第五讲 套利定价模型(APT)

1、第五讲第五讲 套利定价模型套利定价模型 （apt） 本讲的主要内容本讲的主要内容： 1、capm模型的缺陷 2、因素模型 3、套利组合 4、apt模型 5、capm与apt的比较 一、一、capmcapm的局限性的局限性 （一）相关假设条件的局限性（一）相关假设条件的局限性 1.1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符；市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符； 2.2.投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是无投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是无 成本的，与现实不符；成本的，与现实不符； 3. 3.投资者为风险厌恶的假设过于严格。投资者为风险厌恶的假设过于严格。 （二）（二）c

2、apmcapm的实证检验问题的实证检验问题 1.1.市场组合的识别和计算问题市场组合的识别和计算问题 capmcapm刻画了资本市场达到均衡时资产收益的决定方法。所刻画了资本市场达到均衡时资产收益的决定方法。所 有的有的capmcapm（包括修正的（包括修正的capmcapm）的共同特点是，均衡资产的收）的共同特点是，均衡资产的收 益率取决于市场资产组合的期望收益率。理论上，市场资产益率取决于市场资产组合的期望收益率。理论上，市场资产 组合定义为所有资产的加权组合，每一种资产的权数等于该组合定义为所有资产的加权组合，每一种资产的权数等于该 资产总市场价值占所有资产总价值的比重。但实际上，市场资

3、产总市场价值占所有资产总价值的比重。但实际上，市场 资产涵盖的范围非常广泛，因此，在资产涵盖的范围非常广泛，因此，在capmcapm的实际运用中要识的实际运用中要识 别一个真正的市场组合几乎是不可能的。别一个真正的市场组合几乎是不可能的。 一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普尔工一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普尔工 业指数）作为市场资产组合的替代，对业指数）作为市场资产组合的替代，对capmcapm进行了检验，得进行了检验，得 出的结果却与现实相悖。出的结果却与现实相悖。 2. 2.单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定

4、 的影响因素的影响因素 rosenberg and rosenberg and marshemarshe（19771977）的研究发现，如果将）的研究发现，如果将 红利、交易量和企业规模加入计量模型，则红利、交易量和企业规模加入计量模型，则系数会更有系数会更有 说服力。说服力。 basu(1977) basu(1977)发现，低市盈率股票的期望收益率高于资发现，低市盈率股票的期望收益率高于资 本资产定价模型的估计；本资产定价模型的估计；banz(1981)banz(1981)的实证研究表明，股的实证研究表明，股 票收益率存在票收益率存在“规模效应规模效应”，即小公司股票有较高的超常，即小公司股

5、票有较高的超常 收益率；收益率；kleimkleim（19831983）发现股票收益呈季节性变动，即存）发现股票收益呈季节性变动，即存 在季节效应。在季节效应。 上述两方面的局限性都削弱了上述两方面的局限性都削弱了capmcapm对现实经济的解释能对现实经济的解释能 力。力。 （三）关于（三）关于capmcapm检验的罗尔批评（检验的罗尔批评（rolls critiquerolls critique） rollroll（19771977）对）对capmcapm提出了如下批评意见：提出了如下批评意见： 1.1.对于对于capmcapm唯一合适的检验形式应当是：检验包括所唯一合适的检验形式应当是：

6、检验包括所 有风险资产在内的市场资产组合是否具有均值有风险资产在内的市场资产组合是否具有均值- -方差效率。方差效率。 2.2.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股票如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股票 指数，那么如果该指数具有均值指数，那么如果该指数具有均值- -方差效率，则任何单个风方差效率，则任何单个风 险资产都会落在证券市场线上，而这是由于恒等变形引起险资产都会落在证券市场线上，而这是由于恒等变形引起 的，没有实际意义；的，没有实际意义； 3. 3.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产 收益的任何情形都有可能出现，它取决于无

7、效指数的选收益的任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的选 择。择。 该结论断言，即便市场组合是均值该结论断言，即便市场组合是均值- -方差效率的，方差效率的， capmcapm也是成立的，但使用前述方法得到的也是成立的，但使用前述方法得到的smlsml，也不能够，也不能够 证明单一风险资产均衡收益同证明单一风险资产均衡收益同风险、市场组合之间存风险、市场组合之间存 在某种有意义的关系。在某种有意义的关系。 因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模 糊，糊，capmcapm是无法检验的。是无法检验的。 二、套利定价理论简介二、套利定价理论简介 罗

