电路理论(黑皮版) 华中科技大学陈明辉第7章

1、7-1 第第7章章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路 7.1 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 7.2 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 7.3 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 7.5 冲激响应冲激响应 7.4 二阶电路二阶电路 7-2 一阶电路通常只含一个储能元件，其余为含源线性电阻网络。一阶电路通常只含一个储能元件，其余为含源线性电阻网络。 C 含源线性电阻网络含源线性电阻网络 L 含源线性电阻网络含源线性电阻网络 (a) RC电路电路(b) RL电路电路 一阶电路的两种基本类型一阶电路的两种基本类型 7-3 零输入响应零输入响应(Zero input respons

2、e )： 激励激励(电源电源)为零，由初始储能引起的响应。为零，由初始储能引起的响应。 7.1.1 RC电路的零输入响应电路的零输入响应 uC (0 )=U0 S(t=0) + uCR C i + uC 7.1 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 一、物理过程分析一、物理过程分析 电容具有初始储能，开关合上后，通过电阻释放能量。电容具有初始储能，开关合上后，通过电阻释放能量。 7-4 uC (0+)= uC (0 )=U0 解答形式解答形式 uC(t)=uC=Kest (特解特解 uC=0) 特征方程特征方程 RCS+1=0 RC S 1 t RC Keu 1 C t u Ci C d

3、d 0 d d C C t u RCu 二、微分方程及响应二、微分方程及响应S(t=0) + uCR C i + uC 7-5 初始值初始值 uC (0+)=uC(0 )=U0 K=U0 令令 =RC, 具有时间的量纲具有时间的量纲 , 称称 为时间常数为时间常数. (欧欧 法法=欧欧 库库/伏伏=欧欧 安安 秒秒/伏伏=秒秒) 0 1 0 t t RC KeU RC t Uu 0C e RC t R U t u Ci e d d 0C C I0 t i C O U0 t uC O )0( t )0( t S 1 三、时间常数三、时间常数 7-6 从理论上讲从理论上讲 t 时时,电路才能达到稳

4、态电路才能达到稳态. 但实际上一般认但实际上一般认 为为经过经过3 5 的时间的时间, 过渡过程结束过渡过程结束,电路已达到新的稳态电路已达到新的稳态. t0 2 3 4 5 U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.02U0 0.007 U0 t eUu 0C (实验测实验测 的方法的方法) 7-7 四、固有频率四、固有频率 开关闭合后，开关闭合后，C的能量不断释放的能量不断释放, 被被R吸收吸收, 直到全部储能消耗完毕直到全部储能消耗完毕. 五、能量关系五、能量关系 2 0 2 0 0 0 2 R 2 1 d)e(dCUtR R U tRiW RC t R C 特征方程特征方

5、程 RCS+1=0 RC S 1 特征方程特征方程的根称为固有频率的根称为固有频率 1 S S与电路的输入无关，仅取决于电路的结构和参数，体现与电路的输入无关，仅取决于电路的结构和参数，体现 了电路本身所了电路本身所固有固有的性质，因而称为的性质，因而称为固有频率固有频率。 2 0C 2 1 CUW 电容的初始储能为：电容的初始储能为： 电路中所有响应具有相同的固有频率。电路中所有响应具有相同的固有频率。 7-8 7.1.2 RL电路的零输入响应电路的零输入响应 iL (0 )=I0 一、微分方程及响应一、微分方程及响应 电感具有初始储能，通过电阻释放能量。电感具有初始储能，通过电阻释放能量。

6、 L R iL + uL iR iL (0+)= iL (0 )=I0 0 d d L L i t i R L 解答形式解答形式 iL(t)=iLh=Kest (特解特解 iLp=0) 特征方程特征方程 1 / 1 01 RL SS R L t Kei 1 L R1 + I0 L S(t=0) uR iL 7-9 t Kei 1 L iL (0 )=I0 代入初始条件，代入初始条件，K=I0 t eIi 1 0L t eIii 1 0LR t eRIRiu 1 0RR t eRIu dt di Lu 1 0R L L )0( t RI0 t uL=uR O I0 t iL O -I0 iR L

7、 R iL + uL iR 7-10 =L/R为为RL电路的时间常数，物理意义电路的时间常数，物理意义 同同RC电路的时间常数。电路的时间常数。 二、时间常数及固有频率二、时间常数及固有频率 RL电路的固有频率为电路的固有频率为 RL S / 11 S与电路的输入和初始状态无关，仅取决于电路的结构和参数。与电路的输入和初始状态无关，仅取决于电路的结构和参数。 量纲：量纲：亨亨/欧欧=韦韦/安安*欧欧=韦韦/伏伏=伏伏*秒秒/伏伏=秒秒 3 5 过渡过程结束。过渡过程结束。 L R iL + uL iR iL (0 )=I0 t eIi 1 0L 7-11 整个过渡过程中，电阻元件消耗的能量为：

