第七讲纠错编码

1、第第 七七 讲讲 差错控制编码差错控制编码 现代通信理论现代通信理论 信信 源源 信信 源源 编编 码码 信信 道道 编编 码码 调调 制制 发发 转转 换换 器器 媒媒 质质 收收 转转 换换 器器 解解 调调 信信 道道 译译 码码 信信 源源 译译 码码 信信 宿宿 目的：目的：提高信息传输的的可靠性和有效性，始终是通信工作所追提高信息传输的的可靠性和有效性，始终是通信工作所追 求的目标，纠错编码是提高信息传输可靠性的一种重要手段。求的目标，纠错编码是提高信息传输可靠性的一种重要手段。 第一部分第一部分 差错控制差错控制编码的概念编码的概念 差错控制编码属于信道编码差错控制编码属于信道编

2、码 提高通信系统的可靠性，降低误码率，减少发射功率，提高提高通信系统的可靠性，降低误码率，减少发射功率，提高 接收机的灵敏度等等。接收机的灵敏度等等。 信道容量：信道容量：信息通过信道传输，单位时间内信道上所能传输信息通过信道传输，单位时间内信道上所能传输 的最大信息量（即信息速率速率）称为信道容量。对于加性的最大信息量（即信息速率速率）称为信道容量。对于加性 高斯白噪声信道有：高斯白噪声信道有：C=Blog2(1+S/N)； 香农信道编码理论：香农信道编码理论：通过对信息进行适当的编码，一个含有通过对信息进行适当的编码，一个含有 噪声的信道所引起的差错可以减小到任一期望的水平，而又噪声的信道

3、所引起的差错可以减小到任一期望的水平，而又 不会牺牲信息的发射速率；不会牺牲信息的发射速率； 对于有噪声的信道，存在可以实现可靠通信的信道编码。它对于有噪声的信道，存在可以实现可靠通信的信道编码。它 能在发送速率能在发送速率 RC， 则无差错传输是不可能的。则无差错传输是不可能的。 随机性差错：随机性差错：由高斯噪声引起，差错是随机的且相互间是独立出现的。由高斯噪声引起，差错是随机的且相互间是独立出现的。 突发性差错：突发性差错：由脉冲性干扰引起，在短暂的时间内出现大量的差错，而由脉冲性干扰引起，在短暂的时间内出现大量的差错，而 这些短暂时间之后却又存在较长的无误码区间。这些短暂时间之后却又存

4、在较长的无误码区间。 混合性差错：混合性差错：即存在随机差错又有突发性差错。即存在随机差错又有突发性差错。 在信息序列之后附加一些监督码元，这些多余的码元与信息码元在信息序列之后附加一些监督码元，这些多余的码元与信息码元 之间以某种确定的规则相互关联，接收端按照既定的规则检验出关联之间以某种确定的规则相互关联，接收端按照既定的规则检验出关联 关系，如这种规则受到破坏，将会发现错误，乃至纠正错误。关系，如这种规则受到破坏，将会发现错误，乃至纠正错误。 二、差错控制的基本方法二、差错控制的基本方法 一、差错类型一、差错类型 随机性差错和突发性差错通常采用不同的纠错编码方法。随机性差错和突发性差错通

5、常采用不同的纠错编码方法。 检错与纠错能力检错与纠错能力与最小码距与最小码距d0有密切关系：有密切关系： 许用码组许用码组 禁用码组禁用码组 00 01 11 10 许用码组许用码组 禁用码组禁用码组 000 001 010 100 111 101 110 011 可以用来检测出一位错误可以用来检测出一位错误 可纠正一位或检测两位错误可纠正一位或检测两位错误 AB 0 1 2 3 d0 A B 0 1 2 3 4 5 d0 2. 为了纠正为了纠正 t 个错误：个错误： d0 2t1 1. 为了检测为了检测 e 个错误个错误： d0 e1； 3. 为了同时检测为了同时检测 e 个错误，纠正个错误

6、，纠正 t 个错误个错误： d0 et1 A B d0 e tt A 0 B 1 无检错与纠错能力无检错与纠错能力 三、三、差错控制方式差错控制方式 2. 前向纠错前向纠错（FEC） 可以纠正错误可以纠正错误 发发 收收 3. 混和纠错混和纠错（HEC） 可以发现和纠正错误可以发现和纠正错误 发发 收收 应答信号应答信号 比较：比较：译码复杂性、实时性和占用传输链路译码复杂性、实时性和占用传输链路(单向还是双向单向还是双向) 1. 检错重发检错重发（ARQ）（包括停发等候重发、返回重发和选择重发）包括停发等候重发、返回重发和选择重发） 能够发现错误能够发现错误 发发 收收 应答信号应答信号 A

