第二章 气体动理论

1、Chapter 2 气体动理论气体动理论 （Kinetic Theory of Gas molecular） 引 言 热学是研究与热现象有关的物质运动规热学是研究与热现象有关的物质运动规 律的科学。律的科学。 表示物体冷热程度的物理量是温表示物体冷热程度的物理量是温 度，把与温度有关的物理性质及状态的变化度，把与温度有关的物理性质及状态的变化 称为称为热现象热现象，热现象是物质中大量分子无规，热现象是物质中大量分子无规 则运动的集体表现。物体是由大量分子、原则运动的集体表现。物体是由大量分子、原 子组成的，这些微观粒子的不停的、无规则子组成的，这些微观粒子的不停的、无规则 的运动称为分子的运动

2、称为分子热运动热运动。 热运动的研究方法热运动的研究方法 1. 宏观法：最基本的实验规律能量观点宏观法：最基本的实验规律能量观点 热力学热力学 2. 微观法：物质微观结构力学规律统计方法微观法：物质微观结构力学规律统计方法 统计物理学（初级理论为气体统计物理学（初级理论为气体 动理论）动理论） 优点：可靠、普遍优点：可靠、普遍缺点：未揭示微观本质缺点：未揭示微观本质 优点：揭示了热现象的微观本质优点：揭示了热现象的微观本质缺点：可靠性、普遍性差缺点：可靠性、普遍性差 2 CO 2 O 2 N 2 O 2 H 理想气体的压强与温度理想气体的压强与温度 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 麦

3、克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 主主 要要 内内 容容 1.1.一切宏观物质都是由大量分子组成的；一切宏观物质都是由大量分子组成的； 物质微观结构的三个基本观点物质微观结构的三个基本观点 阿伏伽德罗常数阿伏伽德罗常数: 123 10)36(0221367. 6 molN A 分子数密度：单位体积内的分子数分子数密度：单位体积内的分子数 。 V N n 气体分子的大小可以忽略不计气体分子的大小可以忽略不计 2.2.分子间有相互作用力分子间有相互作用力( (molecular force)。 10 0 10rm 气体分子间的作用力可以忽略不计气体分子间的作用力可以忽略不计 3.3.所有分子都在

4、不停地作无规则运动；所有分子都在不停地作无规则运动； 分子热运动分子热运动模式模式：平动：平动、转动、振动。、转动、振动。 气体分子间的碰撞看作为完全弹性碰撞气体分子间的碰撞看作为完全弹性碰撞 理想气体模型理想气体模型 1.分子可以看作是质点；分子可以看作是质点； 2.分子所受的重力和分子力忽略不计分子所受的重力和分子力忽略不计； 3.分子间以及分子与容器间的碰撞是完全弹性碰分子间以及分子与容器间的碰撞是完全弹性碰 撞。撞。 热动平衡的统计假设热动平衡的统计假设： 任一时刻沿空间各个方向运动的分子数相等；任一时刻沿空间各个方向运动的分子数相等； 分子速度在各个方向的分量的各种平均值也相等。分子

5、速度在各个方向的分量的各种平均值也相等。 zyx nnn zyx vvv 2222 3 1 vvvv zyx 理想气体的压强理想气体的压强 密集雨点对雨伞密集雨点对雨伞 的冲击力的冲击力 大量气体分子对器壁持续不大量气体分子对器壁持续不 断的碰撞产生压力断的碰撞产生压力 气体分子气体分子 器器 壁壁 气体压强的成因： 微观上，压强是气体分子在单位时间内作用于器壁单位面 积上的总冲量的统计平均值。 dS dF dSdt dI P 分子施于器壁的冲量：分子施于器壁的冲量： ix mv2 x vm x vm- 2 A v o y z x y z x 1 A ixix mpv2 x方向动量变化：方向动

6、量变化： 两次碰撞间隔时间：两次碰撞间隔时间： ix x v2 单位时间碰撞次数：单位时间碰撞次数：2xvix 单个单个分子遵循的力学规律分子遵循的力学规律 压强公式的推导：压强公式的推导： x vm x vm- 2 A v o y z x y z x 1 A 单个分子单位时间施于单个分子单位时间施于 器壁的冲量：器壁的冲量： xm ix 2 v 大量大量分子总效应分子总效应 单位时间单位时间 N N 个粒子对器个粒子对器 壁总冲量：壁总冲量： 2 2 2 2 x ix i ix i ix x Nm Nx Nm x m x m v v v v i 器壁器壁 所受平均冲力：所受平均冲力： xNm