8、整个过渡过程中，电阻元件消耗的能量为： 三、能量关系三、能量关系 2 0 0 0 0 0 RRR 2 1 deedLItIRItiuW tt 2 0L 2 1 LIW 电感的初始储能为：电感的初始储能为： 电阻元件消耗的能量恰好等于电感的初始储能。电阻元件消耗的能量恰好等于电感的初始储能。 7-12 R1 =3k , R2=6k ,C=1 F,uS=30V,求求t0的响应的响应uC 、 、 i1 、 、i2 。 例例7-1-1. S + uC US R1 C i2 R2 + i1 + uCR C i 解：解： 换路后的等效电路换路后的等效电路 500 1 2 21 21 RCk RR RR R

9、 t t eUu 500 0C 20e 0S 21 2 CC V2030 63 6 )0()0(UU RR R uu 7-13 )0(20e 500 0C teUu t RC t 0)(tmA 3 20 500 1 1 tC e R u i 0)(tmA 3 10 500 2 2 tC e R u i 回到原电路求回到原电路求i1、i2。 。 S + uC US R1 C i2 R2 + i1 7-14 例例7-1-2 105/)122(/)( 2d1eq RRRR A5 3 15 )0()0( 3 S LL R U ii R1 =2 , R2=5 , R3=3 ,L= 3H , US=15V

10、, t0求求uL 。 。 解：解： s R L 10 3 126 6 1 1 d R R u u R S(t=0) iL US 1 R1 R2 R3 6u L 2 + + + u + uL 求换路后的等效电路求换路后的等效电路 + Req iL _ uL 先将受控源等效为一个电阻先将受控源等效为一个电阻 )0(5)0( 3 10 1 LL teeii tt )0(50 3 10 LeqL teiRu t 7-15 C1 =C2 =C0 ,uC1(0 )=U0, uC2(0 )=0求求t0的响应的响应uC1 、 、 uC2 。 解：解： RCC CC CC C 0 21 21 2 1 0C2C1

11、C2C1C )0()0()0()0()0(Uuuuuu )1( 2 11 )0( 1 00 0 1 11 t RC t CC eUUt d i C uu )0( t 例例7-1-3 S(t=0) C1 i uC1 + a b uC2 + C2 R + i R C uC a b RC tt Uuu 0 CC ee )0( t RC e R U R u i 1 0C )1( 2 11 )0( 1 0 0 2 C2C2 t RC t eUt d i C uu 7-16 )1( 2 1 1 01C t RC eUu )0( t )1( 2 1 1 0C2 t RC eUu 0C2C1 2 1 )()(

12、Uuut 换路后，换路后，C1通过通过R放电释放能量，同时给放电释放能量，同时给C2充电，充电， 当二者电压相等时，过渡过程结束。当二者电压相等时，过渡过程结束。 7-17 小结：小结： 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应。 一般形式为：一般形式为： 2. 响应响应快慢取决于时间常数快慢取决于时间常数 . RC电路电路 ： = ReqC, RL电路：电路： = L/Req 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4. 一阶电路的零输入响应和初值成正比。一阶电路的零输入响应和初值成正比。

13、t eyy )0( 7-18 零状态响应零状态响应(Zero state response)：储能元件初始能量为零，：储能元件初始能量为零， 在激励在激励(电源电源)作用下产生的过渡过程。作用下产生的过渡过程。 7.2.1 直流电源激励下的零状态响应直流电源激励下的零状态响应 7.2 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 uC (0 )=0 S(t=0) + uC US R C iR + uR+ iC 1. 物理过程分析物理过程分析 一、一、RC电路电路 t=0,uC (0+)= uC (0 )=0,电容相当于电容相当于 短路，电源对其充电，开始充电短路，电源对其充电，开始充电 电流最大，

14、随着电容电压的上升，电流最大，随着电容电压的上升， 充电电流不断减小。充电电流不断减小。 当当uC =US 时，时，uR=0 ,iR =0,过渡过程结束。过渡过程结束。 7-19 uC (0+)= uC (0 )=0 RCKeu t 1 Ch t u CiUuu d d C SCR 2.微分方程及响应微分方程及响应 SC C d d Uu t u RC 求特解求特解 uCp= US 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：ChCpC uuu 通解通解 特解特解 强制分量强制分量 (稳态分量稳态分量) 求齐次方程通解求齐次方程通解 uCh 自由分量自由分量(暂态分量暂态分