7、RQ：自动重复请求发送：自动重复请求发送 1233 12 3 ACK NAKACK 等待时间等待时间 发送端发送端 接收端接收端 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 从码组从码组2开始重发开始重发 NAK ACK 发现错误发现错误 停发等候重发停发等候重发 返回重发返回重发 1 2 3 4 5 6 2 7 8 9 10 1 12 1 2 3 4 5 6 2 7 8 9 10 1112 重发重发码组码组2 2 NAK ACK 发现错误发现错误 选择重发选择重发 四、四、 纠错码纠错码 1. 分组码

8、与卷积码分组码与卷积码： 分组码：分组码：将信息码分组，为每组信息码后面附加若干位监督码元，且将信息码分组，为每组信息码后面附加若干位监督码元，且 监督码元仅监督本码组中的信息位。监督码元仅监督本码组中的信息位。 1n a 2n a r a 1r a 0 a K个信息位个信息位r个监督位个监督位 码长码长nkr 卷积码：卷积码：也是先将信息序列分组，后面附加监督位，但是监督位不但与也是先将信息序列分组，后面附加监督位，但是监督位不但与 本码组的信息位有关，还与前面码组的信息位有关，或者说监督位不仅本码组的信息位有关，还与前面码组的信息位有关，或者说监督位不仅 监督本码组的信息位还监督其它码组的

9、信息位。监督本码组的信息位还监督其它码组的信息位。 2. 系统码与非系统码系统码与非系统码 系统码：系统码：就是信息位在前，监督位在后的码字。就是信息位在前，监督位在后的码字。 非系统码非系统码: : 信息位与监督位之间无特定的位置关系信息位与监督位之间无特定的位置关系。 五、五、常用的简单纠错编码常用的简单纠错编码 1. 奇偶校验奇偶校验 偶校验偶校验0 0121 aaaa nn 设信息位每组长度为设信息位每组长度为n-1-1位，增加一位监督位，位，增加一位监督位，n n位编码构成位编码构成 以下约束关系：以下约束关系： 错错误误 正正确确 1 0 0121 aaaaS nn 接收端计算：接

10、收端计算： 奇偶校验可以用来检测单个或奇数个错误奇偶校验可以用来检测单个或奇数个错误 2. 纵向奇偶校验（纵向奇偶校验（LRC）用于检测突发错误）用于检测突发错误 11100111 11011101 00111001 10101001 11100111 11011101 00111001 10101001 纵向排列纵向排列 原始数据原始数据 11100111 11011101 00111001 10101001 10101010 突发错误突发错误 接收方检验是否满足接收方检验是否满足LRC。 LRC 10101010监督码元监督码元 信信 息息 码码 元元 0 1 0 1 1 0 1 1 0

11、0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 监督码元监督码元 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 监督码元监督码元 1 0 0 1 0 1 1 3. 水平垂直奇偶校验水平垂直奇偶校验 它能发现某一行或某一列上所有奇数个错误它能发现某一行或某一列上所有奇数个错误 以及长度不大于列数（或行数）的突发错误以及长度不大于列数（或行数）的突发错误 六、六、 差错控制编码的效用差错控制编码的效用 假设

12、在随机信道中发假设在随机信道中发“0”0”和发和发“1”1”的概率相同，可以证的概率相同，可以证 明，在码长为明，在码长为n n的码组中恰好发生的码组中恰好发生r r个错误的概率为：个错误的概率为： rrnrr nn p rnr n ppCrP ) )! !( (! ! ! ! ) )( () )( ( 1 52 7 1012212 . .) )( (pP 83 7 1053353 . .) )( (pP 可见采用差错控制编码，即使仅能纠正（或检测）可见采用差错控制编码，即使仅能纠正（或检测）12 个错误，就能使误码率下降几个数量级。个错误，就能使误码率下降几个数量级。 3 7 10771 p