7、F x 2 v 1 A 气体压强：气体压强： 22 3 1 vvnm xyz Nm yz F p x 分子平均平动动能：分子平均平动动能： 2 k 2 1 vm k 3 2 np 微观量的统计平均值微观量的统计平均值 宏观可测量量宏观可测量量 说明说明: : 1. 分子间的弹性碰撞不影响压强公式的成立；分子间的弹性碰撞不影响压强公式的成立； 2. 理想气体压强公式适用于任何形状的容器；理想气体压强公式适用于任何形状的容器； 3. 压强是描述大量分子集体行为平均效果的统计性量，具压强是描述大量分子集体行为平均效果的统计性量，具 有统计意义，对单个分子讲压强无意义；有统计意义，对单个分子讲压强无意

8、义； 4. 压强方程建立了宏观量和微观量的关系，说明分子密度压强方程建立了宏观量和微观量的关系，说明分子密度 越大越大，分子运动越剧烈，压强就越大。分子运动越剧烈，压强就越大。 压强的微观本压强的微观本 质质 理想气体的温度理想气体的温度 宏观定义：宏观定义：表征物体的冷热程度表征物体的冷热程度 处在相互热平衡状态的多个系统拥有某一处在相互热平衡状态的多个系统拥有某一 共同的宏观物理性质共同的宏观物理性质温度温度 123 1038. 1/ kJNRk A NkTRT N N RT M pV A KmolJR/31. 8 kk NnVpV 3 2 3 2 kT k 2 3 摩尔气体常量：摩尔气体

9、常量： 玻耳兹曼常量：玻耳兹曼常量： 统计解释统计解释: 2.温度是大量分子热运动的集体表现，具有统计意义，对温度是大量分子热运动的集体表现，具有统计意义，对 单个分子讲温度无意义。单个分子讲温度无意义。 4. 方均根速率：方均根速率： m kT v 3 2 1.理想气体的理想气体的温度是大量分子做无规则热运动剧烈程度的温度是大量分子做无规则热运动剧烈程度的 标志。标志。 3.阿伏伽德罗定律：阿伏伽德罗定律：nkTP 说明说明: : 温度的微观本温度的微观本 质质 植物的光合作用植物的光合作用 5、道尔顿分压定律、道尔顿分压定律计算混合气体内的压强计算混合气体内的压强 容器内有多种气体，总的分

10、子数密度容器内有多种气体，总的分子数密度n=nn=n1 1+n+n2 2+ + +n ni i+ +n nn n p=p1+p2+pn 道尔顿分压定律道尔顿分压定律: :总压强等于各气体分压强之和总压强等于各气体分压强之和. . k np 3 2 knkk nnn 3 2 . 3 2 3 2 21 例例1 1 一瓶氦气一瓶氦气 He 和一瓶氮气和一瓶氮气 N2 密度相同密度相同, , 分子分子 平均平动动能相同平均平动动能相同, ,而且都处于平衡状态而且都处于平衡状态, ,则它们：则它们： C （D）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强。温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强。 22 NNHH

11、nmnm ee 1 2 2 e e H N N H m m n n kT 2 3 nkTP （A）温度相同、压强相同。温度相同、压强相同。 （B）温度、压强都不同。温度、压强都不同。 （C）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强。温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强。 例例2 2 一定量的理想气体贮于某一容器中一定量的理想气体贮于某一容器中, , 温度为温度为 T T ， 气体分子质量为气体分子质量为 m m 。根据理想气体分子的分子模型根据理想气体分子的分子模型 和统计假设，分子速度在和统计假设，分子速度在x x方向的分量平方的平均值方向的分量平方的平均值 为：为： m kT vx 3 2 m

12、 kT vx 3 3 1 2 mkTvx/3 2 mkTvx/ 2 (A) (B) (C)(D) D RT m kT vvx 22 3 1 kT k 2 3 4 气体分子速率分布规律 （伽耳顿板实验）（伽耳顿板实验） 统计规律的特征：统计规律的特征： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i NN N Ni