15、量) 全解全解 SCpChC eUKuuu t uC (0 )=0 S(t=0) + uC US R C iR + uR+ iC 7-20 uC (0+)=K+US= 0 K= US 定常数定常数 )0( )e1(e S SSC tUUUu tt US US uCp uCh 强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态) uc tO t iR R U S O t R U t u Cii e d d SC CR 3.稳态分量与暂态分量稳态分量与暂态分量 4.时间常数时间常数 =RC 5. 固有频率固有频率S S= -1/ 7-21 6.能量关系：能量关系： 电源提供的能量一部分被电阻消

16、耗掉，电源提供的能量一部分被电阻消耗掉， 一部分储存在电容中，且一部分储存在电容中，且WC=WR tR R U tRtpW t i R d)(dd 22 e 0 S 00 R C 2 S 2 S 2 S 2 1 0 2 1 0 )(| 2 2 eeWCUCU R U t t 充电效率为充电效率为50% US R C 7-22 t= 0时闭合开关时闭合开关S. 求求uC、 、i1的零状态响应。 的零状态响应。 C C d d u t u Cu C 1 1 2 1 2 i uiu 64 d d 4 C C u t u 1044 SS V5 . 14/6 CP u t Keu Ch t Ku C e

17、5 . 1 0)(V e5 . 15 . 1 C tu t u iC i1 2i1 + + 2V + 1 1 1 0.8F uC S uC (V) t 1.5 O 例例1. 解法解法1: 7-23 解法解法2:戴维南等效戴维南等效. s 18 . 0)25. 01( RC V 5 . 1 Cp u 0)(V e5 . 15 . 1 C tu t 0)( Ae3 . 05 . 0 1 ) d d (2 C C 1 t u t u C i t )0()0( 11 ii + 1.5V + 0.25 1 0.8F uC S u iC i1 2i1 + + 2V + 1 1 1 0.8F uC S 7-

18、24 7.2.2 阶跃响应阶跃响应 )( )e1()( SC tUuts RC t )( e S t R U i RC t uC (0 )=0 + uC US (t) R C i + t i R U S O US uC tO 单位阶跃响应：输入为常量时的零状态单位阶跃响应：输入为常量时的零状态 响应，阶跃输入免去了开关的作用。响应，阶跃输入免去了开关的作用。 uC (0 )=0 S(t=0) + uC US R C iR + uR+ iC 7-25 延时阶跃响应延时阶跃响应: 激励在激励在t=t0时加入，时加入， 则响应从则响应从t=t0开始。开始。 uC (t0 )=0 + uC US (t

19、 t0) R C i + )( )e1( SC tUu RC t )( e S t R U i RC t US uC tOt0t i R U S Ot0 )( )e1( 0SC 0 ttUu RC tt )( e 0 S 0 tt R U i RC tt 7-26 注意：注意： 零状态网络的阶跃响应为零状态网络的阶跃响应为 y(t) (t) 时，时， 则延时则延时t0的阶跃响应为的阶跃响应为 y(t-t0) (t-t0). 结论结论： )( )e1( 0SC 0 ttUu RC tt )( )e1( 0SC ttUu RC t 二者的区别二者的区别 ! 7-27 7.2.3 正弦电源激励下的正

20、弦电源激励下的零状态响应零状态响应 )sin(A Lp ti iL (0+)= iL(0 )=0 SL L d d ii t i R L 解答形式为：解答形式为： LpLhL iii R L Kei t 1 Lh 一、微分方程及响应一、微分方程及响应 iL (0 )=0 iL iS + L S(t=0) R uR + uL iR A)sin( S tIi m 设特解为：设特解为： 将特解代入微分方程求待定系数将特解代入微分方程求待定系数 )sin()sin(A )cos( A m tItt R L 7-28 )sin( )sin( 1)( 1 )cos( 1)( 1)(A m 22 2 tI

21、t R L t R L R L R L 1)( 2 R L R L 1 )sin()sin(1)(A m 2 tIt R L 1)( A 2 m R L I R L arctan 0)sin(A L ttKei t )sin()sin(A )cos( A m tItt R L 7-29 解答为解答为 将初始条件代入求待定系数将初始条件代入求待定系数K sinA K 0)sin(A L ttKei t 0)sin(AAsin L ttei t iL t 0 iLp 2 3 4 iLh sinA sin sin0.368A 时电感电流的波形时电感电流的波形 2 0 LpLLh 0iiit 响应达到

22、正弦稳态，所需时间为响应达到正弦稳态，所需时间为4 5 。 二、稳态分量及暂态分量二、稳态分量及暂态分量 7-30 讨论：讨论：(1) 合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。 三、合闸角对响应的影响三、合闸角对响应的影响 (2) )Acos(A) 2 sin(AA L tetei tt 0)sin(AAsin L ttei t R L arctan 0arctan R L K=0 无暂态分量无暂态分量 0sinA L tti AAsin, 2 , 2 arctan R L 最大电流出现在合闸后半个周期时最大电流出现在合闸后半个周期时 t = T/2

