弹性力学教程

1、（塑性条件） 由弹性状态进入塑性状态属于初始屈服。 1、初始屈服函数 简单应力状态：拉伸 剪切 一般应力状态：6个独立应力分量 初始屈服函数 材料各向同性时，用坐标选择无关的量 因为屈服与平均应力无关，所以 二、屈服曲面 1、初始屈服曲面：在复杂应力状态下，初始屈服函数在应力 空间中表示一个曲面，称为初始屈服曲面 由达到初始屈服的各种应力状态点集合而成。 2、屈服轨迹 应力矢量 静水压力影响不影响屈服，只决定于 ， 所以SP直线为屈服面上 的点，所以屈服面为一柱面，且平行L直线。 屈服轨迹：屈服曲面与 平面的交线。 3、屈服轨迹的性质 基本假设a、均匀各向同性材料。 b、没有包辛格效应。 c、

2、塑性变形与平均应力无关。 性质：（1）屈服曲线是一条将原点包围在 内部的封闭曲线； （2）材料的初始屈服只有一次。 （3）屈服曲线对称于AA,BB,CC的轴。 上，对称于AA。 （4）屈服曲线对称于 AA,BB,CC的直线。 在屈服曲线上，所以屈服曲线 是一条包含原点，在其内部的封闭外凸曲线，且具有6条对称轴，由12条相 同弧段所组成。 3.2几种常用的屈服条件 一、Tresca屈服条件（最大剪应力条件） 当最大剪应力达到一定的数值时，材料就开始屈服。 1、主应力已知 2、主应力次序未知 平行于L的正六边形柱面。外接圆半径：2k 如：平面应力状态 令 的平面斜截所得的图形 3、应力不变量表示T

3、resca条件： 4、优缺点 优点：条件是主应力的线性函数，主应力方向已知时，方便。 缺点：忽略了中间应力的影响，且屈服曲线有角点，数学上不方便。 二、Mises屈服条件 认为当形状变形比能达到一定数值是，材料开始屈服。即 2、几何图形如前。 平面应力状态下， 3、优缺点： 优点：考虑了中间应力对屈服的影响，屈服曲线最简，数学处理上 容易，较精确。 缺点：未考虑平均应力的影响。（对岩石类材料不适用） 三、双应力屈服条件（最大偏应力屈服条件 认为在一点的应力状态中，除了最大主剪切应力13外，其他的主剪切应力也将影响材 料的屈服。（有两个独立） 单两个较大的主剪切应力的绝对值之和达到某一数值时，材

4、开始屈服。 1、几何表示 2、应力偏量不变量表示： 3.3 屈服条件的实验验证 一，薄圆管受拉力和内压的联合作用（Lode，1926年） 已知：平均半径为R，壁厚为h，hR 由材力知： 最大偏应力屈服条件： 二、薄圆管受拉力和扭矩联合作用（TaylorQuinney，1931） 0 2 1 2 0 0 2 1 2 2 z 2 z z 3 r2 2 z 2 z z 1 三、结论 1、Mises屈服条件较Tresca、最大偏应力理论更符合实验。 2、Mises、Tresca屈服条件主要适合于延性金属材料。 3、双剪应力屈服条件也适合于岩石及土体材料。 3.4 后继屈服条件及硬化模型 一、后继屈服条

5、件的概念 1、单向拉伸2、复杂应力状态下 3、后继屈服条件（硬化条件） 后继屈服面又称为硬化面或加载面。 后继屈服条件（硬化条件）：确定材料处于后继弹性状态还是塑性状态的准则。 后继屈服函数（硬化函数、加减函数）：表示屈服条件的函数关系。 合。服面与初始屈服面不重对于硬化材料：后继屈 重合。继屈服面与初始屈服面对于理想塑性材料：后 二、几种硬化模型 1、单一曲线假设 认为对于塑性变形中保持各向同性的材料，在简单加载的情况下，各应力分量成比例增加， 其硬化特性可由应力强度 和应变强度的确定函数关系来表示： ，且该函数的 形式与应力状态形式无关，而仅与材料特性有关。 2、等向硬化模型 认为后继屈服

