第7章 电机的统一理论

1、第七章电机的统一理论7-1电机的统一理论 概述各种类型的旋转电机，在结构上有其统一性：都可分为定子和转子两大部件，它两又都由铁心和绕组构成。但在电机发展史上，本世纪初以前，电机理论的研究是按电机类型分别进行的。到三十年代初期，匈牙利人克朗(见绪论，1901-1908年)首先提出分析旋转电机的统一理论。他阐明了主要类型的交直流电机都可从一般化电机模型出发，用统一的方法求解。这是电机理论发展的一个里程碑。统一理论的提出有一定渊源，如上世纪末的同步机双反应理论，本世纪二十年代派克提出的dqo坐标变换，相当于把同步电机变换成换向器电机，上章阐明的派克方程的简洁表达式(6-15)、(6-16)就是有力的

2、证据。dqo变换推广应用到异步机更表明三相交流电机都可变换成换向器电机，而直流电机就是换向器电机，无需变换。因此，从直流电机抽象得出的一种普遍的换向器电机就自然地成为一般化电机的模型。本章在上几章基础上适当地扩大视野。首先阐明一般化电机的运动方程，然后应用一般化电机于主要类型电机，对交流电机只简单论证与上两章殊途同归。最后是直流电机的暂态分析，举六个实例阐明。电机统一理论曾经是很吸引人的，并受到很大重视；但必须指出这种方法由于强调共性采用简化假定，在个性应用上存在有局限性和片面性。7-2有关一般化电机的基本知识一、一般化电机模型的具体结构上节已述，一般化电机模型是一种普遍的换向器电机。它的定子

3、具有凸极或隐极，转子装带换向器的绕组。由于大多数多极电机在每对极下的磁路和电路的分布完全重复，可用等效的两极机)隆代表。因此我们假设模型机都是两极的，从而转子转速。模型机定子上有两个绕组：直轴绕组D和交轴绕组Q。相应地转子换向器上有成正交的两对电刷，把带换向器的绕组分为直轴和交轴两个电路，如图7-1(a)。从这图可见一般化电机与交磁电机放大机类似，只是各个绕组独立，相互间没有连接而已。其中转子两个电路又可用等效d绕组和等效q绕组来简化表示，如图7-1(b)。对d绕组和q绕组：首先必须明确，它两的轴线是被两对电刷的位置限定并分别与定子的直轴和交轴重合的。所以d绕组和q绕组的轴线在空间是静上的，它

4、两中的电流分别产生在空间静止的转子直轴磁场和转子交轴磁场。其次必须明确，构成d绕组和q绕组的元件当转子旋转时是不断轮流替换的。所以这两绕组中不仅有变压器电动势，而且还有因与正交磁通有相对切割而产生的运动电动势。转子上的d绕组和q绕组，由于上述具有既是轴线在空间静止又有运动电动势的性能，因此又常称为伪静止绕组。二、对一般化电机模型的简化假定(1)假定模型机的磁路是线性的，略去剩磁、饱和、磁滞和涡流效应不计，适用叠加原理；(2)假定模型机的气隙磁通密度在空间按正弦分布，图7l一般化电机的模型；(a)电路示意；(b)简化表示又略去定转子的齿槽的影响不计；(3)假定模型机的结构对直轴和交轴都是对称的。

5、在实际情况与上述简化假定有较大出入的场合，例如需要考虑饱和、谐波等效应时，则通过修改有关的参数和系数来计人其影响。三、模型机采用的规定正方向模型机的时变量和空间量正方向的规定，尽可能与以前各章的觇定一致，如下述。(1)dq坐标系的规定；已见于图7-1，规定正方向都是从里向外。d轴就是定子直轴；q轴的正向位置，是从转：产上看来，在时间上超前d轴90电度。(2)绕组磁链的规定正方向：D绕组和d绕组的磁链正方向都规定与d轴正方向一致；Q绕组和q绕组的磁链正方向都规定与q轴正方向一致。还规定所有绕组的正向磁链与正向电流的关系要符合右手螺旋定则。(3)绕组电流i、电压u和电动势e的规定正方向：在满足上述