23、，为稳态幅值的，为稳态幅值的2倍。倍。 若若 T (T为正弦输入的周期为正弦输入的周期) A2)Acos(A) 2 ( L T i 7-31 例例7-2-1R1 =6 , R2=12 , R3=2 , US=18V, L= 2H , 求求t0的零的零 状态响应状态响应iL 。 。 解：解： s R L 3 1 eq )0( t iL US + R1 L S(t=0) R2 R3 a b iL L Req UOC + _ a b V1218 126 12 S 21 2 OC U RR R U 6 126 126 2 3 21 21 eq R RR RR R )e1(2)e1()e1( 3 1 e

24、q OC 1 SL t tt R U Ii 7-32 RC延时电路，要求开关闭合后延时延时电路，要求开关闭合后延时0.4s点亮点亮70V的的 氖光灯，试确定氖光灯，试确定R2的值。已知的值。已知R1 =1.5M ,C= 0.1 F, US=110V。 。 解：解： CRR)( 21 )e1( 1 SC t Uu 例例7-2-2 US 氖氖 光光 灯灯 +R1 C S R2 uC + s t 395. 070)e1(110 1 M45. 2 395. 0)( 2 21 R CRR 7-33 7.2.4零状态响应的线性特性与时不变特性零状态响应的线性特性与时不变特性 一、线性特性一、线性特性 线性

25、时不变电路零状态响应是输入的线性函数，满足线性时不变电路零状态响应是输入的线性函数，满足 齐次性和可加性。齐次性和可加性。 二、时不变特性二、时不变特性 若输入为若输入为x(t),零状态响应零状态响应y(t) 输入为输入为x(t-t0),零状态响应零状态响应y(t-t0) 三、微分或积分特性三、微分或积分特性 若输入为若输入为x(t),零状态响应零状态响应y(t) 当输入为当输入为dx(t)/dt,零状态响应零状态响应dy(t)/dt 若输入为若输入为x(t)的积分的积分,则零状态响应为则零状态响应为y(t)的积分。的积分。 7-34 例例7-2-4 )3(3)1(2)( S tttu 求零状

26、态响应求零状态响应uC . 解解: R uS + uC C + 由由 (t)引起的零状态响应引起的零状态响应uC1： (t) )e1( 1C RC t u 根据线性特性和时不变特性，由根据线性特性和时不变特性，由uS引起的零状态响应引起的零状态响应uC为为 3)-(t e13-1)-(t e12(t) )e1( )3( 1 )1( 1 C t RC t RCRC t u 1 3 t /s uS /V 0 2 1 32 7-35 例例2. )5 . 0( )( 10 S ttu 求阶跃响应求阶跃响应iC . 10k 10k uS + iC 100 F 0.5 10 t (s) uS (V) 0

27、解解: 10k 10k 10 (t) + 100 F C i 10k 10k 10 (t t0) + 100 F C i 7-36 等效等效 s 5 . 010510100 36 RC mA )5 . 0( )5 . 0(2 C tei t mA )( 2 C tei t Am)5 . 0( 1)( 1 )5 . 0(22 C CC teteiii tt 5k 5 (t) V + 100 F C i 分段表示为：分段表示为： 0.5)( mA 0.632e- 0.5)(0 mA e 0.5)-2(t- 2 C t t i t 10k 10k 10 (t) + 100 F C i 10k 10k

28、 10 (t t0) + 100 F C i 7-37 分段表示为分段表示为 s)0.5( mA 0.632 s)5 . 0(0 mA )( 0.5)-2( 2 C te te ti t t t(s) iC(mA) 0 1 0.632 0.5 波形波形 0.368 )5 . 0( )5 . 0( )5 . 0( )( )5 . 0(2222 C tetetetei tttt )5 . 0( )5 . 0( )5 . 0( )( )5 . 0(2)5 . 0(212 teteette ttt )5 . 0( 632. 0)5 . 0( 1)( )5 . 0(22 tette tt 配项法：配项法

29、： 7-38 SC C d d Uu t u RC 非齐次方程非齐次方程 =RC uC (0+)=K+US SCpChC eUKuuu t 全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。 7.3 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 (complete response) 7.3.1 RC电路的全响应电路的全响应 uC (0+)= uC (0-)= U0 uC (0 )=U0 S(t=0) + uC US R C + SSCC e-)(0UUuu t K=uC (0+)-US 7-39 US U0 U0US uC的波形的波形 uC (0

