统稳定性判定 4.3 4.3 状态空间表示的系统稳定性判定状态空间表示的系统稳定性判定 本章小结本章小结 2021-6-182 控制系统的三性：控制系统的三性：稳定性、稳态特性、动态特性稳定性、稳态特性、动态特性 稳定性稳定性是控制系统正常工作的前提，稳态误差是反映是控制系统正常工作的前提，稳态误差是反映 其其控制精度控制精度的一种度量，通常又称为稳态性能。的一种度量，通常又称为稳态性能。 在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的

2、技术指标。在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。 稳定性仅与系统的结构和参数相关，稳态误差与系统稳定性仅与系统的结构和参数相关，稳态误差与系统 的结构、输入信号的形式有很大关系。的结构、输入信号的形式有很大关系。 控制系统设计的任务之一就是要保证系统在控制系统设计的任务之一就是要保证系统在稳定稳定的前的前 提下，尽量地减小乃至消除提下，尽量地减小乃至消除稳态误差稳态误差。 ( )r t t ss e ( )c t 0 ( )r t t ss e ( )c t 0 ( )r t t ss e ( )c t 0 控制系统的三性分析控制系统的三性分析 2021-6-183 稳定是控制系统能

3、够正常运行的首要条件稳定是控制系统能够正常运行的首要条件 对系统进行各类品质指标的分析必须在系统对系统进行各类品质指标的分析必须在系统 稳定的稳定的 前提下进行。前提下进行。 自动控制理论的基本任务自动控制理论的基本任务( (之一之一) ) 分析系统的稳定性问题分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施提出保证系统稳定的措施 一、稳定性分析的重要性一、稳定性分析的重要性 4.14.1线性系统稳定性的简介线性系统稳定性的简介 2021-6-184 二、线性系统稳定性分析的理论框架二、线性系统稳定性分析的理论框架 第一第一 方法方法 第二第二 方法方法 稳定性分析稳定性分析 18921892年俄

4、国数学年俄国数学 家李雅普诺夫家李雅普诺夫 SISOSISO的代数的代数 分析方法分析方法 解析解析 方法方法 RouthRouth判据判据HouwitzHouwitz判据判据 根据根据SISOSISO闭环特闭环特 征方程的系数判征方程的系数判 定定系统的系统的稳定性稳定性 根据状态方程根据状态方程A A阵阵 判定系统的稳定性判定系统的稳定性 2021-6-185 A.Lyapunov(1857-1918)A.Lyapunov(1857-1918)， 俄国数学家（俄国数学家（Chebyshev Chebyshev 的学生，的学生，MarkovMarkov的同学），的同学）， 在他的博士论文中，

5、在他的博士论文中， LyapunovLyapunov系统地研究了由系统地研究了由 微分方程描述的一般运动微分方程描述的一般运动 的稳定性问题，建立了著的稳定性问题，建立了著 名的名的LaypunovLaypunov方法，他的方法，他的 工作为现代控制及非线性工作为现代控制及非线性 控制奠定了基础。控制奠定了基础。 三、线性系统稳定性分析的划时代人物三、线性系统稳定性分析的划时代人物 2021-6-186 4.2 4.2 传递函数表示的系统稳定性判定传递函数表示的系统稳定性判定 本小节是本章的重点，主要介绍以下内容：本小节是本章的重点，主要介绍以下内容： 4.2.1 SISO4.2.1 SISO

6、线性定常系统的稳定性问题线性定常系统的稳定性问题 4.2.2 Routh4.2.2 Routh稳定判据稳定判据 4.2.3 Routh4.2.3 Routh判据的两种特殊情况判据的两种特殊情况 4.2.4 Routh4.2.4 Routh判据的推广判据的推广 4.2.5 Routh4.2.5 Routh判据的应用判据的应用 2021-6-187 一、稳定性基本概念一、稳定性基本概念 1 1、稳定性稳定性 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态，任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态， 产生初始偏差。产生初始偏差。 所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，

7、由初始偏 差状态恢复到原平衡状态的性能。差状态恢复到原平衡状态的性能。 4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性 2 2、平衡状态平衡状态 系统不受外界作用自己运动达到使系统不受外界作用自己运动达到使 系统处于稳定（不运动）的状态。系统处于稳定（不运动）的状态。 称为平衡状态。称为平衡状态。 a b 2021-6-188 4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性 系统的平衡状态有：系统的平衡状态有：稳定稳定、不稳定不稳定、大范围稳定大范围稳定、局局 部稳定部稳定、渐进稳定渐进稳定等概念。等概念。 在本课程中，我们只