8、斯（罗斯（rossross，19761976）给出了一个以无套利定价为基础的）给出了一个以无套利定价为基础的 多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（arbitrage arbitrage pricing theorypricing theory，aptapt）。该模型由一个多因素收益生成函）。该模型由一个多因素收益生成函 数推导而出，其理论基础为一价定律（数推导而出，其理论基础为一价定律（the law of one the law of one priceprice），即两种风险收益性质相同的资产不能按不同价），即两种风险收益性质相同的资产不能按

9、不同价 格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产 收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则 保证了市场均衡的实现。同时，保证了市场均衡的实现。同时，aptapt对对capmcapm中的投资者风险中的投资者风险 厌恶的假设条件作了放松，从而较厌恶的假设条件作了放松，从而较capmcapm具有更强的现实解释具有更强的现实解释 能力。能力。 三、因素模型三、因素模型 套利定价理论认为，证券收益是跟某些因素相关的。套利定价理论认为，证券收益是跟某些因素相关的。 为此，在介绍套

10、利定价理论之前，我们先得了解因素模型（为此，在介绍套利定价理论之前，我们先得了解因素模型（ factor modelsfactor models）。因素模型认为各种证券的收益率均受某）。因素模型认为各种证券的收益率均受某 个或某几个共同因素影响。各种证券收益率之所以相关主要个或某几个共同因素影响。各种证券收益率之所以相关主要 是因为他们都会对这些共同的因素起反应。因素模型的主要是因为他们都会对这些共同的因素起反应。因素模型的主要 目的就是找出这些因素并确定证券收益率对这些因素变动的目的就是找出这些因素并确定证券收益率对这些因素变动的 敏感度。敏感度。 （一）单因素模型（一）单因素模型 单因素模

11、型认为，证券的收益率只受一种因素的影单因素模型认为，证券的收益率只受一种因素的影 响。对于任意的证券响。对于任意的证券 i i，其在，其在t t时刻的单因素模型表达式时刻的单因素模型表达式 为：为： （5-15-1） 其中其中 表示证券表示证券i i在在t t时期的收益率，时期的收益率，f ft t表示该因表示该因 素在素在t t时期的预测值，时期的预测值，b bi i表示证券表示证券i i对该因素的敏感度。对该因素的敏感度。 为证券为证券i i在在t t时期的随机变量，其均值为零，标准时期的随机变量，其均值为零，标准 差为差为 ， i i为常数，它表示要素值为为常数，它表示要素值为0 0时证

12、券时证券i i的预期的预期 收益率。因素模型认为，随机变量收益率。因素模型认为，随机变量与因素是不相关的，与因素是不相关的， 且两种证券的随机变量之间也是不相关的。且两种证券的随机变量之间也是不相关的。 ittiiit fbar it r it i a 根据式（根据式（5-15-1），证券），证券i i 的预期收益率为：的预期收益率为： （5-25-2） 其中其中 表示该要素的期望值。表示该要素的期望值。 根据式（根据式（5-15-1），证券），证券i i 收益率的方差为：收益率的方差为： （5-35-3） 其中其中 表示表示f f因素的方差，因素的方差， 表示随机变量的方差，表示随机变量的方

13、差， 式（式（5-35-3）表明，某种证券的风险等于因素风险）表明，某种证券的风险等于因素风险 加上非因素风险加上非因素风险 。 在单因素模型下，证券在单因素模型下，证券i i和和j j收益率的协方差为：收益率的协方差为： （5-45-4） 单因素模型可以大大简化马科维茨模型中确定切点处投单因素模型可以大大简化马科维茨模型中确定切点处投 资组合的麻烦。资组合的麻烦。 fbar iii f 2222 ifii b 2 f 2 i )( 22 fi b 2 i 2 fjiij bb 在单因素模型中，证券组合的方差等于：在单因素模型中，证券组合的方差等于： （5-45-4） 其中，其中， 2222