30、 )=U0 S(t=0) + uC US R C + 7-40 一、一、 全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加 )0( )1( CC S0C tuu eUeUu tt = + 7.3.2全响应的分解全响应的分解 uC (0 )=U0 S(t=0) + uC US R C + uC(0-)=U0 S(t=0) + R C C u uC (0-)=0 S(t=0) + US R C + C u 7-41 二、 全响应分解为暂态分量和稳态分量全响应分解为暂态分量和稳态分量 (t0) 稳态分量稳态分量暂态分量暂态分量 t UuUu e)0( SCSC 稳态分

31、量只与输入有关稳态分量只与输入有关 暂态分量不仅与输入有关，还与初始条件有关暂态分量不仅与输入有关，还与初始条件有关 uC (0 )=U0 S(t=0) + uC US R C + 7-42 全响应小结全响应小结: 1. 全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过 渡过程的本质渡过程的本质; 2. 零输入响应与零状态响应的分解方法其本质零输入响应与零状态响应的分解方法其本质 是叠加，因此只适用于线性电路；是叠加，因此只适用于线性电路； 3. 零输入响应与零状态响应均满足齐性原理，但零输入响应与零状态响应均满足齐性原理，但 全响应不满足。全响应不满足。 7-

32、43 t eyytyty )0()0()()( pp 时时间间常常数数初初始始值值稳稳态态解解三三要要素素 )0( )(: yy 一阶电路的数学描述是一阶微分方程一阶电路的数学描述是一阶微分方程 , 其解的一般形式为其解的一般形式为 )()()()( pph tyKetytyty t 令令 t = 0+ )0()0( p yKy则则)0()0( p yyK )( )()0()()(直直流流激激励励 t eyyyty 特特解解通通解解其其中中 )( )( p tytyh 7.3.3 一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法 7-44 三要素的确定：三要素的确定： 1.时间常数时间常数 的确定：的确定

33、： RC电路：电路： =ReqCRL电路：电路： =L/Req Req:换路后电路中所有独立电源置零后接在储能换路后电路中所有独立电源置零后接在储能 元件（元件（L或或C）两端的等效电阻。）两端的等效电阻。 2. 稳态值稳态值y( )的确定：的确定： 稳态值稳态值y( )由换路后的稳态电路由换路后的稳态电路确定，（电容相当确定，（电容相当 于开路，电感相当于短路）于开路，电感相当于短路） )( )()0()()(直直流流激激励励 t eyyyty 时时间间常常数数初初始始值值稳稳态态解解三三要要素素 )0( )(: yy 7-45 3. 初始值初始值y(0+)的确定：的确定： 由换路前储能元件

34、的初始值由换路前储能元件的初始值uC(0 )或 或iL(0 ) ， ， 根据换路定则确定根据换路定则确定t=0+时的等效电路，再由时的等效电路，再由t=0+时时 的等效电路确定的等效电路确定y(0+)。 一般情况：一般情况： 特殊情况：特殊情况： 换路后有电容并联或有电感串联时，或电路有冲换路后有电容并联或有电感串联时，或电路有冲 激激励时，换路定则不再成立，此时应根据电荷守恒激激励时，换路定则不再成立，此时应根据电荷守恒 或磁链守恒先确定或磁链守恒先确定uC(0+) 或或iL(0+) ，再确定，再确定y(0+)。 7-46 例例7-3-1 解：解： t=0时合开关时合开关S。求。求 换路后的

35、换路后的iR2(t) 。 A1,V12,6,3 321 SS IURRR 已知：已知： A5 .0)0( S 32 3 L I RR R i A5 .0)0()0( LL ii A5 . 1)0()0()0( L12R iii A1 )0( )0( 21 L2S 1 RR iRU i SL2121 )0()0()(UiRiRR )0()1( 2R i求求 用三要素法求解用三要素法求解 时的等效电路时的等效电路 0t由由 采用回路分析法采用回路分析法 R1 S US + L iR2 R2R3 Is iL US + R1 iL(0+) iR2 R2 R3 Is i1(0+) 0t 7-47 S 1

36、 S R2 321 )() 111 (I R U u RRR A25. 1 )( )( 2 R2 R2 R u i V5 . 7)( 2R u 采用节点分析法采用节点分析法 时的等效电路时的等效电路 t由由 )()2( 2R i求求 求求时时间间常常数数)3( 将独立电源置零，电感两端的等效电阻将独立电源置零，电感两端的等效电阻 8 3 21 21 eq R RR RR R s R L 8 1 eq 按三要素法按三要素法 )0(A)25. 125. 0( )()()0( 8 2R2R2R2R te ieiii t t t )( R2 i US + R1 R2 R3 Is 7-48 例例7-3-