8、讨论渐进稳定的问题！在本课程中，我们只讨论渐进稳定的问题！ c b f d e g a 2021-6-189 4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性 李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：李雅普诺夫（渐进）稳定性定义： 若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时 间的推移逐渐衰减并趋于零或原平衡工作点，则称间的推移逐渐衰减并趋于零或原平衡工作点，则称 系统系统渐进稳定渐进稳定，简称稳定。反之，若初始扰动的影，简称稳定。反之，若初始扰动的影 响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称响下，系统的动态过程随时间的推移

9、而发散，则称 系统不稳定。系统不稳定。 在古典控制理论中的稳定均指渐进稳定！在古典控制理论中的稳定均指渐进稳定！ 2021-6-1810 4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性 由稳定性定义可知：由稳定性定义可知： 1 1）线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特征（结）线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特征（结 构、参数），与系统的输入信号无关。构、参数），与系统的输入信号无关。 2 2）若处于平衡状态的线性定常系统在脉冲信号的作若处于平衡状态的线性定常系统在脉冲信号的作 用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则该线用下，系统的响应最终能够回到平衡状

10、态，则该线 性定常系统稳定。性定常系统稳定。 2021-6-1811 4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性 11 ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Y sC sG s U sG s c tLC sLG s 对于脉冲响应，我们有：对于脉冲响应，我们有： () 1Lt 显然，系统是否稳定取决于显然，系统是否稳定取决于G(s)G(s)极点在极点在S S平面中的位置。平面中的位置。 结论结论1 1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲脉冲 响应函数趋于零响应函数趋于零，则该线性定常系统稳定。，则

11、该线性定常系统稳定。 系统是稳定的。系统是稳定的。 lim ( )0 t c t 系统仍能回到原有的平衡状态系统仍能回到原有的平衡状态 简证：简证： 所以所以 2021-6-1812 4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性 若系统闭环传递函数的所有极点全部若系统闭环传递函数的所有极点全部 位于位于S S左左 半平面，则系统稳定。半平面，则系统稳定。 则脉冲响应为：则脉冲响应为： 令系统的闭环传递函数含有令系统的闭环传递函数含有q q个实数极点和个实数极点和r r对复数对复数 极点：极点： )2()( )( )()( 2 2 11 1 +P+P +P n

12、knkk r k j q j i m i SSPS ZSK ssG wwx f + r k r k knk t kknk t k q j tp j teCteBeAt g nkknkk j 11 22 1 1cos1sin)(xwxw wxwx 显然只有当系统闭环传递函数的所有极点全部位于显然只有当系统闭环传递函数的所有极点全部位于S S左左 半平面时，半平面时，g(t)|g(t)|t t 0 0 成立，即系统才稳定。成立，即系统才稳定。 2021-6-1813 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性 2021-

13、6-1814 4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性 如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶阶 跃响应函数趋于某一个常数跃响应函数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。，则该线性定常系统稳定。 这个推论的证明请同学们自行完成。这个推论的证明请同学们自行完成。 临界稳定临界稳定：当系统的极点有在虚轴上时，系统的输出：当系统的极点有在虚轴上时，系统的输出 将会出现等幅振荡的状态，称之为临界稳定状态。将会出现等幅振荡的状态，称之为临界稳定状态。 稳定裕度稳定裕度的概念：的概念： S S平面平面 2021-6-1815 三、

14、三、SISOSISO线性定常系统的稳定性分析方法：线性定常系统的稳定性分析方法： 求脉冲响应求脉冲响应 求阶跃响应求阶跃响应 求系统的闭环特征根求系统的闭环特征根 不易求不易求 其它简单的判定方法其它简单的判定方法? ? 2021-6-1816 4.2.2 Routh4.2.2 Routh稳定判据稳定判据(Routh(Rouths stability criterion) s stability criterion) Routh Routh表表 将闭环特征方程将闭环特征方程 的各项系数，按的各项系数，按 右面的格式排成右面的格式排成 RouthRouth表。表。 1 0 21 1 321 2