13、P) )( ( 当码长当码长 n7 ，误码率误码率 P10 -3时时 : 则有：则有： 第二部分第二部分 线性分组码线性分组码 若监督位增加到若监督位增加到2位位，就可增加一个监督方程式，接收时就可，就可增加一个监督方程式，接收时就可 计算计算2个校正子个校正子S1和和S2，共有四种可能，除了，共有四种可能，除了00表示无错以外，表示无错以外， 其余其余3种就可以表示一位错码的的具体位置了。种就可以表示一位错码的的具体位置了。 这里这里 S 称为校正子，若称为校正子，若S0，表示无错，表示无错，S1表示有错误，表示有错误， 由于只用了一位监督位由于只用了一位监督位 a0，因此只能表示有错与无错

14、。，因此只能表示有错与无错。 0121 aaaaS nn 奇偶校验码就是一种效率很高的线性分组码奇偶校验码就是一种效率很高的线性分组码 分组码中，信息位和监督位之间由线性方程组联系的编码称作线分组码中，信息位和监督位之间由线性方程组联系的编码称作线 性分组码，或者说监督码元是由信息码元的线性组合而产生。性分组码，或者说监督码元是由信息码元的线性组合而产生。 一般说来对于，对于一般说来对于，对于r个监督位，可以计算个监督位，可以计算r个校正子，它可以个校正子，它可以 指出指出 种错误图样，即种错误图样，即 个错误位置，因此对于个错误位置，因此对于(n，k)码。码。 要想指出一位错码的所有可能位置

15、，则要求：要想指出一位错码的所有可能位置，则要求： 12 r 12 r rknC n r 1 12 3 r 0123456 aaaaaaa 123 SSS 设分组码中设分组码中（n，k）中中k4，为了纠正一位错误，则，为了纠正一位错误，则 ， 取取r3，则，则n7，用，用 表示，用表示，用 表示表示 由由3个监督方程式计算得到的校正子，并假设这个监督方程式计算得到的校正子，并假设这3个校正子与误个校正子与误 码对应的关系如下表所示：码对应的关系如下表所示： t i i n r C 1 12 若纠正若纠正 t 个错误个错误 一、线性分组码的构成：一、线性分组码的构成： 校正子表校正子表 S1S2

16、S3 误码位置误码位置 S1S2S3 误码位置误码位置 0 0 1 a0 1 0 1 a4 0 1 0 a1 1 1 0 a5 1 0 0 a2 1 1 1 a6 0 1 1 a3 0 0 0 无错无错 03463 13562 24561 aaaaS aaaaS aaaaS 发送端构成偶校验关系发送端构成偶校验关系 0 0 0 0346 1356 2456 aaaa aaaa aaaa 监督位由信息位的线性组合得到：监督位由信息位的线性组合得到： 3460 3561 4562 aaaa aaaa aaaa 许用码组许用码组 信息位信息位 监督位监督位 信息位信息位 监督位监督位 0 0 0 0

17、 0 0 0 1 0 0 0 111 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 100 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 010 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 001 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 001 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 010 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 100 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 111 3456 aaaa 012 aaa 3456 aaaa 012 aaa 0 0 1 1 0 2 0 3 1 4 1 5 0 6 1 0 0 0 1 1 2 0 3 1 4 0 5 1 6 1 0 0

18、 0 1 0 2 1 3 0 4 1 5 1 6 1 aaaaaaa aaaaaaa aaaaaaa 0 0 0 1001101 0101011 0010111 01234567 T aaaaaaaa 线性分组码的生成和监督矩阵线性分组码的生成和监督矩阵 监督矩阵监督矩阵 TT HA0 即即： 0123456 Aaaaaaaa 0000 1001101 0101011 0010111 H 其中：其中： r IPH 1001101 0101011 0010111 0 其中其中P为为rk 阶矩阵，阶矩阵， Ir 为为rr阶单位阵阶单位阵，具有具有H0 形式称为形式称为 典型形式的监督矩阵；典型形式

19、的监督矩阵； 线性代数理论告诉我们，典型形式的监督矩阵各行一定是线线性代数理论告诉我们，典型形式的监督矩阵各行一定是线 性无关的，非典型形式的监督矩阵可以通过矩阵的初等变换性无关的，非典型形式的监督矩阵可以通过矩阵的初等变换 转化为典型形式的监督矩阵。转化为典型形式的监督矩阵。 346 3 4 56 56 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 aaa a a aa aa a a a a a a a a a a a 对于所有的编码对于所有的编码 与信息位的关系：与信息位的关系： 3 4 5 6 346 356 456 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0123456 111 11