37、2解：解：三要素法三要素法 _ + + 1 F + uo uC _ 100k + + _ 4mV 10k _ S(t=0) 求求 t0的响应的响应uc (t) 。 V0)0()0( CC uu s1 . 010110100 63 eq CR 换路后，再次达到稳态换路后，再次达到稳态 mV40104 10 100 )()( 3 oC uu 由换路后等效电路和运放由换路后等效电路和运放 的的 “虚短虚短” 、 “虚断虚断” k100 eq R 0)(tmV)1(40)()0()( 10 CCCC t t eeuuuu 0)(tmV)1(40 10 Co t euu 7-49 解：解： 图示电路，图

38、示电路， 2C21C1 )0()0(UuUu 用三要素法求解用三要素法求解 t 21 2211 C1C1 )()( CC UCUC uu 例例7-3-3 S(t=0) + uC1 R + uC2 C1C2 开关在开关在t=0时闭合。求响应时闭合。求响应uc1和和uc2 。 电路的时间常数电路的时间常数 1C1C1 )0()0(Uuu 2C2C2 )0()0(Uuu 21 21 eq CC CC RRC 由电荷守恒由电荷守恒)()()0()0( C22C11C22C11 uCuCuCuC )()( C2C1 uu 联立解得联立解得 7-50 图示电路，图示电路， 2C21C1 )0()0(UuU

39、u 21 2211 C1C1 )()( CC UCUC uu 例例7-3-3 S(t=0) + uC1 R + uC2 C1C2 开关在开关在t=0时闭合。求响应时闭合。求响应uc1和和uc2 。 1C1C1 )0()0(Uuu 2C2C2 )0()0(Uuu 21 21 eq CC CC RRC t t eUU CC C CC UCUC e CC UCUC U CC UCUC u )( )( 21 21 2 21 2211 21 2211 1 21 2211 C1 由三要素法由三要素法 t eUU CC C CC UCUC u )( 12 21 1 21 2211 C2 7-51 例例3.已

40、知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t = 0 时时 合合 S1 , t =0.2s时合时合S2。 0 t 0.2s A2)( s2 . 00)0( 1 i i A5)( s 5 . 0 A26. 1)2 . 0( 2 i i A26. 122)2 . 0( 2 . 05 ei A74. 35)( )2 . 0(2 t eti 解解 求换路后的电感电流求换路后的电感电流i(t)。 i t (s) 0.2 5 (A) 1.26 2 0 i 10V 1H S1(t=0) S2 (t=0.2s) 3 2 + _ 7-52 1. 通过例子，掌握求解二阶电路的方法、步骤。通过例子，掌握求解二阶电路的

41、方法、步骤。 2. 通过例子得出二阶电路的一般规律。通过例子得出二阶电路的一般规律。 二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应 重点掌握重点掌握 学习方法学习方法 7.4 二阶电路二阶电路 (Two Order Circuit) 7-53 二阶线性齐次微分方程解的一般形式二阶线性齐次微分方程解的一般形式 设二阶线性齐次微分方程为设二阶线性齐次微分方程为 0)( d )(d 2 d )(d 2 0 2 2 ty t ty t ty 02 2 0 2 SS特特征征方方程程为为 2 0 2 2, 1 S特征根为特征根为 根的性质不同，响应的变化规律也不同根的性

42、质不同，响应的变化规律也不同 过过阻阻尼尼）二二个个不不等等负负实实根根 ( )1( 0 t etty )kk()( 21 临临界界阻阻尼尼）二二个个相相等等负负实实根根 (S S )2( 210 方程的通解形式为：方程的通解形式为： 方程的通解形式为：方程的通解形式为： tStS eKeKty 21 21 )( 7-54 无无阻阻尼尼）为为一一对对纯纯虚虚根根 (S 0)4( 01,2 j 方程的通解形式为：方程的通解形式为： 欠欠阻阻尼尼）为为共共轭轭复复根根(S )3( d 22 01,20 jj 方程的通解形式为：方程的通解形式为： )sincos( sincos)( d 22 d 2

43、2 22 dd t BA B t BA A eBA tBetAety t tt )sin( 2d1 KteK t 1 K 2 sinK 2 cosK A B 22 BA )sin()( 201 KtKty 7-55 0 CLR uuu LCL R1 2 0 uC(0-)=U0 iL (0-)=0已知已知 求求 uC(t) , iL (t) , uL(t) . , d d C L t u Ci 2 C 2 L d d d d t u LC t i Lu L 7.4.1 RLC串联串联电路的零输入响应电路的零输入响应 0 d d 2 d d C 2 0 C 2 C 2 u t u t u )0(