14、pfpp b n i iip bxb 1 n i iip x 1 222 （二）两因素模型（二）两因素模型 两因素模型认为，证券收益率取决于两个因素，其表达两因素模型认为，证券收益率取决于两个因素，其表达 式为：式为： 其中其中,f,f1t 1t和 和f f2t 2t分别表示影响证券收益率的两个因素在 分别表示影响证券收益率的两个因素在t t时时 期的预测值期的预测值,b,bi1 i1和 和b bi2 i2分别表示证券 分别表示证券i i对这两个因素的敏感度对这两个因素的敏感度. . 证券证券i i的预期收益率为：的预期收益率为： 证券证券i i收益率的方差为：收益率的方差为： 其中其中cov

15、(fcov(f1 1,f,f2 2) )表示两个因素表示两个因素f f1 1和和f f2 2之间的协方差。之间的协方差。 证券证券i i和证券和证券j j的协方差为：的协方差为： ittitiiit fbfbar 2211 2211 fbfbar iiii 222222 11221212 2( ,) iififiii bbb b cov f f ),()( 211221 2 222 2 111 ffcovbbbbbbbb jijifjifjiij （三）多因素模型（三）多因素模型 多因素模型认为，证券多因素模型认为，证券i i 的收益率取决于的收益率取决于k k个因素，个因素， 其表达式为：其

16、表达式为： 应该注意的是，与资本资产定价模型不同，因素模型应该注意的是，与资本资产定价模型不同，因素模型 不是资产定价的均衡模型。在实际运用中，人们通常通过不是资产定价的均衡模型。在实际运用中，人们通常通过 理论分析确定影响证券收益率的各种因素，然后，根据历理论分析确定影响证券收益率的各种因素，然后，根据历 史数据，运用时间序列法、跨部门法、因素分析法等实证史数据，运用时间序列法、跨部门法、因素分析法等实证 方法估计出因素模型。方法估计出因素模型。 1122itiititikktit rab fb fb f 四、套利组合四、套利组合 根据套利定价理论，在不增加风险的情况下，投资者将根据套利定价

17、理论，在不增加风险的情况下，投资者将 利用组建套利组合的机会来增加其现有投资组合的预期收益利用组建套利组合的机会来增加其现有投资组合的预期收益 率。那么，什么是套利组合呢？率。那么，什么是套利组合呢？ 根据套利的定义，套利组合要满足三个条件：根据套利的定义，套利组合要满足三个条件： 条件条件1 1： 套利组合要求投资者不追加资金套利组合要求投资者不追加资金, ,即套利组合属于自融即套利组合属于自融 资组合资组合. .如果我们用如果我们用x xi i表示投资者持有证券表示投资者持有证券i i金额比例的变化金额比例的变化 ( (从而也代表证券从而也代表证券i i在套利组合中的权重在套利组合中的权重

18、, ,注意注意x xi i可正可负可正可负) )， 则该条件可以表示为：则该条件可以表示为： 123 0 n xxxx 条件条件2 2： 套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风 险。证券组合对某个因素的敏感度等于该组合中各种证券对该因险。证券组合对某个因素的敏感度等于该组合中各种证券对该因 素敏感度的加权平均数，因此在单因素模型下该条件可表达为：素敏感度的加权平均数，因此在单因素模型下该条件可表达为： 在双因素模型下，条件在双因素模型下，条件2 2表达式为：表达式为： 在多因素模型下，条件在多因素模型下，条件2 2表达式为：表达

19、式为： 0 2211 nn xbxbxb 0 1212111 nn xbxbxb 0 222121 nnnx bxbxb 0 1212111 nn xbxbxb 0 2211 nknkk xbxbxb 条件条件3 3： 套利组合的预期收益率应大于零，即：套利组合的预期收益率应大于零，即： 例题：例题： 某投资者拥有一个某投资者拥有一个3 3种股票组成的投资组合，种股票组成的投资组合，3 3种股票的种股票的 市值均为市值均为500500万，投资组合的总价值为万，投资组合的总价值为15001500万元。假定这三万元。假定这三 种股票均符合单因素模型，其预期收益率分别为种股票均符合单因素模型，其预期

20、收益率分别为16%16%、20%20%和和 13%13%，其对该因素的敏感度，其对该因素的敏感度(b(bi i) )分别为分别为0.90.9、3.13.1和和1.91.9。请问。请问 该投资者能否修改其投资组合，以便在不增加风险的情况下该投资者能否修改其投资组合，以便在不增加风险的情况下 提高预期收益率。提高预期收益率。 1 12 2 0 n n x rx rx r 解：解： 令三种股票市值比重变化量分别为令三种股票市值比重变化量分别为x x1 1、x x2 2和和x x3 3。根据。根据( (条件条件1)1) 和和( (条件条件2)2)我们有：我们有： 上述方程组有多种解上述方程组有多种解.