15、321 3 4321 2 7531 1 6420 fS eeS dddS cccS abbbS aaaaS aaaaS n n n n 00 0 1 2 2 1 10 + + + + + + + aaSaSaSaSa nn nnn 系统闭环特征方程系统闭环特征方程 1 3021 1 a aaaa b 1 5041 2 a aaaa b 1321 1 1 bab a c b 1531 2 1 bab a c b 2021-6-1817 系统渐进稳定的必要条件是系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数特征方程的系数均大于零均大于零。 如果劳斯表中如果劳斯表中第一列的系数第一列的系数均为均为正值正值，

16、则其特征方程式，则其特征方程式 的根都在的根都在S S的左半平面，相应的系统是稳定的。的左半平面，相应的系统是稳定的。 如果劳斯表中如果劳斯表中第一列系数的符号有变化第一列系数的符号有变化，则符号的变化，则符号的变化 次数等于该特征方程式的根在次数等于该特征方程式的根在S S的右半平面上的个数，相的右半平面上的个数，相 应的系统为不稳定。应的系统为不稳定。 劳劳 斯斯 稳稳 定定 判判 据据 表中表中 这样可求得这样可求得 n+1n+1行系数行系数 1 2121 1 1 4171 3 1 3151 2 1 2131 1 1 7061 3 1 5041 2 1 3021 1 , , e edde

17、 f b baab c b baab c b baab c a aaaa b a aaaa b a aaaa b 2021-6-1818 0103 . 25175 .41 423 +SSS 例例4.2-14.2-1 试用劳斯判据判别系统的稳定性试用劳斯判据判别系统的稳定性。 列劳斯表列劳斯表 40 1 42 3 103 . 2 5 .38 0103 . 25 .41 05171 S S S S 由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有 二个根在二个根在S S的右半平面，因而系统是不稳定的。的右半平面，因而系统是不稳定的。 已知某一调速

18、系统的闭环特征方程式为：已知某一调速系统的闭环特征方程式为： 2021-6-1819 4.2.3 Routh4.2.3 Routh判据的两种特殊情况判据的两种特殊情况 劳斯表某一行中的第一项元素等于劳斯表某一行中的第一项元素等于0 0，而该行的其余各项，而该行的其余各项 不等于不等于0 0或没有其余项。或没有其余项。 以一个很小的正数以一个很小的正数 来代替为来代替为0 0的这项，据此算出其的这项，据此算出其 余的各项，完成劳斯表的排列。余的各项，完成劳斯表的排列。 解决的办法解决的办法 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数 就等于该方程

19、在就等于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的 如果第一列如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则上面的系数与下面的系数符号相同，则 表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为 结结 论论 2021-6-1820 已知系统的闭环特征方程式为已知系统的闭环特征方程式为 022 23 +SSS 试判别相应系统的稳定性。试判别相应系统的稳定性。 2 )(0 22 11 0 1 2 3 S S S S 由于表中第一列由于表中第一列 上面元素的符号与其下面元素的符号相同，上面元素的符号与其下面元素的符号相同， 所以该闭环特征

20、方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为所以该闭环特征方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为 临界稳定系统临界稳定系统( (这在工业上属于不稳定的系统这在工业上属于不稳定的系统) )。 例4.2-2 列劳斯表列劳斯表 2021-6-1821 劳斯表某一行元素全为劳斯表某一行元素全为0 0。这表示相应方程中含有一些大。这表示相应方程中含有一些大 小相等符号相反的实根或共轭虚根小相等符号相反的实根或共轭虚根( (关于原点对称的根关于原点对称的根) )。 利用系数全为利用系数全为0 0行的上一行系数构造一个辅助多项行的上一行系数构造一个辅助多项 式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为式，并以

21、这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为 全全0 0的行。从而完成劳斯表的排列。的行。从而完成劳斯表的排列。 解决解决 办法办法 关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而 且其根的数目总是偶数的。且其根的数目总是偶数的。 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等 于该方程在于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的 如果第一列如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共 轭纯虚根存在，相应的系统为轭纯虚根

22、存在，相应的系统为 结结 论论 4.2.3 Routh4.2.3 Routh判据的两种特殊情况判据的两种特殊情况 2021-6-1822 16 0 3 8 166 248 000 16122 016122 162081 0 1 2 3 4 5 6 S S S S S S S 01616201282 23456 +SSSSSS 由于第一列的系数均由于第一列的系数均 为正值，表明该方程为正值，表明该方程 在在S S右半平面上没有右半平面上没有 特征根。特征根。 该系统处于临界该系统处于临界 稳定状态稳定状态。 已知系统的闭环特征方程式为已知系统的闭环特征方程式为 试判别相应系统的稳定性。试判别相应