44、1 )0()0( L C 0C i Cdt du Uu 0 d d d d C C 2 C 2 u t u RC t u LC 0 d d d d CC 2 C 2 LC u t u L R t u S(t=0) R L C + + - -uR iL + + - - uC 7-56 例例7-4-1 解解 A1 64 10 )0( L i V610 64 6 )0( C u CL L )63( d d 5 . 0ui t i 电路原已达稳态。电路原已达稳态。t=0 时开关时开关S打开。打开。的的响响应应求求 L 0it 4 iL S + uC 10V 0.02F 0.5H 3 6 + V6)0(

45、)0( CC uu A1)0()0( LL ii 换路后，由换路后，由KVL siu t i /A6)0(18)0(2 d d LC0 L srad LCL R /10 5 . 002. 0 11 , 9 5 . 02 63 2 0 换路后为换路后为RLC串联电路串联电路 7-57 欠欠阻阻尼尼）(36. 4 j981100j9jS 22 01,2 )36. 4sin()sin( 2 9 121L KteKKteKi t d t 6cos36. 4sin9 2121 kkkk 1sin 21 kk )0(A)47.5536. 4sin(214. 1 9 L ttei t 214.1 1 k 4

46、7.55 2 k 7-58 例例7-4-2利用下图电路可产生强大的瞬间电流，电容原处稳态。利用下图电路可产生强大的瞬间电流，电容原处稳态。 t=0开关开关S由由1至至2，求电流，求电流iL及其最大值及其最大值iLm 。 ,H106,105 94 LR已知：已知： 。V10,F1500 5 S UC 解解 )0(V10)0( C 5 C uu 0)0()0( LL ii rad/s1033. 3 1 ,1017. 4 2 5 0 4 LCL R )sin( 2d1L0 KteKi t 欠阻尼，欠阻尼， 522 0d 103 . 3 )cos()sin( 2dd12d1 L KteKKteK dt

47、 di tt A/s10 6 1)0()0( 14CL 0 L L u L u dt di 0 2 k 7 1 1004. 5 k 14 2d121 10 6 1 cossinkkkk 0sin 21 kk Us R0 R C + + - - uc iL S L 1 2 + + - - 7-59 6 d d max 1038. 4 arctg t 电感电流的最大值为：电感电流的最大值为： A1007. 4sin1004. 5 7 maxd 7 maxL max tei t 可计算可计算 tm 0 L dt di 令令 A)103 . 3sin(1004. 5 51017. 47 L 4 tei

48、 t iL t 0 tmax 电感电流的波形电感电流的波形 7-60 小结：小结： 非非振振荡荡放放电电过过阻阻尼尼， 2 C L R tt s ek s eku 21 21C 振振荡荡放放电电欠欠阻阻尼尼， 2 C L R )sin( 2d 1C kteku t 非非振振荡荡放放电电临临界界阻阻尼尼， 2 C L R )( 21 C tkkeu t 可推广应用于一般二阶电路可推广应用于一般二阶电路 定积分常数定积分常数 )0( )0( C C dt du u 由由 RLC串联二阶电路串联二阶电路 7-61 S Ii t i GL t i LC L L 2 L 2 d d d d 2 L 2

49、C d d t i LCi uC(0-)=0，iL(0-)=0。 已知已知 开关在开关在t=0打开求打开求 iL(t) .RLC并联电路，并联电路， S 2 0L 2 0 L 2 L 2 d d 2 d d ii t i t i LCC G1 2 0 SCLR Iiii KCL: 0L )0(Ii 0 L 1 )0(U Ldt di 0LL )0()0(Iii 0C L 1 )0( 1 )0(U L u Ldt di 初始条件初始条件 解法同前述解法同前述RLC串联电路串联电路 t i GLi d d L R 7.4.2 二阶二阶电路的零状态响应与全响应电路的零状态响应与全响应 iLiRiC

50、IS R C + + uC S L - - 7-62 求全响应求全响应uC和和 iL。 t uu iKCL d d 2 1 2 : CC L 246 d d 5 d d C C 2 C 2 u t u t u 解解 例例7-4-3 电路原已达稳态。电路原已达稳态。t=0 时开关时开关S闭合。闭合。 0)0( )0( LL ii 12)0()0(2 d d CL0 C ui t u 065 2 SS特特征征方方程程 特征根特征根 S1= -2 ，S2= -3过阻尼过阻尼 4 F 2 1 + - - uC S iL1H 12V + - - 2 V12)0( )0( CC uu C L L d d

51、1412:u t i iKVL 4 Cp u tt eKeKu 3 2 2 1Ch 4 3 2 2 1C tt eKeKu 7-63 124 )0( 21C KKu 4,12 21 KK )0()462( d d 2 1 2 1 32 L teee t u ui tttC C )0()4412( 32 C teeu tt 4 3 2 2 1C tt eKeKu 1232 d d 210 C KK t u 7-64 求所示电路中电流求所示电路中电流 i (t)的零状态响应。的零状态响应。 由由KVLi t i tiii2 d d d62)2(2 11 整理得：整理得： 1212 d d 8 d