6、规定的前提下，所有绕组的5、24和e的正方向都按电动机惯例规定，已见于图6-1(a)。具体到转子上两个伪静止绕组中e、i及其所生磁通的规定正方向，则如图7-2(a)和(b)，其中转子周沿的点叉号，既是i的正方向，也是e的正方向。(4)转矩的规定正方向：与图6-1(c)相同。图7-2仂静止绕组中i、e和的规定正方向(a)对d绕组；(b)对g绕组7-3一般化电机的电压方程按上节的规定正方向，可写出一般化电机的电压方程的矩阵表达式为 （7-1）上式右方首项表示电阻压降列矩阵，R为电阻矩阵，具体关系是 （7-2） (7-1)右方次项表示变压器电动势列矩阵，末项表示运动电动势列矩阵。这两项是本节分析的重

7、点，其中每个绕组的又取决于该绕组磁链的变化率。为此下面从分析各绕组的磁链方程人手。一、一般化电机的磁链方程电机的每个绕组都会有自感磁链，同轴的两绕组间还有互感磁链；但d轴绕组与q轴绕组间由于两轴线正交，没有互感磁链。设D、Q、d和g绕组的自感分别为，和，同轴两绕组间的互感为和。则按正向电流产生正向磁链的规定，应用叠加原理，可写出一般化电机磁链方程的矩阵表达式为 （7-3a）或简作 （7-3b）由于四绕组轴线都是在空间相对静止，因而上式中电感矩阵L的所有元素都是常量，不随转子旋转时角位移的变化。这是一个重要的特点。二、一般电机的变压器电动势每个绕组都有变压器电动势。变压器电动势列矩阵，以式（7-

8、3）带入得 （7-4a）或 （7-4b）三、一般化电机的运动电动势上节提过，转子上伪静止的d绕组和q绕组分别与其正交磁通有相对切割，会产生运动电动势+而定子上D绕组和Q绕组虽然也有与之正交的磁通，但没有相对切割，所以就没有运动电动势。d绕组切割Q绕组电流的磁场，产生运动电动势：；的大小参照式(2-2)可写为，其中是对应的运动电动势系数。的方向按在正向下用右手发电机定则决定，如图7-3(a)，与图7-2(b)对比，可知这个方向与的正方向相同：由此得d绕组切割q绕组电流的磁场，产生运动电动势同上分析并按图7-3(a)，可得 q绕组切割D绕组电流的磁场，产生运动电动势：图7-3 运动电动势正负号得决

9、定（a） 对d绕组；（b）对q绕组的大小。的方向按字正向下用发电机定则决定，如图7-3（b），与图7-2（b）对比，可知这个方向与的正方向相反。由此得q绕组切割d绕组电流的磁场，产生运动电动势，同上分析，可得归纳以上分析可得d绕组和q绕组中的运动电动势分别为 （7-5a）因此，与运动电动势相平衡的电压分量列矩阵为 （7-5b）或简作 （7-5c） 上式G为运动电动势系数矩阵。要留意由于用表示，G中元素符号与（7-5a）中的系数相反四、一般化电机的电压方程至此，可将式（7-2）、（7-4b）和（7-5b）次第代入（7-1），再将右方各项共有的电流列矩阵括出，就得一般化电机的电压方程的矩阵具体表达

10、式为 （7-6a）或简作 （7-6b）如将式（7-6a）右方大括号弧内三个矩阵合并，得 （7-7a）或简作 （7-7b）上式中表示一般化电机的暂态阻抗矩阵。要留意区别式(7-7a)中下标D是表示D绕组而文字D则是代表微分算子式(7-6)或(7-7)的电压方程是对应双轴四绕组的一般化电机的，当绕组数目不止四个时，仅是矩阵的行数和列数相应增加，而方程的基本形式不变。可见，一般化电机的电压方程是常系数一阶线性微分方程，求解比较容易，这是应用电机统一理论的一个突出优点7-4一般化电机的功率和转矩方程一、 一般化电机的功率方程参照式(2-6)知，从电源输入一般化电机的电功率为，以式(7-6b)代入，可得

11、 (7-8)式中 电阻损耗； 耦合场磁能的变化率； ：转换为机械功率的部分，也就是电磁功率。 即 （7-9）二、 一般化电机的电磁转矩和转矩方程 按照磁矩，以式（7-9）代入得 （7-10a）以上式（7-5c）与（7-5b）中的对应关系代入，就得死绕组一般电磁转矩的具体表达式为即 （7-10b）一般化电机的转矩方程，按图6-1（c）的规定正方向与式（6-22）完全相同，不赘！7-5气隙磁通密度按正弦分布时的运动电动势表达式 上节推导的电压方程，理论上对气隙磁通密度不论是什么波形都适用。但通常假定气隙磁通密度在空间按正弦分布（见第7-2节之二）并不记漏磁，在这些条件下的运动电动势，可进一步推导得