23、系统的稳定性。 例4.2-3 列劳斯表列劳斯表 ss ds sdF 248 )( 3 + 2,2jj 令令F(s)=0F(s)=0，求得：，求得： sssF16122)( 24 += 2021-6-1823 4.2.4 Routh4.2.4 Routh判据的推广判据的推广 实际系统希望实际系统希望S S左半平面上的根距离左半平面上的根距离 虚轴有一定的距离。这种系统在系统虚轴有一定的距离。这种系统在系统 参数发生一定变化时仍能保持稳定。参数发生一定变化时仍能保持稳定。 此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中 最靠近虚轴的根离虚轴有多远，从而了解系统

24、稳定最靠近虚轴的根离虚轴有多远，从而了解系统稳定 的的“程度程度”稳定裕度。稳定裕度。 令令s=ss=s1 1-a-a，代入原系统的闭环特征方程中，得到，代入原系统的闭环特征方程中，得到 以以s s1 1 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该 方程中是否有根位于垂线方程中是否有根位于垂线s s1 1=-a=-a右侧。右侧。 1 s a 0 2021-6-1824 用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程例例4.2-44.2-4 列劳斯表列劳斯表 0413102 23 +SSS 是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并检验有几个根在的

25、右半平面上，并检验有几个根在 的右方。的右方。 1S 4 2 .12 10 8130 410 132 0 1 2 3 S S S S 第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。 s s 1 1 s s -1 -10 0 j j 2021-6-1825 令令S=Z-1S=Z-1代入特征方程：代入特征方程： 04) 1( 3) 1(10) 1(2 23 +ZZZ 0142 23 +ZZZ 式中有负号，显然有根在式中有负号，显然有根在1S的右方的右方。 。 列劳斯表列劳斯表 1 2 1 14 12 0 1 2 3 S S S S 第一列的系数符号

26、变第一列的系数符号变 化了一次，表示原方化了一次，表示原方 程有一个根在垂直直程有一个根在垂直直 线线 的右方。的右方。 1S 0413102 23 +SSS 2021-6-1826 4.2.5 Routh4.2.5 Routh判据的应用判据的应用 例例4.2-54.2-5 1 1 系统参数稳定范围的确定系统参数稳定范围的确定 已知某调速系统的特征方程式为已知某调速系统的特征方程式为 0)1 (16705175 .41 23 +KSSS 求该系统稳定的求该系统稳定的K K值范围。值范围。 )1 (1670 0 5 .41 )1 (16705175 .41 0)1 (16705 .41 0517

27、1 0 1 2 3 KS K S KS S + + + 由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数 必须全为正值：必须全为正值： + + 0)1 (1670 0)1 ( 2 .40517 K K 9 .111K 列劳斯表列劳斯表 2021-6-1827 第一列均为正值，第一列均为正值，S S全部位全部位 于左半平面，故系统稳定。于左半平面，故系统稳定。 已知一单位反馈控制系统如下图所示，试回答：已知一单位反馈控制系统如下图所示，试回答： )(sR)(sC sKt ）（10)5( 20 +sss )(sGc 时，闭环系统是否稳定？时，闭环

28、系统是否稳定？ s sK sG p c ) 1( )( + 时，闭环系统的稳定条件是什么？时，闭环系统的稳定条件是什么？ 1)(sGc 例4.2-6 1)(sGc 20 15 20750 2015 501 0 1 2 3 S S S S 时，闭环系统时，闭环系统的的特征方程为特征方程为: : 0205015 23 =+ SSS 2021-6-1828 闭环特征方程为：闭环特征方程为： 020205015 234 + pp KSKSSS s sK sG p c ) 1( )( + 开环传递函数：开环传递函数： )10)(5( ) 1(20 )()( 2 + + SSS SK sGsG p c 列

29、列 劳劳 斯斯 表表 4 3 2 1 0 15020 15200 75020 20 15 75020 2015 20 15 (75020)/15 20 p p p p p pP p p sK sK K sK K KK s K sK 2021-6-1829 因此，利用劳斯稳定判据可确定系统一因此，利用劳斯稳定判据可确定系统一 个或两个可调参数对系统稳定性的影响。个或两个可调参数对系统稳定性的影响。 欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值 0 p K 5 .37020750 pp KK 020525015 15 20750 0 15 20750 )15 15 20