13、i 小球总数：小球总数： 概概 率：率： 1 i i i i N N 归一化条件：归一化条件： vN N o v v 速率分布函数速率分布函数: N(dN)速率分布在某一区间速率分布在某一区间vv+dv内的气体分子数内的气体分子数; N /N(dN/N)分布在速率区间分布在速率区间vv+dv内的气体分子数占总内的气体分子数占总 分子数的百分比分子数的百分比; Ndv dN vf)( 物理意义物理意义 ：气体在平衡气体在平衡 态下态下分布在起点速率分布在起点速率v v 的的 单位速率区间内的分子数单位速率区间内的分子数 占总分子数的百分比占总分子数的百分比。 麦克斯韦速率分布规律麦克斯韦速率分布

14、规律 kTm e kT m f 2/22/ 3 2 ) 2 (4)( v vv 麦克斯韦速率分麦克斯韦速率分 布函数：布函数： vv v d) 2 (4 d 2/22/3 2 kTm e kT m N N 麦克斯韦速率分布：麦克斯韦速率分布： （1）分子速率位于）分子速率位于 v0v0+d v 区间的概率区间的概率: dvvf N dN v 0 0 0 0 （2）分子速率位于）分子速率位于v1v2 区间的概率区间的概率: dvvf N dN v v v v v 2 2 1 1 2 2 1 1 麦克斯韦速率分布曲线：麦克斯韦速率分布曲线： 00 1d)( N N dN fvv （3 3）归一化条

15、件）归一化条件 v )(vf v1 v2 v )(vf v v0v0+d v )(vf (2) (2) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少，从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。是没有意义的。 (1(1) ) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。组分分别适用。 (4)(4)麦克斯韦速率分布率随着温度变化。麦克斯韦速率分布率随着温度变化。 0 1d)(vvf(3) (3) 归一化条件归一化条件 (5)(5)麦克斯韦速率分布率随着不同气体的不同摩尔质量变化。麦克斯韦速率分布率随着不

16、同气体的不同摩尔质量变化。 讨论讨论: : 例例 f(v)f(v)是速率分布函数，试指出下列各式所表示的物理是速率分布函数，试指出下列各式所表示的物理 意义。意义。 dvvf)()1( dvvNf)()2( dvvf v v 2 1 )()3( dvvfN v v )()4( 2 1 表示速率分布在表示速率分布在 vv+d v 区间内气体分子数与总分子数的比率区间内气体分子数与总分子数的比率 表示速率分布在表示速率分布在 vv+d v 区间内的气体分子数区间内的气体分子数 表示速率分布在表示速率分布在 v1v2 区间内气体分子数与总分子数的比率区间内气体分子数与总分子数的比率 表示速率分布在表

17、示速率分布在 v1v2 区间内的气体分子数区间内的气体分子数 分子速率的三种统计值：分子速率的三种统计值： 1. 平均速率平均速率 了解气体分子平均运动的快慢了解气体分子平均运动的快慢 N vdNvdNvdN v nn 2211 N vdN dvvf N dN )( dvvvfv)( 0 计算一个与速率有关的物理量计算一个与速率有关的物理量 g(v) 的统计平均值的公式：的统计平均值的公式： m kT 8 dvvfvgvg)()()( 0 3、最概然速率、最概然速率 讨论气体分子速率的统计分布讨论气体分子速率的统计分布 2、方均根速率、方均根速率 计算分子平均平动动能计算分子平均平动动能 0

18、d (d p vv v v)f m kT p 2 v m kT f 3 )d( 0 22 vvvv m kT v 3 2 o v )(vf p v 物理意义：在温度为物理意义：在温度为 T 的平衡态下，的平衡态下， 附近单位速率间隔中的附近单位速率间隔中的 分子数占总分子数的比率最大。分子数占总分子数的比率最大。 p v m kT vp 2 1. . vP与温度与温度T的关系的关系 p vT 曲线的峰值右移曲线的峰值右移, ,由于由于 曲线下面积为曲线下面积为1不变，不变， 所以峰值降低。所以峰值降低。 12 TT 2p v 2 T o v )(vf 1p v 1 T 讨论讨论: : p vm

19、 曲线的峰值左移曲线的峰值左移, ,由于由于 曲线下面积为曲线下面积为1不变，不变， 所以峰值升高。所以峰值升高。 12 mm 2. . vP与与分子质量分子质量m的关系的关系 m kT vp 2 2p v 2 m o v )(vf 1p v 1 m o v )(vf p v 2 v v 三种速率的比较三种速率的比较: 2 vvvp m kT vp 2 m kT v 8 m kT v 3 2 三种速率都与三种速率都与T T1/2 1/2成正比，与 成正比，与mm1/2 1/2成反比。 成反比。 例例. .定量理想气体定量理想气体, , vP1, ,vP2 分别是分子在温度分别是分子在温度 T1