20、1 111 1 1 1 1 a a a a aaa aaa aaa a a a a a a a a a a a aaaaaaaA TT T Gaaaa aaaa 3456 3456 1101000 1010100 0110010 1110001 GaaaaA 3456则则 QIG k 1101000 1010100 0110010 1110001 其中其中 Q为为K r 阶矩阵阶矩阵，I k为为k阶单位阵阶单位阵 具有典型化形式具有典型化形式 G0 = Ik，Q 的生成矩阵称为典型生成矩阵的生成矩阵称为典型生成矩阵 它与典型化形式它与典型化形式 H0 = P，Ir 的关系为：的关系为： TT

21、PQQP 或或, , 结论：结论： 线性分组码的特性：线性分组码的特性： 1) 任意两个许用码组之和仍为许用码组封闭性任意两个许用码组之和仍为许用码组封闭性 2) 码的最小距离等于非零码的最小重量。码的最小距离等于非零码的最小重量。 1) 由典型化的生成矩阵产生的是系统码组；由典型化的生成矩阵产生的是系统码组； 2) 典型化的生成矩阵的各行也必定是线性无关的，每一行都是一典型化的生成矩阵的各行也必定是线性无关的，每一行都是一 个许用码组，个许用码组，k 行许用码组经过运算可以生成行许用码组经过运算可以生成 2k 个不同的码组；个不同的码组； 3) 非典型形式的生成矩阵经过运算也一定可化为典型形

22、式。非典型形式的生成矩阵经过运算也一定可化为典型形式。 三、三、线性分组码的伴随式译码线性分组码的伴随式译码 ., 021 rrrR nn ., 021 eeeE nn 发送码组为发送码组为A，接收码组为接收码组为R 设设E为传输错误图样为传输错误图样， 则则：RAE TTTTT EHEHAHHEARHS ) )( ( 计算校正子计算校正子 TT HES 或者或者 校正子校正子S只与只与E有关，若接收码字有关，若接收码字R中第中第i位有错，那么导出的伴随位有错，那么导出的伴随 式式 恰好是矩阵恰好是矩阵H的第的第i i列相同的位置。利用伴随式不列相同的位置。利用伴随式不 仅可以判决接收码字中是

23、否有错，而且可以指出差错的位置。仅可以判决接收码字中是否有错，而且可以指出差错的位置。 TT HES 6 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1001101 0101011 0010111 HHET 对于前面的例子，一位错误图样为对于前面的例子，一位错误图样为（1000000)，（，（0100000)， (0010000), (0001000)，(0000100)，(0000001)，(0000001) 5 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1011001 1101010 1110100 H 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1001101 0101011 0010111

24、H . 一、特点：一、特点：循环码是一种具有循环移位特性的线性分组码，这循环码是一种具有循环移位特性的线性分组码，这 类码除了具有线性分组码的一般性质外，还具有循环性质带来类码除了具有线性分组码的一般性质外，还具有循环性质带来 的其它性能和特征，并可以用不太长的码长来实现，循环码本的其它性能和特征，并可以用不太长的码长来实现，循环码本 身的特性使编译设备比较容易实现。身的特性使编译设备比较容易实现。 1. 码多项式：码多项式： 01 2 2 1 1 cxcxcxcxC n n n n ) )( ( 即：若即：若CCn-1Cn-2.C1C0 是一个码字，则是一个码字，则C的每次循环的每次循环 移

25、位移位: Cn-2Cn-3.C0Cn-1 C0Cn-1Cn-2C2C1 都是一个码字。都是一个码字。 ）模（模（1 7 x , ,. . . ., , , 2987 1xxxxx ) 1( 2346236 xxxxxxxx ) 1( 23422456 xxxxxxxx ) 1(1 234525 xxxxxxx ) 1(1 2343356 xxxxxxx 1 234 xxx ) 1( 234345 xxxxxxxx ) 1(1 234446 xxxxxxx 序号序号 信息码信息码 0 000 0000000 001 0011101 0 011 0111010 1 3 111 1110100 2

26、110 1101001 3 101 1010011 4 010 0100111 5 1 7 100 1001110 6 码多项式码多项式 移位移位 次数次数 (7.3) 循环码循环码 rqnmnr n r q n m 或或) )( ( rm 则：则： （模（模n） )( ( ) )( () )( ( ) )( () )( () )( () )( ( xgxrxF xrxgxqxF 模模则则 2456 xxxx 3567 xxxx1 356 xxx）（模模1 7 x )(xC )(xCX 1 n x ) )( () )( (xCxCx ii )(xC i 3567 xxxx ) )( ( 245

