等比数列的求和公式

1、1 等比数列前n项和 2 知识回顾：知识回顾： 2.通项公式：通项公式： 1 1 n n qaa 3.等比数列的主要性质：等比数列的主要性质： 在等比数列在等比数列 中，若中，若 则则 ( ) ( ) n aqpnm qpnm aaaa Nqpnm, 成等比数列成等比数列 bGa,abG 2 (G,a,b 0) 1.等比数列的定义：等比数列的定义： q n n a a 1 Nnq, 0 （常数）（常数） （ ） , m n mn q aa g 已知三个量，可以求出第四个量。已知三个量，可以求出第四个量。 （说（说“三三”道道“四四”） 3 创设情境创设情境 明总明总：在一个月中，：在一个月中，

2、 我第一天给你一万，我第一天给你一万， 以后每天比前一天多以后每天比前一天多 给你一万元。给你一万元。 林总林总：我第一：我第一 天还你一分钱，天还你一分钱， 以后每天还的以后每天还的 钱是前一天的钱是前一天的 两倍两倍 4 创设情境创设情境 林总林总：哈哈！这么：哈哈！这么 多钱！我可赚大了，多钱！我可赚大了， 我要是订了两个月，我要是订了两个月， 三个月那该多好啊！三个月那该多好啊！ 果真如此吗果真如此吗? 5 创设情境创设情境 请你们帮林总分析一下这份合同是否能签？请你们帮林总分析一下这份合同是否能签？ 想一想：想一想： 6 1 3030 465. 2 万元 明总借款： 30 12330

3、T 7 所以它是一个以为首项，所以它是一个以为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列. 30 S.22221 2932 由于每天的钱数都是前一天的倍，共天，每天由于每天的钱数都是前一天的倍，共天，每天 所给的钱数依次为：所给的钱数依次为： .2,2,2,2,1 2932 8 30 S) 1 (.22221 2932 请同学们考虑如何求出这个和？请同学们考虑如何求出这个和？ 30 2S)2(.22222 302932 3030 2SS )22222( 302932 30 30 21 S )22221 ( 2932 1073.74万元万元分107374182312 30 30 S 两式相减得两式

4、相减得: : 错位相减法错位相减法 9 明总明总：这是：这是 我做的最成功我做的最成功 的一笔生意！的一笔生意！ 10 Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn 得：得： Sn (1q)=a1a1qn 当当q1时，时， 1(1 ) . 1 n n aq S q 1 1 1 (1) 1 1 n n naq S aq q q 等比数列等比数列an前前n项和项和 当q=1时，等 比数列的前n 项和是什么？ nnn aaaaaS 1321 11 思路思路1 1：saaq aqaq aqaaa 2 2

5、n n- -1 1 n n1 11 11 11 1 1 11 12 2n n- -1 1 = =+ + + + + = =+ + ( (+ + + +) ) 234n 123n-1 aaaa = q aaaa 思路思路2 2： 12 nnn aaaaaS 1321 )( 1211 n aaaqa )( 1nn aSqa qaaSq nn 1 )1 ( q qaa S n n 1 1 当当q1时，时， 13211 n qaqaqaqaa 13 324 1231 n n aaaa q aaaa 234 1231 n n aaaa q aaaa 1n nn Sa q Sa 1 1 n n aqa S

6、 q 当q1时， 1 (1) nn q Saa q , 1 a, 2 a, 3 a, n a 由等比数列由等比数列的定义知：的定义知： 14 数数 列列 等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 前前 n 项项 和和 公公 式式 推导方法推导方法 2 1n n aan S d nn na 2 1 1 q qa n n 1 1 1 S q qaa n 1 1 1 q 【注意注意】在应用等比数列的前在应用等比数列的前n n项和公式时考项和公式时考 虑虑 公比是否为公比是否为1 倒序相加倒序相加错位相减错位相减 15 解解: 例例1 求等比数列求等比数列 的前的前8项的和项的和. , 8 1

7、, 4 1 , 2 1 8, 2 1 , 2 1 1 nqa 2 1 1 2 1 1 2 1 8 8 S . 256 255 q qa S n n 1 )1 ( 1 16 根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的 . 0,16,81) 3( 51 n aaa 81 16 1 5 4 a a q 3 2 q n a n S ; 6, 2, 3) 1 ( 1 nqa ; 5, 2 1 , 8)2( 1 nqa .189 21 )21(3 6 6 S . 2 31 2 1 1 2 1 18 5 5 S 211 3 2 1 3 2 1681 5 s 17 例例2. 求等比数列

8、求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和. ,2, 1 1 qa解： .15 21 )21 (1 4 4 S .1023 21 )21 (1 10 10 S .1008151023 410 SS 从第从第5项到第项到第10项的和项的和: 10 s ., 10654321 aaaaaaa 4 s 18 , 2 1 , 2 3 1 qa解： 求等比数列求等比数列 从第从第3项到第项到第7项的和项的和. , 8 3 , 4 3 , 2 3 . 128 381 2 1 1 2 1 1 2 3 7 7 S 所以从第所以从第3项到第项到第7项的和为：项的和为： . 128 153 4 9 128 381 4 3 2