30、750 (20 p p p p p K K K K K 5 .26 p K 5 .260 p K 2021-6-1830 + )sT)(sT( s k 11 21 + 系统闭环特征方程为：系统闭环特征方程为： 0 2 21 3 21 +kss )TT(sTT 0 2121 + k TkTTT 0 11 21 +k TT 为稳定条件为稳定条件 例4.2-7 系统结构图如下所示，确定系统参数使系统稳定。系统结构图如下所示，确定系统参数使系统稳定。 S3 T1T2 1 S2 T1+T2 k S1 0 S0 k 0 1212 12 (T +T )-kTT T +T 2021-6-1831 当当K=2K

31、=2时，时， RouthRouth表的第三、表的第三、 五行元素全为五行元素全为0 0。 系统将有对称于系统将有对称于 原点的闭环特征原点的闭环特征 根。根。 2 2 求特殊情况下系统的闭环特征根求特殊情况下系统的闭环特征根 例例4.2-84.2-8 已知某系统的闭环特征方程为：已知某系统的闭环特征方程为： 5432 SSKS2S +S+1=0+ 试确定使系统有对称于原点的闭环特征根的试确定使系统有对称于原点的闭环特征根的K K值，并求出此时值，并求出此时 系统的所有闭环特征根系统的所有闭环特征根。 5 4 3 2 1 0 S1K1 S121 SK-20 S21 K-2 S 3 S1 42 S

32、2S10+ ，进而得，进而得 列劳斯表列劳斯表 2021-6-1832 4.3 4.3 状态空间表示的系统稳定性判定状态空间表示的系统稳定性判定 定理定理4.1:4.1: 线性定常系统线性定常系统 xAxbu ycxdu + + 平衡状态平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵渐近稳定的充要条件是矩阵 A A的所有特征值均具有负实部的所有特征值均具有负实部. . 0 e x 证明：证明：，由其齐次解，由其齐次解 可知：若可知：若A A的特征的特征 0 ( )( ) At x te x t 则当则当 有界，有界， 0(t)0(t)。 0 x( )x t值均具有负实部。值均具有负实部。 系统输出稳定：系

33、统输出稳定：如果系统对于有界输入如果系统对于有界输入u u 所引起的输出所引起的输出y y是有是有 界的界的. .则称系统为输出稳定则称系统为输出稳定. . 定理定理4.24.2：线性定常系统线性定常系统 输出稳定的充要条件是传输出稳定的充要条件是传 函函 的极点全部位于的极点全部位于s s的左半平面的左半平面. . ( , , )A b c 1 ( )()G Sc SIAb 2021-6-1833 设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为: : 101 1,0 011 xxuyx + 试分析系统的状态稳定性与输出稳定性试分析系统的状态稳定性与输出稳定性. . 1) 1)有有A A的特

34、征方程的特征方程: : det(1)(1)0IA+ 可知系统的状态是不稳定的可知系统的状态是不稳定的. . 2)2)由系统的传递函数由系统的传递函数: : 1 11 ( )c() (1)(1)1 s W SSIAb sss + 故系统输出稳定故系统输出稳定. .这是因为具有正实部的特征值这是因为具有正实部的特征值 2 1 + 被系统的零点被系统的零点s=+1 s=+1 对消了，不稳定部分被掩盖。对消了，不稳定部分被掩盖。 例4.3-1 2021-6-1834 说明说明: :1) 1)这种系统在实际应用时是极不可靠的。若系统这种系统在实际应用时是极不可靠的。若系统 参数发生变化参数发生变化, ,

35、则零、极点就无法实现对消。则零、极点就无法实现对消。 这样输出就能表现出不稳定特性。这样输出就能表现出不稳定特性。 2)2)只有当只有当 不出现不稳定的零、极点对消不出现不稳定的零、极点对消( (可以可以 有稳定的零、极点对消有稳定的零、极点对消) )， 的稳定性才与的稳定性才与 ( )G S ( )W S ( , , )Ab c 的稳定性是一致的的稳定性是一致的. . 2021-6-1835 G(s) ( ) ( ) xAxBu ycx xf x yg x + U(s) u(t) Y(s) y(t) 平衡点：平衡点：0 x BIBOBIBO稳定：稳定：如果系统对于有如果系统对于有 界输入界输

