高中数学 第一章 解三角形 1.2.1 正、余弦定理在实际中的应用学案（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精12.1正、余弦定理在实际中的应用测量中的基本术语提出问题李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米,回到自己家中问题1：李尧家在学校的哪个方向?提示：东南方向问题2：能否用角度再进一步确定其方位?提示：可以，南偏东45或东偏南45.导入新知实际测量中的有关名称、术语称定义图示基线在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90)南偏西60(指以正南方向为始边，转向目标方

2、向线形成的角）方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角化解疑难解三角形实际问题的一般步骤,在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节.测量高度问题例1如图，为了测量河对岸的塔高ab，有不同的方案，其中之一是选取与塔底b在同一水平面内的两个测点c和d，测得cd200米，在c点和d点测得塔顶a的仰角分别是45和30,且cbd30，求塔高ab.解在rtabc中,acb45，若设abh,则bch；在rtabd中，adb30,则bdh.在bcd中，由余弦定理可得cd2bc2bd22bcbdcoscbd，即2002h2（h

3、）22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去),即塔高ab为200米类题通法测量高度问题的要求及注意事项(1）依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角），又有仰（俯)角（它是在铅垂面上所成的角）,在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解(2）方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角从这个意义上来说,方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活,否则在理解题意时将可能产生偏差活学活用(湖北高考)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30的方向上，行

4、驶600 m后到达b处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度cd_m。解析：由题意，在abc中，bac30，abc18075105，故acb45。又ab600 m，故由正弦定理得，解得bc300 m.在rtbcd中，cdbctan 30300100 （m）答案：100测量角度问题例2如图，在海岸a处，发现北偏东45方向，距a处（1)n mile的b处有一艘走私船，在a处北偏西75的方向，距离a处2 n mile的c处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从b处向北偏东30方向逃窜，问：缉私船沿着什么方向能最快追上走私

5、船？解设缉私船用t h在d处追上走私船，则有cd10t，bd10t，在abc中，ab1，ac2,bac120，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccos bac(1)2222(1）2cos 1206，bc，且sin abcsin bac。abc45.bc与正北方向垂直cbd9030120,在bcd中,由正弦定理，得sin bcd,bcd30.即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船类题通法 解决追及问题的步骤（1）把实际问题转化为数学问题；（2）画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离,这样借助于正弦定理或余弦定理,就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去活学活

6、用某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出呼叫信号,如图，我海军护航舰在a处获悉后，立即测出该货船在方位角为45,距离为10海里的c处，并测得货船正沿方位角为105的方向,以10海里/小时的速度向前行驶,我海军护航舰立即以10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间解：设护航舰靠近货船所用时间为t小时在abc中，根据余弦定理，有ab2ac2bc22acbccos 120，可得（10t)2102（10t）221010tcos 120，整理得2t2t10,解得t1或t(舍去）所以护航舰靠近货船需要1小时此时ab10，bc10，又ac10，所以cab30,所以护航舰航行的方位角

7、为75。测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点,构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解【角度一】两点间不相通的距离例1如图所示，要测量一水塘两侧a，b两点间的距离,其方法为先选定适当的位置c，用经纬仪测出角,再分别测出ac，bc的长b，a，则可求出a，b两点间的距离即ab。若测得ca400 m，cb600 m，acb60，试计算ab的长度解在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccosacb，ab2400260022400600cos 60280 000。ab200

8、 m.即a，b两点间的距离为200 m。【角度二】两点间可视但有一点不可到达例2如图所示，a,b两点在一条河的两岸,测量者在a的同侧，且b点不可到达，要测出a,b的距离，其方法为在a所在的岸边选定一点c，可以测出a，c的距离m，再借助仪器，测出acb,cab，在abc中,运用正弦定理就可以求出ab。若测出ac60 m，bac75，bca45，则a，b两点间的距离为_m。解析abc180754560，所以由正弦定理得，ab20（m)即a，b两点间的距离为20 m。答案20【角度三】两点都不可到达例3如图，a，b两点在河的同侧，且a，b两点均不可到达，测出a，b的距离,其方法为测量者可以在河岸边选

9、定两点c，d,测得cda，同时在c，d两点分别测得bca，acd，cdb，bda。在adc和bdc中，由正弦定理分别计算出ac和bc,再在abc中，应用余弦定理计算出ab。若测得cd km,adbcdb30,acd60，acb45，求a，b两点间的距离解adcadbcdb60,acd60,dac60，acdc.在bcd中,dbc45，由正弦定理，得bcsinbdcsin 30.在abc中，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccos 452.ab km.a，b两点间的距离为 km.随堂即时演练1若p在q的北偏东4450方向上，则q在p的(）a东偏北4510方向上b北偏东4550方向上c南偏