52、d 2 2 i t i t i 二阶非齐次常微分方程二阶非齐次常微分方程 解：第一步列写微分方程解：第一步列写微分方程 例例4 0.5 u1 2-i i1 + + u1 - - 2 1/6F F1H S 2 2A i 22)2(25 . 05 . 0 11 iiiuii 7-65 第二步求通解第二步求通解ih ph iii 解答形式为：解答形式为： 12128 2 2 i dt di dt id 第三步求特解第三步求特解 ip 稳态模型稳态模型 S1= -2 ，S2 = -6 tt eKeKi 6 2 2 1h S2+8S+12=0 + + u1 1 - - 0.5u1 1 i 2A i =

53、0.5 u1 u1=2(2-0.5u1) u1=2V i( )=1A tt eKeKi 6 2 2 1 1 得得零零状状态态响响应应 + + u1 1 - - 0.5 u1 1 2 1/6F F1H S 2 2A i 7-66 第四步求初值第四步求初值 )0( 1 d d 0)0()0( 0L u Lt i ii V825 . 0)0( 11L uuu 0.5 u 0+电路模型：电路模型： V422 1 u + + u1 1 - - 1 1 2 1/6F F1H S 2 2A i 0.5 u + + u1 1 - - 1 1 2 2 2A + + uL L - - 7-67 第五步定常数第五步

54、定常数 tt eKeKi 6 2 2 1 1 21 21 628 10 KK KK 5 . 1 5 . 0 2 1 K K 0 A5 . 15 . 01)( 62 teeti tt 8)0( 1 )0( d d 0)0()0( L u Lt i ii + + u1 1 - - 0.5 u1 1 2 1/6F F1H k 2 2A i 7-68 零状态零状态 h(t)( t 单位冲激响应单位冲激响应： 电路在电路在单位冲激激励作用下产生的零状态响应。单位冲激激励作用下产生的零状态响应。 (Unit impulse response) 用用h(t)表示。表示。 + (t) R C iC + uC

55、7.5 冲激响应冲激响应 7-69 =1=0 RC u 1 )0( C uC 不可能是冲激函数不可能是冲激函数 , 否则微分方程不成立否则微分方程不成立 方法一、将冲激响应转化为方法一、将冲激响应转化为t0的零输入响应的零输入响应 1. t 从从 0 0+ 1)0()0( CC uuRC)0( C u 0 0 0 0 C 0 0 C d)(dd d d tttut t u RC )( d d C C tu t u RC uC(0-)=0 两边积分两边积分 + (t) R C iC + uC 7-70 2. t 0 零输入响应零输入响应 (C放电放电) )(e 1 C t RC u RC t )

56、( 1 )(e 1 )(e 1 )()e 1 ( 1 2 C C t R t CR t RC Ct RCRC C dt du Ci RC t RC t RC t uC t o RC 1 iC t CR 2 1 o 0 d d C C u t u RC RC u 1 )0( C R C iC + uC 7-71 例例7-5-1R1 =R2=20 , R3=30 , L= 1H , 求电路的冲激响应求电路的冲激响应iL。 。 解：解： )( 2 1 )()0( 21 2 L tt RR R u 40 21 21 3eq RR RR RR )( e 2 1 )( e )0( 40 1 LL ttii

57、 t t iL uL Req L + )( t iL + R1 L R3 R2 uL + 将冲激响应转化为将冲激响应转化为t0的零输入响应的零输入响应 A 2 1 )( 2 11 )0( 1 )0( 0 0 0 0 LL dtt L dtu L i s R L 40 1 eq 7-72 例例7-5-2 解解 0 21 kk 0)0(, 0)0( LC iu si Cdt du /V4)0( 1 )0( L C 4, 1 2 0 2 2, 1 S (t)V) 3 4 3 4 ( 4 C tt eeu 求单位冲激响应求单位冲激响应 C u (t) + + - - uC F 4 1 1H 5 - -+ +uL iL t=0,L开路，开路，C短路短路 0)0(,(t)0( CL iu A1d)(d)0( 1 )0()0( 0 0 0 0 LLL tttu L ii 0d)0( 1 )0()0( 0 0 CCC ti C uu rad/s2 1 , 5 . 2 2 0 LCL R 过过阻阻尼尼 0 44 21 kk 3 4 , 3 4 21 kk 7-73 已知：已知：R=1/5 , L=1/6H , C=1F， iS= (t) 0)0( 0)0( CL ui 解解: 例例5 冲激激励则提供初始条件。冲激激励则提供初始条件。 R C + - - uCiS iL L 求冲激响应