27、6 xxxxx 1 356 xxx ）（模模1 7 x 1 11 1 xgxgxxg knkn kn ) )( ( 0C xg x( )( )模模 )() 1()(xCxxgx nk 因：因： )()()()(1 kkn xxhxgxCxgxx 则：则： )(xg) 1( n x (7, k)循环码循环码 (n . k) d g (x) h (x) (7.6) 2 (7.4) 3 (7.3) 4 (7.1) 6 323 323332 43242323 323 111 111111 1111 111 xxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxx ()()() ()()()(

28、) ()() 或或或或 或或或或 )( )( )( )( )( 0 1 2 1 xgx xgx xgx xgx xG k 1)( 23 xxxg 0001101 0011010 0110100 1101000 1 )( 23 34 245 356 xx xxx xxx xxx xG 0001101 0010111 0100011 1000110 0 G 1001110 0100111 0011101 0 H 监督矩阵监督矩阵 0 1 10 1 1 )()()( rxrxmxm xrxxmxC kn kn knn k kn ）（模)()( )()()( xgxxm xcxxmxr kn kn )

29、( )( )( )( )( xg xr xq xg xmx kn 有有 m (x) xn-k 除法求余得到除法求余得到 r ( x) 1)( 23 xxxg 1)( 1 1 1 1 ) 1( )( )( 23 23 23 33 xxr xx x xxx xx xx xg xmx kn 1)( 3 xxm 11) 1()( 13633 xxxxxxxC 解：解： S0 S1 输入输入m 。 S2 。 。 。 。 K1 K2 输出输出 e f 输入输入 移移 存存 器器 反馈反馈 输出输出 m S0 S1 S2 e f f 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1

30、1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 反馈反馈 e= S2-1+ m0 (n ,k)循环码编码器循环码编码器 10 g Sn-k-1 s1 2g s0 1g 输出输出 。 。 。 。 。 K1 K2 f 1kn g kng 输入输入 四：循环码的译码四：循环码的译码 ) )( ()

31、 )( ( ) )( () )( () )( ( xgx xgxxS EHRHS TT 模模 模模 E R 校正子计算电路校正子计算电路 错误图样识别错误图样识别 n 级级 缓缓 存存 器器 输入输入 纠错后输出纠错后输出 1 2 . (n -k) 1001110 0100111 0011101 0 H 监督矩阵监督矩阵 对于最高位错误，校正子为对于最高位错误，校正子为: : ) )( () )( ( , ,) )( ( xgxxE xxxS 模模 6 2 a b c 七七 级级 缓缓 存存 器器 纠错后输出纠错后输出 门门 (7.4) 循环码完整译码器循环码完整译码器 输出输出 门门5 四四

32、 级级 缓缓 存存 器器 a b c 门门1 a b c 门门2 门门3 门门4 输入输入 交织码：交织码：将能纠正将能纠正t个错误的码作为方阵的行码，个错误的码作为方阵的行码，m个行码组构成个行码组构成 一个方阵，这种交织码保证可以纠正一个方阵，这种交织码保证可以纠正t个个突发长度为突发长度为m的突发错误的突发错误 mn mn mn 147 592 681 来自来自 编码编码 器的器的 读入读入 码字码字 比特比特 至调制器的读出比特至调制器的读出比特 交织度交织度m 第四部分第四部分 纠正和检测突发错误的分组码纠正和检测突发错误的分组码-交织码交织码 mnmnmn5621141516789

33、123 编码器输出时，按列的顺序自左至右读出，这时的序列为编码器输出时，按列的顺序自左至右读出，这时的序列为: : 在接收端，将上述过程逆向重复，即把收到的序列按列写入在接收端，将上述过程逆向重复，即把收到的序列按列写入 存储器再按行读出，这时就仍然恢复成原来的存储器再按行读出，这时就仍然恢复成原来的 (n,k) 分组码分组码 交织码实际上是一种时间扩散技术，当交织度足够大时，交织码实际上是一种时间扩散技术，当交织度足够大时， 就把突发错误离散成随机错误，从而被分组码所纠正就把突发错误离散成随机错误，从而被分组码所纠正, , 但是但是m受到传输时延的限制。受到传输时延的限制。 因而因而 (m