10、西4450方向上d西偏南4550方向上解析：选c如图所示,点q在点p的南偏西4450的方向上2海上有a，b两个小岛相距10海里,从a岛望c岛和b岛成60的视角，从b岛望c岛和a岛成75的视角，则b，c间的距离是()a10 海里b. 海里c5 海里 d5 海里解析：选d如图，c180607545，ab10，由正弦定理得，bc5(海里)，故选d.3如图，线段ab，cd分别表示甲、乙两楼，abbd，cdbd，从甲楼顶部a处测得乙楼顶部c处的仰角为30，测得乙楼底部d的俯角60，已知甲楼高ab24米，则乙楼高cd_米解析：过a作aecd（图略），垂足为e，edab24米，则ae8(米）在rtace中，

11、ceaetan 3088(米),cdceed82432(米）答案:324.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点a，b,望对岸的标记物c，测得cab45，cba75,ab120米，则河的宽度为_米解析:acb180457560,在abc中,.bc120，河宽为bcsincbasin 7520（3)米。 答案：20(3)5.如图，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线cb前往b处救援,求cos 的值解:如题中图所示，在abc中，ab40,ac20，bac120

12、，由余弦定理知，bc2ab2ac22abaccos 1202 800bc20。由正弦定理，得sinacbsinbac。由bac120,知acb为锐角，则cosacb。由acb30，得cos cos（acb30)cosacbcos 30sinacbsin 30。 课时达标检测一、选择题1从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则,的关系为(）abc90 d180解析：选b根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图知，故应选b.2两灯塔a,b与海洋观察站c的距离都等于a（km)，灯塔a在c北偏东30，b在c南偏东60，则a，b之间的距离为(）a.a km b.a kmca km d2a km解析

13、：选aabc中，acbca km,acb90，aba km.3有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,则坡底要延长的长度（单位:m)是（）a5 b10c10 d10解析:选c如图，设将坡底加长到b时,倾斜角为30，在abb中，利用正弦定理可求得bb的长度在abb中，b30，bab753045，ab10 m,由正弦定理，得bb10 (m)坡底延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30.4一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔p的南偏西75距塔68海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处，则这只船的航行速度为（)a. 海里

14、/小时b34 海里/小时c. 海里/小时d34 海里/小时解析：选a如图所示，在pmn中,，mn34,v (海里/小时)5.如图,甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于a1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的b1处,此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达a2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2处，此时两船相距10 海里，则乙船每小时航行（)a10 海里 b20 海里c30海里 d30 海里解析:选d如图,连接a1b2,在a1a2b2中，易知a1a2b260，又易求得a1a23010a2b2，a1a2b2为正三角形，a1b210.在a1

15、b1b2中，易知b1a1b245，b1b40020022010200,b1b210，乙船每小时航行30 海里二、填空题6某人从a处出发,沿北偏东60行走3 km到b处，再沿正东方向行走2 km到c处，则a，c两地距离为_km.解析：如图所示，由题意可知ab3，bc2，abc150。由余弦定理，得ac2274232cos 15049，ac7.则a，c两地距离为7 km。答案：77(四川高考)如图,从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为67，30,此时气球的高是46 m，则河流的宽度bc约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39,sin

16、 370。60，cos 37 0。80，1.73)解析：过a作bc边上的高ad,d为垂足在rtacd中，ac92,在abc中，由正弦定理,得bcsinbacsin 37 0.6060（m）答案：608某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_ n mile。解析：如图所示，b是灯塔，a是船的初始位置，c是船航行后的位置，则bcad，dab30，dac60，则在rtacd中,dcacsin dac30sin 6015 n mile，adaccos dac30cos 6015 n mile，则在rtadb中，dba

17、dtandab15tan 305 n mile，则bcdcdb15510 n mile。答案：10三、解答题9某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示,施工人员欲在山坡上a,b两点处测量与地面垂直的塔cd的高，由a,b两地测得塔顶c的仰角分别为60和45,又知ab的长为40 m,斜坡与水平面成30角，求该转播塔的高度解：如图所示，由题意,得abc453015,dac603030.bac150，acb15，acab40 m，adc120，acd30，在acd中，由正弦定理，得cdac40(m)故转播塔的高度为m。10某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在东北方向,若沿途测得

18、塔的最大仰角为30,求塔高解：设b为塔正东方向一点，ae为塔，沿南偏西60行走40 m后到达c处,即bc40，且cab135，abc30,如图在abc中，即,ac20.由点a向bc作垂线ag，此时仰角age最大等于30.在abc中,acb1801353015agacsin1520 sin 1510(1)aeagtan 30.即塔高为 m.11甲船在a处观察到乙船在它的北偏东60方向的b处，两船相距a海里,乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问：甲船应往什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里?解：设甲沿直线与乙船同时到达c点，则a，b，c构成一个abc，如图，设乙船速度为v，则甲船速度为v，到达c处用时为t。由题意bcvt,acvt，abc120。在abc中,由余弦定理得ac2ab2bc22abbccos 120,3v2t2a2v2t2avt.2v2t2avta20,解得vt(舍）或vta。bca.在abc中abbca，bacacb30。答:甲船应往北偏东30的方向去追乙,此时乙船行驶a海里12a，b，c是一条直路上的三点，abbc1 km，从这三点分别遥望一座电视发射塔p，在a处看见塔在东北方向,在b处看见塔在正东方向，在c处看见塔在南偏东60方向，求塔到直路的距离解：如图所示，过c、b、p