21、 .作为其中的一个解，我们令作为其中的一个解，我们令x x1 1 =0.1 =0.1， 则可解出则可解出x x2 2=0.083, x=0.083, x3 3= =0.1830.183。 为了检验这个解能否提高预期收益率，我们把这个解用为了检验这个解能否提高预期收益率，我们把这个解用( (条件条件 3)3)检验。则有：检验。则有： 0.1 0.1 0.16+0.0830.16+0.083 0.20.20.1830.183 0.13=0.881%0.13=0.881% 由于由于0.881%0.881%为正数，因此我们可以通过卖出为正数，因此我们可以通过卖出274.5274.5万元的第三万元的第三

22、 种股票种股票( (等于等于0.1830.183 15001500万元万元) )同时买入同时买入150150万元第一种股票万元第一种股票( (等等 于于0.10.1 15001500万元万元) )和和124.5124.5万元第二种股票万元第二种股票( (等于等于0.0830.083 15001500万元万元) ) 就能使投资组合的预期收益率提高就能使投资组合的预期收益率提高0.881%0.881%。 123 0 xxx 123 0.93.11.90 xxx 五、套利定价模型五、套利定价模型 投资者的套利活动是通过买入收益率偏高的证券同时投资者的套利活动是通过买入收益率偏高的证券同时 卖出收益率

23、偏低的证券来实现的，其结果是使收益率偏高卖出收益率偏低的证券来实现的，其结果是使收益率偏高 的证券价格上升，其收益率将相应回落；同时使收益率偏的证券价格上升，其收益率将相应回落；同时使收益率偏 低的证券价格下降，其收益率相应回升。这一过程将一直低的证券价格下降，其收益率相应回升。这一过程将一直 持续到各种证券的收益率跟各种证券对各因素的敏感度保持续到各种证券的收益率跟各种证券对各因素的敏感度保 持适当的关系为止。下面我们就来推导这种关系：持适当的关系为止。下面我们就来推导这种关系： （一）单因素模型的定价公式（一）单因素模型的定价公式 投资者套利活动的目标是使其套利组合预期收益率投资者套利活动

24、的目标是使其套利组合预期收益率 最大化最大化( (因为根据套利组合的定义因为根据套利组合的定义, ,他无需投资他无需投资, ,也没有也没有 风险风险) )。而套利组合的预期收益率为：。而套利组合的预期收益率为： 但套利活动要受到式但套利活动要受到式( (条件条件1)1)和和( (条件条件2)2)两个条件的两个条件的 约束。根据拉格朗日定理，我们可建立如下函数：约束。根据拉格朗日定理，我们可建立如下函数： l l取最大值的一价条件是上式对取最大值的一价条件是上式对x xi i和和 的偏导等于的偏导等于 零，即：零，即： 1 12 2pn n rx rx rx r 1 122012 11 122

25、()() () nnn nn maxlx rx rx rxxx bxb xb x 1011 1 0 l rb x 2012 2 0 l rb x 01 0 nn n l rb x 12 0 0 n l xxx 1 12 2 1 0 n n l bxbxbx 由此我们可以得到在均衡状态下由此我们可以得到在均衡状态下 和和 的关系：的关系： （5-55-5） 这就是在单因素模型这就是在单因素模型aptapt定价公式定价公式, ,其中其中 是常数。是常数。 从式从式(5-5)(5-5)可以看出可以看出 和和 必须保持线性关系，否则的必须保持线性关系，否则的 活，投资者就可以通过套利活动来提高投资组合

26、的预期收活，投资者就可以通过套利活动来提高投资组合的预期收 益率。式（益率。式（5-55-5）可以用下图来表示：）可以用下图来表示： _ i r i b ii br 10 10 和 _ i r i b aptapt资产定价线资产定价线 b s bi bb=bs r 式（式（5-55-5）中的）中的 代表什么意思呢？代表什么意思呢？ 我们知道，无风险资产的收益率等于无风险利率我们知道，无风险资产的收益率等于无风险利率 ，即：，即： 。由于式（。由于式（5-55-5）适用于所有证券包括无）适用于所有证券包括无 风险证券，而无风险证券的因素敏感度风险证券，而无风险证券的因素敏感度 ，因此，因此 根据