36、入u u 所引起的输出所引起的输出y y 是是 有界的有界的. .则称系统为输出稳定则称系统为输出稳定. . 李氏稳定：李氏稳定：对于自治系统对于自治系统 ( , )xf x t, ,如果对任意实数如果对任意实数 0 存在实数存在实数 0 ( , )0t , ,使得满足不等式使得满足不等式 00 ( )( , ) e x txt 初态初态 00) (xtx出发的解出发的解, , 在在 时均有时均有 成立。成立。 0 tt e xtx )( 0 ( )( , )x tt x t , ,都对应都对应 的任意的任意 传递函数的极传递函数的极 点具有负实部；点具有负实部； 劳斯判据劳斯判据 渐进稳定：

37、渐进稳定：lim x(t)=xe,系统在系统在xe处渐进稳定处渐进稳定 A矩阵的特征根矩阵的特征根 具有负实部；具有负实部； 大范围渐进稳定：大范围渐进稳定：对任给的初始状态都有在对任给的初始状态都有在xe处渐进稳定处渐进稳定 外部稳定与内部稳定的区别外部稳定与内部稳定的区别 2021-6-1836 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 1 1）误差的定义）误差的定义输入端定义法输入端定义法 输出端定义法输出端定义法 (1)(1)输入端定义法输入端定义法 设控制系统的典型动态结构图如下图所示，设控制系统的典型动态结构图如下图所示， 称称E(s)E(s)为误差信号为误差信号。

38、 1 1 ( )( )( )( )( ) 1( )( ) E sUsHs YsUs Gs Hs + + 2021-6-1837 (2)(2)输出端定义法输出端定义法 ( ) ( )( )( ) ( ) E s EsUsY s H s 输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测 量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时， 系统误差总是指输入端定义误差系统误差总是指输入端定义误差。 误差本身是时间的函数，其时域表达式为：误差本身是时间的函数，其时域表达式为： 1 ( )( )( )( ) tsss e tL

39、E setet + + 动态分量动态分量 稳态分量稳态分量 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1838 2)2)稳态误差稳态误差 误差信号误差信号 的稳态分量的稳态分量 。 对稳定系统而言，随着时间趋于无穷，系统的动态过对稳定系统而言，随着时间趋于无穷，系统的动态过 程结束，程结束， 将趋于零。根据拉氏变换将趋于零。根据拉氏变换终值定理终值定理，稳定，稳定 系统的稳态误差为系统的稳态误差为 由上式可知，控制系统的稳态误差与输入信号的形式和由上式可知，控制系统的稳态误差与输入信号的形式和 开环传递函数的结构有关。当开环传递函数的结构有关。当输入信号输入信号形

40、式确定后，系形式确定后，系 统的稳态误差就取决于以统的稳态误差就取决于以开环传递函数开环传递函数描述的系统结构。描述的系统结构。 )( ss e ss e )(tets 00 ( ) lim( )lim( )lim 1( ) ss tss U s ee tsE ss G s + + 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1839 例例: : 一系统的开环传递函数一系统的开环传递函数 求：求：u(t)=1(t)u(t)=1(t)及及t t时的稳态误差时的稳态误差 解解: : 1 20 ( )( ) (0.51)(0.041) G s H s ss + 00 1(

41、0.51)(0.041) lim( )lim( ) 1( )(0.51)(0.041)20 ss ss ss esU ssU s G sss + + 0 (0.51)(0.041)11 lim0.05 (0.51)(0.041)2021 ss s ss es sss + + u(t) = 1(t) 时时, U(s)=1/s u(t) = t 时时, U(s)=1/s2 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1840 3）系统的分类）系统的分类 sv v表示开环传递函数在表示开环传递函数在s平面原点处的平面原点处的v重极点。重极点。 系统按系统按v v的不同取值

42、可以分为不同类型。的不同取值可以分为不同类型。 v v=0=0，1 1，2 2时，系统分别称为时，系统分别称为0 0型，型，型和型和型型 系统。系统。 系统的系统的开环传递函数开环传递函数可表示为：可表示为： 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1841 0 0 1 1 lim 1( )1lim( ) ss s s s s e G sG s + + + 4）给定作用下的稳态误差）给定作用下的稳态误差 （1）单位阶跃函数输入）单位阶跃函数输入 根据定义，有：根据定义，有： 0 lim( )(0) p s KG sG 定义定义 为系统的位置误差系数，为系统的位置