12、出比式（7-5a）更简洁的表达式。以下具体阐明。一、q绕组的运动电动势是q绕组切割d轴磁通产生的，这里d轴磁通包括D绕组和d绕组中电流所产生的磁通。为此先从推导d轴每极磁通入手，进而推导转子绕组任一匝对d轴磁通的磁链，然后求d绕组的磁链与的关系，最后从的起因来导出它可以用来表达的公式。参照图7-4（a），设d轴磁通对应的气隙磁通密度，转子有效长度为l，半径为r，转子周沿每单位电弧度内的导体总数为。图7-4 正弦磁通密度下运动电动势的推导（a） 对q绕组的； （b）对d绕组的（1） d轴每极磁通为（2） 转子绕组任一匝对d轴磁通的磁链为（3） d绕组的磁通，具体说也就是d绕组每支路匝数的磁链，它

13、与的关系是注意上式计算磁链时单位电弧度内的支持匝数是而不是，是由于换向器绕组总是双层的，考虑每支路匝数时只能算一半导体数，其余一半是属于另一支路。（4） 最后按每一道题的运动电动势为，可积分得q绕组的运动电动势为留意上式负号是由于切割正向d轴磁通所产生的方向与的正方向相反引起的，已见于7-3（b）再将本段导出的第1、3两式先后代入上式，即得 （7-11a）二、d绕组的运动电动势是d绕组切割q轴磁通产生的，这里q轴磁通包括Q绕组和q绕组中电流所产生的磁通。读者可仿上段层次推导出以下关系。（1） q轴每极磁通为；（2） 转子绕组任一匝对q轴磁通的磁链为；（3） q绕组每支路匝数的磁链为；（4） d

14、绕组的运动电动势为 （7-11b）以上证得的两式，如将式（7-3a）中的及的关系分别代入，再与式（7-5a）排比如表7-1所示。表7-1可见，在正弦气隙磁通密度的特定条件下，各个运动电动势系数与有关电感存在以下关系 （7-12）读者不妨揣摩这些关系的规律性。显然，如气隙磁通密度非正弦分布，则上式不复成立。顺便指出，在正弦气隙磁通密度下，d绕组和q绕组的变压器电动势，也可用本节导出的和代入，得出较简单的表达式如 和7-6 从一般化电机推导交流电机运动方程简介交流电机的动态分析，前两章已用许多篇幅阐述。本节只着重把模型机电压方程（7-7）具体应用于交流电机，阐明把abc坐标系变换到dq坐标系后，所

15、得电压方程的一致性，并扼要说明求解的一般步骤。一、 从式（7-7a）推导同步机的电压方程设把通常的磁转式同步机的定转子绕组换位置，成为励磁绕组D和阻尼绕组Q装在定子上而三相绕组装在转子上的枢转式同步机，再把电枢三相绕组变换为与定子相对静止的dq绕组。这就成为与同步机等效的具有D、Q、d和q绕组的一般化电机。因此对式（7-7a），考虑正弦气隙磁通密度，以式（7-12）代入，又设，就成为同步机dq系统的电压方程=将上市中d绕组和q绕组的电压方程依式（7-3a）整理，可得即 （7-13）上式显然与式（6-15）完全一致，这就证实了派克方程对一般化电机模型的渊源关系。二、 从式（7-7a）推导感应机的

16、电压方程设把通常的三相感应电机的定转子绕组互换位置，成为副方多相绕组装在定子上而原方三相绕组装在转子上经三个集电环输入电能的反装感应电机。又把折算后的副方三相绕组变换为dq为静止绕组。这也就成为与三相感应电机等效的四绕组一般化电机。在5-6节分析，复平面在转速为的转子上的原方电压方程为式（5-59）：如将各个综合矢量都分解为d轴和q轴分量，即 这些关系代入（5-59）后，可整理得则有 （7-14）这就是感应电机原方绕组变换到dq系统的电压方程，与式（7-13）对比，在形式上完全一致。三、 应用dqo变换求解三相电机的一般步骤仿5-3节的分析，设原来三相绕组电压，变换矩阵为C，即则有 故得 据此