6、面在应力空间中的形状和中心位置保持不变，随着塑性变形的增加，逐渐等 向的扩大。不计静水压力和包辛格效应 3、随动硬化模型 认为材料在塑性变形的方向上被硬化，而在其相反方向上被同等软化。考虑包辛格 效应。屈服面的大小，形状不变，只是整体平移了。 4、组合硬化模型 认为后继屈服面的形状，大小和位置一起随着塑性变形的发展而变化。 第4章塑性本构关系 增量理论（流动理论） levy-Mises理论，Prandtl-Reuss理论 全量理论（形变理论） H.Hencky理论，Naday.依留申 4.1加载与卸载准则 一、理想弹塑性材料的加载与卸载准则 后继屈服条件与初始屈服条件相同 4.2弹性应力-应变

7、关系 改写 或写为： 二.偏量形式的本构关系 其中 （五个独立方程，因为 ） 由 得 所以.本构关系为： 结论 1.体积变形是弹性的。 2.应力偏量与应变偏量成比例。 3.等效应力与等效应变成比例。 三.卸载胡克定律 服从弹性规律（增量形式） 4.3 全量型本构关系 伊柳辛理论（小弹性塑性变形理论） 1假设 体积变形是弹性的 应力偏量与应变偏量相似且同轴 存在单质对应关系 2本构关系 简单加载定理 简单加载：加载过程中，材料内任一点的应力状态。的各分量都按同一比 例增加。 t单调递增的正参数 2，简单加载定理 四个条件：变形是微小的。 材料是不可压缩的 外载荷按比例单调增长，若有位移边界，只能

8、为零位移边界。 材料的 曲线具有 形式 满足，则为简单加载。 3适用范围：满足简单加载条件。 三，卸载定理： 卸载时，按弹性规律变化。残余应力残余应变 4.4全量理论的基本方程及边值问题的提法 1.平衡方程: 0,ijijF 2.几何方程)( 2 1 .ijjiij 3.本构方程: )( 2 3 21 ijij kkkk Se E 4.应力边界条件:上在TSijijdTnd 5.位移边界条件: 上在 u 0 Suu j i 6.连续性条件：弹塑性区交界面上 15个未知量，15个方程，可按位移法或应力法求解，比弹性求解还困难。 4.5理想塑性材料的增量型本构关系 Lery-Mises理论： 1，

9、理论假设： 在塑性区总应变等于塑性应变（忽略弹性应变部分） ij p ij p ij e ijdddd 体积变形是弹性的。 kkkkd E d 21 当体积不可压缩时， 0kkd 2 1 0 21 E 0dSddeij ij p d 比例系数，决定于质点的位置和加载水平 2本构关系 ijij ij ij kk ij ij Sdd Sdd d Sdde p p p 忽略弹性应变 0 3，说明： A 应变增量与应力偏量主轴重合，即应变增量与应力的主轴方向重合。 B 应变增量的分量与应力偏量的分量成比例。 4. 的确定： 二.PrandtlReuss理论 考虑弹性变形部分 2. 的确定： 四、实验验

10、证： 杂加载情况。、增量理论仅适用于复 影响。加载情况及加载历程的。增量理论能反映复杂瞬时段的变形积累而得、整个变形过程可由各 、都利用了公式 理论不考虑弹性变形理论考虑弹性变形，而、区别在于 较三、两种增量理论的比 或 本构关系： 4 3 .dd2 ises-eryRerand1 s 2 3 2 1 d 21 d 2 d3 d 2 1 de d 31 . 3 2 dw3 ij ijmij s d ijij kk 2 2 2 ij s d ijij ij kk s d S MLvsstlP dw dS G S E S W S G E d d 成立。 ， 和拉伸联合作用。拉伸联合作用，或扭转采用薄壁圆管受内压和 ij p ij pp p d p p dd s .dd 1 dd 21- - - 2 d 31 3 p 2 31 32 4.6 弹塑性强化材料的增量型本构关系 4.7 增量理论的基本方程及边值问题的提法 4.8 塑性势及流动法则 一Drucker公设 2.Drucker公设 二加载