43、误差系数， 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1842 对对0型系统型系统 对对型系统及型系统及型以上的系统型以上的系统 由此可见，由此可见，对于单位阶跃输入，只有对于单位阶跃输入，只有0型系统有稳态型系统有稳态 误差，其大小与系统的开环增益成反比；而误差，其大小与系统的开环增益成反比；而型和型和 型以上的系统位置误差系数均为无穷大，稳态误型以上的系统位置误差系数均为无穷大，稳态误 差均为零。差均为零。 为了降低稳态误差为了降低稳态误差ess，在稳定条件允许的前提下，在稳定条件允许的前提下， 可增大开环放大系数可增大开环放大系数K。 4.4 4.4 线性系

44、统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1843 （2）单位斜坡函数输入）单位斜坡函数输入 定义定义 为系统的速度误差系数。为系统的速度误差系数。 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1844 对对0型系统型系统 对对型系统型系统 对对型或高于型或高于型系统型系统 由此可见，由此可见，对于单位斜坡输入，对于单位斜坡输入，0型系统稳态误差型系统稳态误差 为无穷大；为无穷大；型系统可以跟踪输入信号，但有稳态误型系统可以跟踪输入信号，但有稳态误 差，该误差与系统的开环增益成反比；差，该误差与系统的开环增益成反比；型或高于型或高于 型系统，稳态误差为零。型

45、系统，稳态误差为零。 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1845 （3）单位抛物线函数输入）单位抛物线函数输入 定义定义 为系统的加速度误差系数。为系统的加速度误差系数。 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1846 对对型或高于型或高于型系统型系统 对对0型系统型系统 对对型系统型系统 对对型系统型系统 由此可知，由此可知，0型及型及型系统都不能跟踪抛物线输入；型系统都不能跟踪抛物线输入； 型系统可以跟踪抛物线输入，但存在一定的误差，型系统可以跟踪抛物线输入，但存在一定的误差， 该误差与系统的开环增益成反比；只有该误差

46、与系统的开环增益成反比；只有型或高于型或高于 型的系统，才能准确跟踪抛物线输入信号。型的系统，才能准确跟踪抛物线输入信号。 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1847 下表列出了不同类型的系统在不同参考输入下的稳下表列出了不同类型的系统在不同参考输入下的稳 态误差。态误差。 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1848 例例: : 如下系统，当输入信号分别为如下系统，当输入信号分别为I I（t t）、）、t t和和t t2 2/2/2 时，试分别求出系统的稳态误差。时，试分别求出系统的稳态误差。 解：此系统为解：此系统为

47、I I型系统型系统 输入为阶跃、斜坡、抛物线输入时的稳态误差分别输入为阶跃、斜坡、抛物线输入时的稳态误差分别 为：为： p K2 v K0 a K + ( )R s( )C s 10 (5)s s + 11 2 ssv v e K 1 0 1 ssP P e K + + 1 ssa a e K 输入为：输入为：1+2t，稳态误差，稳态误差ess=？ 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1849 5 5）扰动输入作用下的稳态误差）扰动输入作用下的稳态误差 控制系统的典型结构图控制系统的典型结构图 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 (1)

48、输出端定义法输出端定义法 2 12 ( ) ( )0( )( ) 1( )( )( ) G s EsY sN s G s G s H s + + 2021-6-1850 (2)输入端定义法输入端定义法 扰动作用下系统的误差传递函数为扰动作用下系统的误差传递函数为 根据拉氏变换终值定理，求得扰动作用下的稳态误差为根据拉氏变换终值定理，求得扰动作用下的稳态误差为 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1851 系统结构图如下图所示，设被控对象的系统结构图如下图所示，设被控对象的 传递函数为：传递函数为： 求当采用比例调节器和比例积分调节器时，系统对阶求当采用比例调

49、节器和比例积分调节器时，系统对阶 跃作用信号的稳态误差。跃作用信号的稳态误差。 例例4.4.14.4.1 ( ) c G s( ) p Gs + ( )U s ( )Y s ( )N s + + ( )E s 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1852 若令若令U U( (s s)=0)=0，NN( (s s)= )= NN/ /s s，则系统对阶跃扰动输入的，则系统对阶跃扰动输入的 稳态误差为：稳态误差为： 可见，阶跃扰动输入下系统的稳态误差为常值，它可见，阶跃扰动输入下系统的稳态误差为常值，它 与阶跃信号的幅值成正比，与控制器比例系数与阶跃信号的幅值成