34、n, m k) 也是循环码也是循环码，(n, k) 码中每一个码组在码中每一个码组在 (m n , m k) 码中对应有一个码组，它们有相同的码重只是各码码中对应有一个码组，它们有相同的码重只是各码 元相隔元相隔 m位位。 ) )( (xg ) )( (xg 1 n x ) )( () )( ( m mxgxg ) )( (xg ) )( ( m xg 11 mnnm xx ) )( ( mn 采用循环码构造交织码时，不必用采用循环码构造交织码时，不必用 阵列就能实现编阵列就能实现编 码，假设交织码每行为码，假设交织码每行为(n, k)循环码，其生成多项式为循环码，其生成多项式为 ， 则则 必

35、定能除尽必定能除尽 。交织度为。交织度为m的交织码的交织码(m n, m k)，其，其 生成多项式为生成多项式为 ，它的物理意义是在，它的物理意义是在 的各项的各项 之间插入之间插入(m-1)个个0，显然，显然 能除尽能除尽 。 1)( 23 xxxg 1 690323333 3 xxxxxxgxg) )( () )( () )( () )( () )( ( 例例：用生成多项式为：用生成多项式为 的的（7，4）线性分线性分 组码，构成交织度为组码，构成交织度为3的的（21，12）交织码，求交织码的生成多交织码，求交织码的生成多 项式及监督矩阵。项式及监督矩阵。 输入输入 (7,4)码编码器码编

36、码器 输入输入 (21，12)码编码器码编码器 交织码译码时，必须将码元排列成交织码译码时，必须将码元排列成 nm 阵列，然后分别阵列，然后分别 独立的对其进行译码。独立的对其进行译码。 第五部分第五部分 卷积码卷积码 (n，k，N) 每次输入每次输入 k比特比特 1 2 . k 1 2 . k 1 2 . k 1 2 k 1 . k . 2k . . 3k . Nk + n个模个模2加法器加法器 编码输出编码输出 卷积编码器的一般形式卷积编码器的一般形式 N约束度，约束度，nN为编码的约束长度，一般为编码的约束长度，一般k，n是比较小的整数。是比较小的整数。 它是一种非分组码，对于许多实际情

37、况其性能优于分组码。它是一种非分组码，对于许多实际情况其性能优于分组码。 一、卷积码的图解表示一、卷积码的图解表示 2 21 iii iiii bbd bbbc + + ii dc 输入序列输入序列 i b (2,1,3)卷积码编码器卷积码编码器 输出输出 T T T 00 11 00 00 00 11 11 11 11 11 11 11 10 01 01 00 01 00 01 01 01 01 10 10 10 00 10 10 10 00 b a a a a b b c d c d a b c d (每输入每输入0或或1时输出状态时输出状态) (2,1,3)卷积码编码的树状图卷积码编码的

38、树状图 (2,1,3)卷积码编码的逻辑关系：卷积码编码的逻辑关系： 11 01 01 10 10 00 11 00 a d b c (2,1,3)卷积码编码的状态图卷积码编码的状态图 a, b, c, d 为移位寄存器状态为移位寄存器状态 输出码输出码 11 01 01 00 01 10 01 11 11 10 11 00 输入码输入码 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 状态状态 a b d c b d d c a b c a a a b c d (2,1,3)卷积码编码的编码过程及路径卷积码编码的编码过程及路径 2 2 2 1 1 1 xxG xxxG ) )( ( ) )(

39、( 二、卷积码的解析表示：二、卷积码的解析表示： 如输入序列为如输入序列为1101110.，可得：，可得： 75 5432 11 1 11 xx xxxxxxxMxGxy) ) )( ( () )( () )( () )( ( 7642 5432 22 1 11 xxxxx xxxxxxMxGxy) ) )( ( () )( () )( () )( ( 生成多项式生成多项式 即输出为：即输出为： 11101011 10000101 3222122 3121111 ) ), , ,( ( ) ), , ,( ( , , , , , , , , yyyy yyyy 0100111110101000

40、1 323122211211 ) ), , , , , , ,( ( , , , , , , , yyyyyyy 卷积码的距离特性：卷积码的距离特性： 最小码距：最小码距：卷积码中长度为卷积码中长度为nN(N为约束长度为约束长度)的编码后序列的编码后序列 之间的最小汉明距离。之间的最小汉明距离。 ) )( ( minmin d 最小自由距最小自由距：卷积码中任意长：卷积码中任意长编码后序列之间的最小汉明距离。编码后序列之间的最小汉明距离。 ) )( ( free d 采用哪种距离作为纠错能力的度量与译码算法有关：采用哪种距离作为纠错能力的度量与译码算法有关： 1. 当译码算法仅限于处理长度为当