17、可推知三相电机在给定三相电压下求解电流、功率、转矩等的一般步骤为（1） 将变换为；（2） 求；（3） 求解；（4） 计算功率和转矩；（5） 求解。应当指出，这些步骤中虽然求解微分方程不难，但坐标变换的代数运算，往往仍是相当烦杂的。7-7直流电机的运动方程本章初提过，一般化电机应用于直流电机无需变换，因此，可据前者直接写出后者的暂态阻抗矩阵以及电压方程。一、两绕组直流电机的运动方程通常直流电机的换向器上只在q轴安一套电刷，因而转子上只有一个伪静止的q绕组；d轴上没安电刷，也就不存在d绕组。同时，较有代表性的直流电机是定子上只在直轴装一个励磁绕组D，没有Q绕组。如图7-5。记住这里D绕组就是励磁绕

18、组F，q绕组就是电枢绕组a。为了统一理论的方便，仍保持D和q代表F和a。因此，具有D和q两绕组的直流电机电压矩阵方程，只要把式（7-7a）的Q行Q列和d行d列去掉就是，即 （7-16）其中暂态阻抗矩阵也可仿式（7-6a）分解，得出与式（7-6b）相似的关系。矩阵方程仍与式（6-22）同。但其中电磁转矩式（7-10b），由于和都不存在，可直接写为 （7-17）式（7-16）的两个电压方程和以上式代入式（6-22）所得的转矩方程，这三个基本方程就是两绕组直流电机的运动方程，反应两个电端口和一个机械端口的物理状况。这三个端口共有、和六个端口变量，求解时除上述三个基本方程外，还需要电机的励磁方式，找出

19、附加的约束方程。二、他励直流发电机的运动方程通常直流发电机的转速保持一定，他励电压是给定的。又已知电枢端口接负载的暂态主抗，则可得到三个附加方程为图 7-5 两绕组直流电机示意 图 7-6 串励电动机示意=常量， （7-18）其中末式右方的负号是由于按从端口输入电能规定正方向引起的。三、串励直流电动机的微分方程串励电动机的接线如图7-6.据此三个附加方程为 （7-19a）上式可看作是一种简单的坐标变换，新系统的电压为，电流为，用矩阵表示时是 （7-19b）在此基础上，把两绕组直流电机电压矩阵方程（7-16）简写作，然后代入上式整理，可得即串励电动机的电压方程为显然，只要给定u和参数，上式即可解

20、出。应当指出上式本来可将式（7-16）代入式（7-19a）直接写出，用矩阵推导似乎过于琐细，其目的在于说明怎样用坐标变换的方法处理，而变换后的阻抗矩阵一般等于。还应当指出，本节所导方程不但适用于直流电机的暂态和稳态，而且也适用于交流换向器电机。7-8 直流电机的暂态分析一、他励直流发电机建压的暂态过程【例 7-1】设他励发电机由原动机以恒施动；电抠端空载。求励磁回路接通电压时，极端电压的暂态过程。没时，。【解】 D绕组电压方程取拉氏变换得则 式中励磁绕组的时间常数。求拉氏反变换后可撂励磁电流为 （7-21a）q绕组电压方程 空载时，故得空载枢端电压为 (7-21b)【例 7-2】上例条件的他励

21、发电机，如电枢q绕组接纯电阻负裁。试分沂q绕组电流的哲态过程。【解】 对q绕组的电压方程取拉氏变换，并考虑零初始条化可得又依题意，对应。则代入上式可整理得则 （7-22a）其中为电抠回路的时间常数。通常由此可求出的解具有以下形式 （7-22b）二、他励发电机电枢端突然短路【例 7-3】设他励直流发电机突然短路前电枢空载，突然短路后励磁电压和转速都保持不变。试分析电机的突然短路电流。 【解】 依题意把突然短路前电枢端电压设为。不计磁路饱和，利用叠加原理分析：把电枢瑞突然短路看作是在q绕组端突然加一个与原来电压大小相等方向相反的。，如图77。实际的(a)图等效于(b)图，而(b)图又等效于(c)图的稳态分量与(d)图的暂态分量的叠加。(1) 突然短路前的稳态分量见式（7-21b）(2) 突然加引起的暂态分量 ，其中图77 他励发电机突然短路的分析(3) 突然短路后的实际电流和电压 （7-23）以上分析结果对实际电机是近似的，因为没有考虑可能有串励绕组、换向极绕组和补偿绕组的作用；而且忽略电枢反应、电刷偏移以及铁耗等的较大影响。 三、直流电动机起动过程的容性效应【例 7-4】 设他励电动机在恒定励磁电流下电抠端接通。机械系统方面：设外加机械转矩，不计机械损耗，即旋转阻力系数，