27、式（根据式（5-55-5）我们有：）我们有： 。由此可见，式（。由此可见，式（5-55-5） 中的中的 一定等于一定等于 ，因此式（，因此式（5-55-5）可重新表示为：）可重新表示为： （5-65-6） 为了理解为了理解 的含义，我们考虑一个纯因素组合的含义，我们考虑一个纯因素组合 其因素敏感度等于其因素敏感度等于1 1，即代入（，即代入（5-65-6），我们有：），我们有： 10 和 fi rr 0 i b 0 _ i r 0 f r ifi brr 1 1 )( * p f p rr * 1 由此可见，由此可见， 代表因素风险报酬，即拥有单位因素代表因素风险报酬，即拥有单位因素 敏感度的

28、组合超过无风险利率部分的预期收益率。为表敏感度的组合超过无风险利率部分的预期收益率。为表 达方便，我们令达方便，我们令 ，即，即 表示单位因素敏感度组表示单位因素敏感度组 合的预期收益率，我们有：合的预期收益率，我们有： （5-75-7） 1 * 1 p r 1 iffi brrr)( 1 （二）两因素模型的定价公式（二）两因素模型的定价公式 用同样的方法我们可以求出两因素模型中的用同样的方法我们可以求出两因素模型中的aptapt资产资产 定价公式：定价公式： （5-85-8） 同理，考虑无风险证券和两个充分多样化的组合，一同理，考虑无风险证券和两个充分多样化的组合，一 个组合对第一种因素的敏

29、感度等于个组合对第一种因素的敏感度等于1 1，对第二种因素的敏，对第二种因素的敏 感度等于感度等于0 0，其预期收益率为，其预期收益率为 ；另一个组合对第一种；另一个组合对第一种 因素的敏感度等于因素的敏感度等于0 0，对第二种因素的敏感度等于，对第二种因素的敏感度等于1 1，其预，其预 期收益率为期收益率为 。则有：。则有： (5-9)(5-9) 22110iii bbr 1 2 2211 )()( ififfi brbrrr （三）多因素模型的定价公式（三）多因素模型的定价公式 同样道理，在多因素模型下，同样道理，在多因素模型下，aptapt资产定价公式为：资产定价公式为： (5-10)(

30、5-10) 如果我们用如果我们用 表示对第表示对第j j种因素的敏感度为种因素的敏感度为1 1，而对其，而对其 它因素的敏感度为它因素的敏感度为0 0的证券组合的预期收益率，我们可以得的证券组合的预期收益率，我们可以得 到：到： (5-11)(5-11) 式式(5-11)(5-11)说明，一种证券的预期收益率等于无风险利说明，一种证券的预期收益率等于无风险利 率加上率加上k k个因素风险报酬。个因素风险报酬。 ikkiii bbbr 22110 j ikfkififfi brbrbrrr)()()( 2211 aptapt与与capmcapm的比较的比较 aptapt是比是比capmcapm更

31、为一般的资产定价模型更为一般的资产定价模型 1.apt1.apt是一个多因素模型，它假设均衡中的资产收益取是一个多因素模型，它假设均衡中的资产收益取 决于多个不同的外生因素，而决于多个不同的外生因素，而capmcapm中的资产收益只取决于一中的资产收益只取决于一 个单一的市场组合因素。从这个意义上看，个单一的市场组合因素。从这个意义上看，capmcapm只是只是aptapt的一的一 个特例。个特例。 2.capm2.capm成立的条件是投资者具有均值方差偏好、资产的成立的条件是投资者具有均值方差偏好、资产的 收益分布呈正态分布，而收益分布呈正态分布，而aptapt则不作这类限制，但它与则不作这类限制，但它与capmcapm一一 样，要求所有投资者对资产的期望收益和方差、协方差的估样，要求所有投资者对资产的期望收益和方差、协方差的估 计一致。计一致。 apt apt比比capmcapm显得更为完整稳键显得更为完整稳键 1.apt 1.apt没有关于资产回报率分布的假设没有关于资产回报率分布的假设, ,而而capmcapm要求资要求资 产回报率服从多元正态分布；产回报率服从多元正态分布； 2.apt 2.apt没有关于个