41、译码算法仅限于处理长度为nN的接收序列时，最小码距的接收序列时，最小码距 是重要考量，如门限译码。是重要考量，如门限译码。 ) )( ( minmin d 2 .当译码所考察的编码后序列长度大于当译码所考察的编码后序列长度大于nN时，最小自由距时，最小自由距 是重要考量，如维特比译码或序列译码算法。是重要考量，如维特比译码或序列译码算法。 ) )( ( free d 第六部分第六部分 网格编码调制网格编码调制 (TCM) 提出：提出：纠错码可在不提高功率的条件下降低误码率，但付出的代价是占用带宽纠错码可在不提高功率的条件下降低误码率，但付出的代价是占用带宽 增加。将编码和调制结合的增加。将编码

42、和调制结合的TCM是解决同时节省带宽和功率的途径之一。这是解决同时节省带宽和功率的途径之一。这 种方法可在保持信息速率和带宽不变的条件能获得种方法可在保持信息速率和带宽不变的条件能获得3dB6dB的功率增益。的功率增益。 传统的数字传输系统中，纠错码和调制是各自独立设计并实现的，译码和传统的数字传输系统中，纠错码和调制是各自独立设计并实现的，译码和 解调也是如此。纠错码需要冗余度，编码增益是靠降低信息传输速率来获得的，解调也是如此。纠错码需要冗余度，编码增益是靠降低信息传输速率来获得的， 在功率受限的信道中，功率利用率可用频带利用率来换取，在带宽受限的信道在功率受限的信道中，功率利用率可用频带

43、利用率来换取，在带宽受限的信道 中，则可通过加大调制信号集来为纠错码提供所需的冗余度，以避免信息传输中，则可通过加大调制信号集来为纠错码提供所需的冗余度，以避免信息传输 速率因加纠错编码而降低，但若编码和调制独立分别设计，则得不到令人满意速率因加纠错编码而降低，但若编码和调制独立分别设计，则得不到令人满意 的结果。的结果。 例如没有采用纠错编码的例如没有采用纠错编码的QPSK调制和采用调制和采用2/3码率卷积编码及硬判决维特码率卷积编码及硬判决维特 比译码的比译码的8PSK 调制，两个系统的信息传输速率相同，如果调制，两个系统的信息传输速率相同，如果QPSK系统工作在系统工作在 误比特率为误比

44、特率为10-5情况，则在相同的信噪比情况下，情况，则在相同的信噪比情况下，8PSK解调器输出的原始误码解调器输出的原始误码 率超过率超过10-2，这是由于，这是由于8PSK信号具有更小的信号空间距离的原因，这样，在译信号具有更小的信号空间距离的原因，这样，在译 码时，需要复杂的码时，需要复杂的64状态维特比译码器，状态维特比译码器，8PSK才能与无编码的才能与无编码的QPSK系统差系统差 不多。不多。 汉明距离：汉明距离：码组间的最小距离决定编码的纠错能力；码组间的最小距离决定编码的纠错能力； 欧氏距离：欧氏距离：相平面中相邻矢量最小距离决定干扰造成的误码。相平面中相邻矢量最小距离决定干扰造成

45、的误码。 最佳的编码调制系统应按照编码序列的欧氏距离为调制设计的量度，最佳的编码调制系统应按照编码序列的欧氏距离为调制设计的量度， 这就要求将编码器和调制器当作一个统一的整体进行综合设计，使得这就要求将编码器和调制器当作一个统一的整体进行综合设计，使得 编码器和调制器级联后产生的编码序列具有最大的欧氏距离，这种最编码器和调制器级联后产生的编码序列具有最大的欧氏距离，这种最 佳设计就是对信号空间的最佳分割，称为网格编码调制佳设计就是对信号空间的最佳分割，称为网格编码调制(TCM) 对于限带信道，有两类网格编码调制，第一类将卷积码和多电平对于限带信道，有两类网格编码调制，第一类将卷积码和多电平 (或多相位或多相位)信号组合起来，它由信号组合起来，它由Ungerboeck最先提出，第二类是采用特最先提出，第二类是采用特 定调制指数或频偏的连续相位频移键控定调制指数或频偏的连续相位频移键控(CPFSK)。