20、、T2 时的最可几速率时的最可几速率, ,相应的分子速率分布函数的最大值分相应的分子速率分布函数的最大值分 别为别为f（vP1）和和f（vP2）,当当T1 T2时时, （A）vP1 vP2 f（vP1） f（vP2）; ; （B）vP1 vP2 f（vP1） vP2 f（vP1） f（vP2）; ; （D）vP1 f（vP2）. . A 例例. .麦克斯韦速率分布曲线如图所示麦克斯韦速率分布曲线如图所示, ,图中图中A、B两部两部 分面积相等分面积相等, ,则该图表示则该图表示: : D o v )(vf 0 v A B (A) v0为最可几速率为最可几速率. . (B) v0为平均速率为平均

21、速率. (C) v0为方均根速率为方均根速率. (D)速率大于和小于速率大于和小于v0的分子的分子 数各一半数各一半. 能量均分定理能量均分定理 一、一、自由度自由度( (Degree of freedom) 1. 质点的自由度质点的自由度 确定一个物体的空间位置所需要的确定一个物体的空间位置所需要的独立独立坐标。坐标。 （x） (x, y)(x, y, z) 质心质心自由质点：自由质点： 绕质心轴的转动：绕质心轴的转动： 质心质心转轴的方位转轴的方位 ： 6 321 iiii 3 1 it平平动动自自由由度度 3 32 iir转转动动自自由由度度 1 222 coscoscos x z y

22、2. 刚体的自由度刚体的自由度 xzy 2 2 i 1 3 i 说明：说明： 实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的。在常温实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的。在常温 下不考虑分子内部的振动，认为分子是刚性的。下不考虑分子内部的振动，认为分子是刚性的。 刚性刚性: i= 5(t=3,r=2) 分子结构分子结构单原子单原子双原子双原子多原子多原子 分子模型分子模型质点质点杆或弹簧连接的两杆或弹簧连接的两 个质点个质点 质点组质点组 自由度自由度 35或或66或或3n 3. 气体分子的自由度气体分子的自由度 非刚性：非刚性： i=6(t=3,r=2,v=1) 结论结论 单单原子分子原子

23、分子 3 0 3 双双原子分子原子分子 3 2 5 多多原子分子原子分子 3 3 6 刚性分子的自由度刚性分子的自由度 tri 分子分子 自由度自由度 （平动）（平动）(转动转动)(总总) vrti 自由度平动自由度转动自由度振动自由度 二、能量均分定理二、能量均分定理 温度为温度为T T的理想气体，其分子所具有的平均平动动能均匀分的理想气体，其分子所具有的平均平动动能均匀分 配在每一个平动自由度上，即每一个平动自由度都具有相配在每一个平动自由度上，即每一个平动自由度都具有相 同的动能同的动能 。 kT 2 1 kT 2 3 vm 2 1 2 k 2 222 3 1 vvvv zyx kTvm

24、vmvm zyx 2 1 2 1 2 1 2 1 222 在温度为在温度为T T 的平衡状态下，分子热运动动能平均分的平衡状态下，分子热运动动能平均分 配到每个自动度上。每个分子的每个自由度的平均动能配到每个自动度上。每个分子的每个自由度的平均动能 都是都是 。 kT 2 1 说明：能量按自由度均分是大量分子统计平均的结果，说明：能量按自由度均分是大量分子统计平均的结果， 是分子间的频繁碰撞而致。是分子间的频繁碰撞而致。 推推 广广 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 若某种气体分子具有若某种气体分子具有t t 个平动自由度和个平动自由度和r r 个转动自由度和个转动自由度和s s个个 振动自由度，则每个气体分子的平均总动能为振动自由度，则每个气体分子的平均总动能为 kTsrt)( 2 1 每个气体分子的平均势能为每个气体分子的平均势能为kT s 2 每个气体分子的平均总能量为每个气体分子的平均总能量为kTsrtE)2( 2 1 三、气体分子的平均总能量三、气体分子的平均总能量 对于刚性分子对于刚性分子S = 0S = 0 kTrtE)( 2 1 每个刚性气体分子的平均总能量为每个刚性气体分子的平均总能量为 四、理想气体的内能四、理