50、正比，与控制器比例系数K KP P成反比。成反比。 解解若采用比例调节器，即若采用比例调节器，即 由图可以看出，系统对给定输入为由图可以看出，系统对给定输入为型系统，令扰动型系统，令扰动 NN( (s s)=0)=0，给定输入，给定输入U U( (s s)=)=U U/ /s s，则系统对阶跃给定输入，则系统对阶跃给定输入 的稳定误差为零。的稳定误差为零。 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1853 若采用比例积分调节器，即：若采用比例积分调节器，即： 这时控制系统对给定输入来说是这时控制系统对给定输入来说是型系统，因此给定输型系统，因此给定输 入为阶跃信

51、号、斜坡信号时，系统的稳定误差为零。入为阶跃信号、斜坡信号时，系统的稳定误差为零。 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1854 结论结论： （1）采用比例积分调节器能够消除阶跃扰动作用下的）采用比例积分调节器能够消除阶跃扰动作用下的 稳态误差。其物理意义在于：因为调节器中包含积分稳态误差。其物理意义在于：因为调节器中包含积分 环节，只要稳态误差不为零，调节器的输出必然继续环节，只要稳态误差不为零，调节器的输出必然继续 增加，并力图减小这个误差。只有当稳态误差为零时，增加，并力图减小这个误差。只有当稳态误差为零时， 才能使调节器的输出与扰动信号大小相等而方向

52、相反。才能使调节器的输出与扰动信号大小相等而方向相反。 这时，系统才进入新的平衡状态。这时，系统才进入新的平衡状态。 （2）对干扰输入而言，只有在输入与干扰之间存在积）对干扰输入而言，只有在输入与干扰之间存在积 分环节时，误差才会为分环节时，误差才会为0，此时与系统类型无关。，此时与系统类型无关。 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1855 6 6）减小稳态误差的方法）减小稳态误差的方法 （1 1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反保证系统中各个环节（或元件），特别是反 馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性

53、； （2 2）对）对输入信号输入信号而言，而言，增大开环放大系数，以提高增大开环放大系数，以提高 系统对给定输入的跟踪能力；系统对给定输入的跟踪能力； （3 3）对）对干扰信号干扰信号而言，而言，增大输入和干扰作用点之间增大输入和干扰作用点之间 环节的放大系数，有利于减小稳态误差；环节的放大系数，有利于减小稳态误差； （4 4）增加系统前向通道中增加系统前向通道中积分环节积分环节数目，使系统类数目，使系统类 型提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。型提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1856 （5 5）采用前馈控

54、制（复合控制）采用前馈控制（复合控制） 对干扰补偿对干扰补偿 0)( )( 1 )( 1 sY sG sGn时：( )0E s 但但 此此 时时 ： 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1857 对给定输入进行补偿对给定输入进行补偿 1 ( ),( )0 ( ) r G sE s G s ： 则则 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1858 )1(+sTs k m m 1 1 1 +sT1 k )(sGn - R(s)=0R(s)=0 N(s)N(s) C(s)C(s) 补偿装置补偿装置 放大器放大器 滤波器滤波器 )(

55、 ) 1)(1( 1 1 )(1 ) 1( )( 1 1 1 1 sN sTsTs kk sT k sG sTs k sC m m n m m n + + + + + 系统输出系统输出: :解解 例例4.4.24.4.2 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1859 0 1 11 0 1 1 lim( )()lim( ) 1 1() (1)1 lim( )0 1 (1)(1) nnn ts m m s m m ctcs Cs kk s T skT s sN s k k s T sT s + + + + + + + + + + ),1( 1 )( 1 1 +s

56、T k sG n 若选若选 响响,但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函 数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。 则系统的输出不受扰动的影则系统的输出不受扰动的影 1 1 ( ), n G s k 如果选如果选则在稳态情况下则在稳态情况下, 这就是稳态全补偿这就是稳态全补偿, 实现很方便。实现很方便。 4.4 4.4 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算 2021-6-1860 1 1s + + 例：设计最简单的例：设计最简单的Gr(S),使系统具有使系统具有I型系统性能。型系统性能。 系统具有系统具有I I型系统性能，即系统对单位阶跃信号作型系统性能，即系统对单位阶跃信号作 用时用时e e